ángulo - Angle


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Un ángulo formado por dos rayos que emanan de un vértice.

En geometría plana , un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamado los lados del ángulo, compartiendo un punto final común, llamado el vértice del ángulo. Ángulos formados por dos rayos estar en un plano, pero este plano no tiene que ser un plano euclidiano . Angles también están formados por la intersección de dos planos en euclidiana y otros espacios . Estos se denominan ángulos diedros . Ángulos formados por la intersección de dos curvas en un plano se definen como el ángulo determinado por los rayos tangente en el punto de intersección. Declaraciones similares sostienen en el espacio, por ejemplo, el ángulo esférica formada por dos grandes círculos en una esfera es el ángulo diedro entre los planos determinados por los grandes círculos.

Ángulo se utiliza también para designar a la medida de un ángulo o de un giro . Esta medida es la relación de la longitud de un arco de círculo a su radio . En el caso de un ángulo geométrico, el arco se centra en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación, el arco se centra en el centro de la rotación y delimitado por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

La palabra ángulo viene del latín palabra angulus , que significa "esquina"; cognados palabras son la griega ἀγκύλος (ankylοs) , que significa "torcido, curvado," y el Inglés palabra " tobillo ". Ambos están conectados con el proto-indoeuropeo de la raíz * ank- , que significa "doblar" o "arco".

Euclides define un ángulo plano que la inclinación de la otra, en un plano, de dos líneas que se reúnen entre sí, y no se encuentran recta con respecto a la otra. Según Proclo un ángulo debe ser o bien una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo , que consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta ; la segunda por Carpo de Antioquía , que lo consideraba como el intervalo o espacio entre las líneas de intersección; Euclides adoptó el tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos y obtusos son ciertamente cuantitativa.

La identificación de los ángulos

En las expresiones matemáticas, es común el uso de letras griegas ( α , β , γ , θ , φ ,...) Para servir como las variables de pie para el tamaño de algún ángulo. (Para evitar la confusión con su otro significado, el símbolo π típicamente no se utiliza para este propósito.) Letras romanas minúsculas ( abc ,...) También se utilizan, como lo son mayúsculas letras romanas en el contexto de polígonos . Ver las figuras en este artículo para ejemplos.

En las figuras geométricas, ángulos también pueden ser identificados por las etiquetas pegadas a los tres puntos que los definen. Por ejemplo, el ángulo en el vértice A encerrada por los rayos AB y AC (es decir, las líneas del punto A al punto B y el punto A al punto C) se denota ∠BAC (en Unicode U + 2220 ÁNGULO ) o . A veces, donde no existe ningún riesgo de confusión, el ángulo puede ser denominado simplemente por su vértice ( "ángulo A").

Potencialmente, un ángulo denota, por ejemplo, ∠BAC podría referirse a cualquiera de los cuatro ángulos: el ángulo de las agujas del reloj de B a C, el ángulo en sentido antihorario de B a C, el ángulo de las agujas del reloj de C a B, o el ángulo en sentido antihorario de C a B , donde la dirección en la cual se mide el ángulo determina su signo (véase ángulos positivos y negativos ). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas es evidente a partir del contexto que el ángulo positivo menor o igual a 180 grados se entiende, y no surge ninguna ambigüedad. De lo contrario, una convención puede ser adoptada de modo que ∠BAC siempre se refiere al sentido antihorario ángulo (positivo) de B a C, y ∠CAB al ángulo en sentido antihorario (positivo) de C a B.

Tipos de ángulos

ángulos individuales

  • Un ángulo igual a 0 ° se llama un ángulo de cero.
  • Ángulos más pequeños que un ángulo recto (menos de 90 °) son los llamados ángulos agudos ( "aguda" significa "agudo").
  • Un ángulo igual a 1 / 4 de vuelta (90 ° o π / 2 radianes) se llama un ángulo recto . Dos líneas que forman un ángulo recto se dice que son normales , ortogonal o perpendicular .
  • Ángulos mayores que un ángulo recto y menor que un ángulo recto (entre 90 ° y 180 °) se denominan ángulos obtusos ( "obtuso" que significa "blunt").
  • Un ángulo igual a 1 / 2 giro (180 ° o pi radianes) se llama un ángulo recto .
  • Ángulos mayores que un ángulo recto, pero menos de 1 vez (entre 180 ° y 360 °) se denominan ángulos reflejas .
  • Un ángulo igual a 1 vuelta (360 ° o 2 pi radianes) se llama un ángulo completo , ángulo completa , o una Perigon .
  • Ángulos que no son perpendiculares o un múltiplo de un ángulo recto se llaman ángulos oblicuos .

