Grupo hiperbólico - Hyperbolic group

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En la teoría de grupos , más precisamente en la teoría de grupos geométrico , un grupo hiperbólico , también conocido como un grupo de palabras hiperbólica o grupo hiperbólica Gromov , es un finitamente generado grupo equipado con una palabra métricas que satisfacen ciertas propiedades resumieron desde la clásica geometría hiperbólica . La noción de grupo hiperbólico fue introducida y desarrollada por Mikhail Gromov  ( 1987 ). La inspiración provino de varias teorías matemáticas existentes: geometría hiperbólica pero también topología de baja dimensión (en particular, los resultados de Max Dehn sobre el grupo fundamental de una superficie hiperbólica de Riemann y fenómenos más complejos en topología tridimensional ) y la teoría combinatoria de grupos. . En un capítulo muy influyente (más de 1000 citas) de 1987, Gromov propuso un programa de investigación de amplio alcance. Las ideas y el material fundamental en la teoría de los grupos hiperbólicos también provienen del trabajo de George Mostow , William Thurston , James W. Cannon , Eliyahu Rips y muchos otros.

Definición

Sea un grupo generado finitamente y sea ​​su gráfico de Cayley con respecto a algún conjunto finito de generadores. El conjunto está dotado de su métrica gráfica (en la que los bordes tienen una longitud de uno y la distancia entre dos vértices es el número mínimo de bordes en un camino que los conecta) que lo convierte en un espacio de longitud . Entonces se dice que el grupo es hiperbólico si es un espacio hiperbólico en el sentido de Gromov. En resumen, esto significa que existe tal que cualquier triángulo geodésico en es -delgado, como se ilustra en la figura de la derecha (entonces se dice que el espacio es -hiperbólico). ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ delta> 0}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$

A priori, esta definición depende de la elección de un grupo electrógeno finito . Que este no es el caso se desprende de los dos hechos siguientes: ${\ Displaystyle S}$

• las gráficas de Cayley correspondientes a dos grupos generadores finitos son siempre cuasi-isométricas entre sí;
• cualquier espacio geodésico que es cuasi-isométrico a un espacio geodésico-hiperbólico de Gromov es en sí mismo Gromov-hiperbólico.

Por lo tanto, podemos hablar legítimamente de que un grupo generado finita es hiperbólico sin hacer referencia a un conjunto generador. Por otro lado, un espacio que es cuasi-isométrico a un -espacio hiperbólico es en sí mismo -hiperbólico para algunos, pero este último depende tanto del original como de la cuasi-isometría, por lo que no tiene sentido hablar de ser -hiperbólico . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta '}$${\ Displaystyle \ delta '> 0}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ delta}$

Observaciones

El lema de Švarc-Milnor establece que si un grupo actúa correctamente de manera discontinua y con un cociente compacto (tal acción a menudo se llama geométrica ) en un espacio de longitud adecuado , entonces se genera finitamente y cualquier gráfico de Cayley para es cuasi-isométrico a . Por lo tanto, un grupo es (finitamente generado e) hiperbólico si y solo si tiene una acción geométrica en un espacio hiperbólico adecuado. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle Y}$

Si es un subgrupo con índice finito (es decir, el conjunto es finito), entonces la inclusión induce una cuasi-isometría en los vértices de cualquier grafo de Cayley localmente finito en cualquier grafo de Cayley localmente finito de . Por tanto, es hiperbólico si y solo si lo es. De manera más general, si dos grupos son conmensurables , entonces uno es hiperbólico si y solo si el otro lo es. ${\ Displaystyle G '\ subconjunto G}$${\ Displaystyle G / G '}$${\ Displaystyle G '}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G '}$${\ Displaystyle G}$

Ejemplos de

Grupos hiperbólicos elementales

Los ejemplos más simples de grupos hiperbólicos son grupos finitos (cuyas gráficas de Cayley son de diámetro finito, por lo tanto -hiperbólico con igual a este diámetro). ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$

Otro ejemplo simple lo da el grupo cíclico infinito : la gráfica de Cayley de con respecto al grupo electrógeno es una línea, por lo que todos los triángulos son segmentos de línea y la gráfica es hiperbólica. De ello se deduce que cualquier grupo que sea virtualmente cíclico (contiene una copia de de índice finito) también es hiperbólico, por ejemplo, el grupo diedro infinito . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ {\ pm 1 \}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Los miembros de esta clase de grupos a menudo se denominan grupos hiperbólicos elementales (la terminología está adaptada de la de acciones en el plano hiperbólico).

