Grupo conformal - Conformal group

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Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Lazo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , el grupo conforme de un espacio es el grupo de transformaciones del espacio a sí mismo que preservan los ángulos. Más formalmente, es el grupo de transformaciones que preservan la geometría conforme del espacio.

Varios grupos conformales específicos son particularmente importantes:

• El grupo ortogonal conforme . Si V es un espacio vectorial con una forma cuadrática Q , entonces el grupo ortogonal conforme CO ( V , Q ) es el grupo de transformaciones lineales T de V para las cuales existe un escalar λ tal que para todo x en V

  ${\ Displaystyle Q (Tx) = \ lambda ^ {2} Q (x)}$

Para una forma cuadrática definida , el grupo ortogonal conforme es igual al grupo ortogonal multiplicado por el grupo de dilataciones .

• El grupo conforme de la esfera es generado por las inversiones en círculos . Este grupo también se conoce como el grupo de Möbius .
• En el espacio euclidiano E ⁿ , n > 2 , el grupo conforme se genera por inversiones en hiperesferas .
• En un espacio pseudo-euclidiano E ^{p , q} , el grupo conforme es Conf ( p , q ) ≃ O ( p + 1, q + 1) / Z ₂ .

Todos los grupos conformales son grupos de Lie .

Análisis de ángulos

En la geometría euclidiana se puede esperar que el ángulo circular estándar sea ​​característico, pero en el espacio pseudoeuclidiano también existe el ángulo hiperbólico . En el estudio de la relatividad especial, los diversos marcos de referencia, para variar la velocidad con respecto a un marco en reposo, están relacionados por la rapidez , un ángulo hiperbólico. Una forma de describir un impulso de Lorentz es como una rotación hiperbólica que conserva el ángulo diferencial entre las velocidades. Por tanto, son transformaciones conformes con respecto al ángulo hiperbólico.

Un método para generar un grupo conforme apropiado es imitar los pasos del grupo de Möbius como el grupo conforme del plano complejo ordinario . La geometría pseudoeuclidiana está respaldada por planos complejos alternativos donde los puntos son números complejos divididos o números duales . Así como el grupo de Möbius requiere la esfera de Riemann , un espacio compacto , para una descripción completa, los planos complejos alternativos requieren compactificación para una descripción completa del mapeo conforme. Sin embargo, el grupo conforme en cada caso viene dado por transformaciones fraccionarias lineales en el plano apropiado.

Grupo conformal de espacio-tiempo

En 1908, Harry Bateman y Ebenezer Cunningham , dos jóvenes investigadores de la Universidad de Liverpool , abordaron la idea de un grupo conforme de espacio-tiempo. Argumentaron que los grupos cinemáticos son necesariamente conformes, ya que preservan la forma cuadrática del espacio-tiempo y son similares a las transformaciones ortogonales . aunque con respecto a una forma cuadrática isotrópica . Las libertades de un campo electromagnético no se limitan a los movimientos cinemáticos, sino que solo se requiere que sean localmente proporcionales a una transformación que conserva la forma cuadrática. El artículo de Harry Bateman en 1910 estudió la matriz jacobiana de una transformación que conserva el cono de luz y mostró que tenía la propiedad conforme (proporcional a un preservador de forma). Bateman y Cunningham demostraron que este grupo conforme es "el grupo más grande de transformaciones que dejan las ecuaciones de Maxwell estructuralmente invariantes". El grupo conforme del espacio-tiempo se ha denominado C (1,3)

Isaak Yaglom ha contribuido a las matemáticas de las transformaciones conformes del espacio-tiempo en números duales y complejos divididos . Dado que los números complejos divididos y los números duales forman anillos , no campos , las transformaciones fraccionarias lineales requieren una línea proyectiva sobre un anillo para ser asignaciones biyectivas.

Ha sido tradicional desde el trabajo de Ludwik Silberstein en 1914 usar el anillo de biquaternions para representar al grupo Lorentz. Para el grupo conforme del espacio-tiempo, es suficiente considerar transformaciones fraccionarias lineales en la línea proyectiva sobre ese anillo. Los elementos del grupo conforme del espacio-tiempo fueron llamados transformaciones de ondas esféricas por Bateman. Los detalles del estudio de la forma cuadrática del espacio-tiempo se han absorbido en la geometría de la esfera de Lie .

Al comentar sobre el continuo interés mostrado en la ciencia física, AO Barut escribió en 1985, "Una de las principales razones del interés en el grupo conformal es que es quizás el más importante de los grupos más grandes que contienen el grupo de Poincaré ".

Ver también

• Mapa conforme
• Simetría conforme

Referencias

Otras lecturas

• Kobayashi, S. (1972). Grupos de transformación en geometría diferencial . Clásicos en Matemáticas. Saltador. ISBN 3-540-58659-8. OCLC  31374337 .
• Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: Generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.
• Peter Scherk (1960) "Algunos conceptos de geometría conformal", American Mathematical Monthly 67 (1): 1-30 doi : 10.2307 / 2308920