Grupos libres y grupos actuando sobre árboles.

Sea un conjunto finito y sea ​​el grupo libre con grupo electrógeno . Entonces el gráfico de Cayley de con respecto a es un árbol localmente finito y, por lo tanto, un espacio hiperbólico 0. Por tanto, es un grupo hiperbólico. ${\ Displaystyle S = \ {a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle F}$

De manera más general, vemos que cualquier grupo que actúa propiamente de forma discontinua en un árbol localmente finito (en este contexto, esto significa exactamente que los estabilizadores de los vértices son finitos) es hiperbólico. De hecho, esto se deriva del hecho de que tiene un subárbol invariante sobre el que actúa con cociente compacto, y el lema Svarc-Milnor. De hecho, estos grupos son prácticamente libres (es decir, contienen un subgrupo libre de índice finito generado de forma finita), lo que da otra prueba de su hiperbolicidad. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Un ejemplo interesante es el grupo modular : actúa sobre el árbol dado por el 1-esqueleto de la teselación asociada del plano hiperbólico y tiene un subgrupo libre de índice finito (en dos generadores) de índice 6 (por ejemplo el conjunto de matrices en el que reducir a la identidad módulo 2 es tal grupo). Tenga en cuenta una característica interesante de este ejemplo: actúa correctamente de forma discontinua en un espacio hiperbólico (el plano hiperbólico ) pero la acción no es cocompacta (y de hecho no es cuasi-isométrica al plano hiperbólico). ${\ Displaystyle G = \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Grupos fucsias

Generalizando el ejemplo del grupo modular, un grupo fucsiano es un grupo que admite una acción propiamente discontinua en el plano hiperbólico (de manera equivalente, un subgrupo discreto de ). El plano hiperbólico es un espacio hiperbólico y, por lo tanto, el lema de Svarc-Milnor nos dice que los grupos fucsianos cocompactos son hiperbólicos. ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ delta}$

Ejemplos de ello son los grupos fundamentales de superficies cerradas de característica de Euler negativa . De hecho, estas superficies pueden obtenerse como cocientes del plano hiperbólico, como implica el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe .

Otra familia de ejemplos de grupos fucsianos cocompactos la dan los grupos triangulares : todos, excepto un número finito, son hiperbólicos.

Curvatura negativa

Generalizando el ejemplo de superficies cerradas, los grupos fundamentales de variedades compactas de Riemann con curvatura seccional estrictamente negativa son hiperbólicos. Por ejemplo, las celosías cocompactas en el grupo ortogonal o unitario de una forma de firma son hiperbólicas. ${\ Displaystyle (n, 1)}$

Una generalización adicional la dan los grupos que admiten una acción geométrica en un espacio CAT (k) . Existen ejemplos que no son conmensurables con ninguna de las construcciones anteriores (por ejemplo, grupos que actúan geométricamente sobre edificios hiperbólicos ).

Pequeños grupos de cancelación

Los grupos que tienen presentaciones que satisfacen pequeñas condiciones de cancelación son hiperbólicos. Esto da una fuente de ejemplos que no tienen un origen geométrico como los dados anteriormente. De hecho, una de las motivaciones para el desarrollo inicial de los grupos hiperbólicos fue dar una interpretación más geométrica de la pequeña cancelación.

Grupos aleatorios

En cierto sentido, "la mayoría" de los grupos presentados de forma finita con grandes relaciones definitorias son hiperbólicos. Para obtener una declaración cuantitativa de lo que esto significa, consulte Grupo aleatorio .

No ejemplos

• El ejemplo más simple de un grupo que no es hiperbólico es el grupo abeliano de rango 2 libre . De hecho, es cuasi-isométrico con respecto al plano euclidiano, que se ve fácilmente como no hiperbólico (por ejemplo, debido a la existencia de homotecias ). ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$
• De manera más general, cualquier grupo que lo contenga como subgrupo no es hiperbólico. En particular, las celosías en grupos de Lie semisimple de rango superior y los grupos fundamentales de complementos de nudos no triviales entran en esta categoría y, por lo tanto, no son hiperbólicos. Este también es el caso para mapear grupos de clases de superficies hiperbólicas cerradas. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (S ^ {3} \ setminus K)}$
• Los grupos Baumslag-Solitar B ( m , n ) y cualquier grupo que contenga un subgrupo isomorfo a algún B ( m , n ) no son hiperbólicos (ya que B (1,1) = , esto generaliza el ejemplo anterior). ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$
• Un enrejado no uniforme en un grupo de Lie simple de rango 1 es hiperbólico si y solo si el grupo es isógeno a (de manera equivalente, el espacio simétrico asociado es el plano hiperbólico). Un ejemplo de esto lo dan los grupos de nudos hiperbólicos . Otro son los grupos Bianchi , por ejemplo . ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} ({\ sqrt {-1}})}$

Propiedades

Propiedades algebraicas

• Los grupos hiperbólicos satisfacen la alternativa de Tits : o son virtualmente solucionables (esta posibilidad sólo la satisfacen los grupos hiperbólicos elementales) o tienen un subgrupo isomorfo a un grupo libre no beliano.
• Los grupos hiperbólicos no elementales no son simples en un sentido muy fuerte: si es hiperbólico no elemental entonces existe un subgrupo infinito tal que y ambos son infinitos. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H \ triangleleft G}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G / H}$
• No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea residualmente finito .

Propiedades geométricas

• Los grupos hiperbólicos no elementales (infinitos y no virtualmente cíclicos) tienen siempre una tasa de crecimiento exponencial (esto es una consecuencia de la alternativa de Tits).
• Los grupos hiperbólicos satisfacen una desigualdad isoperimétrica lineal .

Propiedades homologicas

• Los grupos hiperbólicos siempre se presentan de forma finita . De hecho, se puede construir explícitamente un complejo (el complejo de Rips ) que es contráctil y sobre el que el grupo actúa geométricamente por lo que es de tipo F _∞ . Cuando el grupo está libre de torsión, la acción es libre, lo que demuestra que el grupo tiene una dimensión cohomológica finita .
• En 2002, I. Mineyev demostró que los grupos hiperbólicos son exactamente aquellos grupos generados finitamente para los que el mapa de comparación entre la cohomología limitada y la cohomología ordinaria es sobreyectiva en todos los grados, o equivalentemente, en el grado 2.

Propiedades algorítmicas

• Los grupos hiperbólicos tienen un problema verbal que se puede resolver . Son biautomáticos y automáticos . De hecho, son fuertemente geodésicamente automáticos , es decir, hay una estructura automática en el grupo, donde el lenguaje aceptado por el aceptor de palabras es el conjunto de todas las palabras geodésicas.
• En 2010 se demostró que los grupos hiperbólicos tienen un marcado problema de isomorfismo decidible . Es notable que esto significa que el problema del isomorfismo, los problemas de la órbita (en particular el problema de la conjugación) y el problema de Whitehead son todos decidibles.
• Cannon y Swenson han demostrado que los grupos hiperbólicos con 2 esferas en el infinito tienen una regla de subdivisión natural . Esto está relacionado con la conjetura de Cannon .

Generalizaciones

Grupos relativamente hiperbólicos

Los grupos relativamente hiperbólicos son una clase que generaliza los grupos hiperbólicos. Muy aproximadamente, es hiperbólico en relación con una colección de subgrupos si admite una acción ( no necesariamente cocompacta ) propiamente discontinua en un espacio hiperbólico adecuado que sea "agradable" en el límite de y tal que los estabilizadores de puntos en el límite sean subgrupos en . Esto es interesante cuando ambos y la acción de on no son elementales (en particular es infinito: por ejemplo, ¡cada grupo es hiperbólico en relación a sí mismo a través de su acción en un solo punto!). ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Ejemplos interesantes de esta clase incluyen en particular redes no uniformes en grupos de Lie semisimple de rango 1, por ejemplo, grupos fundamentales de variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. Los no ejemplos son celosías en grupos de Lie de rango superior y grupos de clases de mapeo.

Grupos acilíndricamente hiperbólicos

Una noción aún más general es la de un grupo acilíndicamente hiperbólico. La acilindricidad de una acción de un grupo en un espacio métrico es un debilitamiento de la discontinuidad adecuada de la acción. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

Se dice que un grupo es acilíndricamente hiperbólico si admite una acción acilíndrica no elemental en un espacio hiperbólico de Gromov ( no necesariamente adecuado ). Esta noción incluye mapear grupos de clases a través de sus acciones en complejos de curvas . Las celosías en los grupos de Lie de rango superior no son (¡todavía!) Acilíndricamente hiperbólicas.

Grupos CAT (0)

En otra dirección, se puede debilitar la suposición sobre la curvatura en los ejemplos anteriores: un grupo CAT (0) es un grupo que admite una acción geométrica en un espacio CAT (0) . Esto incluye grupos cristalográficos euclidianos y redes uniformes en grupos de Lie de rango superior.

No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea CAT (0).

Notas

Referencias

• Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. 319 . Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-662-12494-9 . ISBN   3-540-64324-9 . Señor   1744486 .

• Bowditch, Brian (2006). Un curso sobre teoría de grupos geométricos (PDF) . Memorias de MSJ. 16 . Tokio: Sociedad Matemática de Japón . doi : 10.1142 / e003 . ISBN   4-931469-35-3 . Señor   2243589 .

• Bowditch, Brian (2012). "Grupos relativamente hiperbólicos" (PDF) . Revista Internacional de Álgebra y Computación . 22 (3): 1250016, 66 págs. Doi : 10.1142 / S0218196712500166 . Señor   2922380 .

• Cannon, James W .; Swenson, Eric L. (1998). "Reconocimiento de grupos discretos de curvatura constante en dimensión 3" . Transacciones de la American Mathematical Society . 350 (2): 809–849. doi : 10.1090 / S0002-9947-98-02107-2 . Señor   1458317 .
• Charney, Ruth (1992). "Los grupos Artin de tipo finito son biautomáticos". Mathematische Annalen . 292 (4): 671–683. doi : 10.1007 / BF01444642 . Señor   1157320 .
• Dahmani, François; Guirardel, Vincent (2011). "El problema del isomorfismo para todos los grupos hiperbólicos". Análisis geométrico y funcional . 21 (2): 223–300. arXiv : 1002.2590 . doi : 10.1007 / s00039-011-0120-0 .
• Ghys, Étienne ; de la Harpe, Pierre, eds. (1990). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov [ Grupos hiperbólicos en la teoría de Mikhael Gromov ]. Progreso en Matemáticas (en francés). 83 . Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007 / 978-1-4684-9167-8 . ISBN   0-8176-3508-4 . Señor   1086648 .
• Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, Steve M. (ed.). Ensayos en teoría de grupos . Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas. 8 . Nueva York: Springer. págs. 75–263. doi : 10.1007 / 978-1-4613-9586-7_3 . ISBN   0-387-96618-8 . Señor   0919829 .
• Mineyev, Igor (2002). "La cohomología limitada caracteriza a los grupos hiperbólicos". Revista Trimestral de Matemáticas . 53 (1): 59–73. doi : 10.1093 / qjmath / 53.1.59 . Señor   1887670 .
• Osin, Denis (2016). "Grupos acilíndricamente hiperbólicos". Transacciones de la American Mathematical Society . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . doi : 10.1090 / tran / 6343 . Señor   3430352 .

Otras lecturas

• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov [ Geometría y teoría de grupos: grupos hiperbólicos de Gromov ]. Lecture Notes in Mathematics (en francés). 1441 . Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0084913 . ISBN   3-540-52977-2 . Señor   1075994 .
• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Dinámica simbólica y grupos hiperbólicos . Apuntes de clase en matemáticas. 1539 . Berlín: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / BFb0092577 . ISBN   3-540-56499-3 . Señor   1222644 .
• "Espacio hiperbólico de Gromov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]