Los nombres, intervalos, y las unidades de medición se muestran en una tabla a continuación:

Aguda ( una ), obtuso ( b ), y (rectas c ángulos). Los ángulos agudos y obtusos también se conocen como ángulos oblicuos.
Ángulo reflexivo
Nombre   cero agudo ángulo recto obtuso Derecho reflejo Perigon
Unidades Intervalo
vueltas   0 (0,  1 / 4 ) 1 / 4 ( 1 / 41 / 2 ) 1 / 2 ( 1 / 2 , 1) 1
radianes 0 (0, 1 / 2 π ) 1 / 2 π ( 1 / 2 π , π ) π ( Π , 2 π ) 2 π
grados   0 ° (0, 90) ° 90 ° (90, 180) ° 180 ° (180, 360) ° 360 °
gons   0 g (0, 100) g 100 g (100, 200) g 200 g (200, 400) g 400 g

pares de ángulos de equivalencia

  • Ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) se dice que son iguales o congruentes . Un ángulo está definido por su medida y no depende de las longitudes de los lados del ángulo (por ejemplo, todos los ángulos rectos son iguales en medida).
  • Dos ángulos que comparten lados terminales, pero que difieren en tamaño por un múltiplo entero de una vez, se denominan ángulos coterminales .
  • Un ángulo de referencia es la versión aguda de cualquier ángulo determinado restando repetidamente o la adición de ángulo recto ( 1 / 2 a su vez, 180 °, o pi radianes), a los resultados como sea necesario, hasta que la magnitud de resultado es un ángulo agudo, un valor entre 0 y 1 / 4 a su vez, 90 °, o pi / 2 radianes. Por ejemplo, un ángulo de 30 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados, y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados (180-150). Un ángulo de 750 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados (750-720).

Vertical y pares de ángulos adyacentes

Ángulos A y B son un par de ángulos verticales; ángulos C y D son un par de ángulos verticales.

Cuando dos líneas rectas se cortan en un punto, se forman cuatro ángulos. Por parejas estos ángulos se nombran en función de su ubicación con respecto a la otra.

  • Un par de ángulos opuestos entre sí, el formado por dos líneas rectas que forman una "X" -como forma, se denominan ángulos verticales o ángulos opuestos o ángulos verticalmente opuestos . Ellos se abrevian de la vert. OPP. ∠s .
La igualdad de los ángulos verticalmente opuestos se llama el teorema ángulo vertical . Eudemo de Rodas atribuyó la prueba a Tales de Mileto . La proposición mostró que, ya que ambos de un par de ángulos verticales son suplementarios a los dos ángulos adyacentes, los ángulos verticales son iguales en medida. De acuerdo con una nota histórica, cuando Thales visitó Egipto, observó que cuando los egipcios sacaron dos líneas que se cruzan, se medirían los ángulos verticales para asegurarse de que eran iguales. Tales llegó a la conclusión de que se podía demostrar que todos los ángulos verticales son iguales si se aceptaba algunas nociones generales tales como: todos los ángulos rectos son iguales, iguales sumados a iguales son iguales, y es igual restan de iguales son iguales.
En la figura, asumir la medida del ángulo A = x . Cuando dos ángulos adyacentes forman una línea recta, que son suplementarios. Por lo tanto, la medida del ángulo C = 180 - x . Del mismo modo, la medida del ángulo D = 180 - x . Tanto ángulo C y ángulo D tienen medidas iguales a 180 - x y son congruentes. Desde ángulo B es complementario a ambos ángulos C y D , cualquiera de estas medidas de los ángulos se pueden usar para determinar la medida del ángulo B . Utilizando la medida de cualquiera de ángulo C o de ángulo D nos encontramos con la medida del ángulo B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Por lo tanto, tanto el ángulo A y ángulo B tienen medidas iguales a x y son iguales en medida.
Angles A y B son adyacentes.
  • Los ángulos adyacentes , a menudo abreviado como adj. ∠s , son ángulos que comparten un vértice común y el borde pero no comparten los puntos interiores. En otras palabras, son ángulos que están lado a lado, o adyacente, que comparten un "brazo". Ángulos adyacentes que suma a un ángulo recto, ángulo recto o el ángulo completo son especiales y se denominan respectivamente complementarios , suplementarios y explementary ángulos (véase "Combinar pares de ángulos" a continuación).

Una transversal es una línea que interseca un par de (a menudo paralelo) líneas y se asocia con ángulos alternos interiores , los ángulos correspondientes , ángulos interiores , y ángulos exteriores .

La combinación de pares de ángulos

Hay tres pares de ángulos especiales que implican la suma de los ángulos:

El complementarios ángulos una y b ( b es el complemento de una , y una es el complemento de b ).
  • Los ángulos complementarios son pares de ángulos cuyas medidas resumir a un ángulo recto ( 1 / 4 a su vez, 90 °, o pi / 2 radianes). Si los dos ángulos complementarios son adyacentes a sus lados no compartidos forman un ángulo recto. En la geometría euclidiana, los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarias, debido a que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 grados, y el propio ángulo recto representa el noventa grados.
El adjetivo es complementaria de América complementum , asociado con el verbo complero , "para llenar". Un ángulo agudo está "llena" de su complemento para formar un ángulo recto.
La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina el complemento del ángulo.
Si los ángulos A y B son complementarias, las siguientes relaciones son válidas:
(La tangente de un ángulo igual a la cotangente de su complemento y su secante es igual a la cosecante de su complemento.)
El prefijo " co " en los nombres de algunas relaciones trigonométricas refiere a la palabra "complementaria".
Los ángulos de un y b son complementarios ángulos.
  • Dos ángulos que resumen a un ángulo recto ( 1 / 2 a su vez, 180 °, o π radianes) se denominan ángulos suplementarios .
Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un común vértice y compartir un solo lado), sus lados no compartidos forman una línea recta . Tales ángulos se llaman un par lineal de ángulos . Sin embargo, ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma línea, y se pueden separar en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios, y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (uno cuyos vértices caen todos en un solo círculo) son suplementarios.
Si un punto P es exterior a un círculo de centro O, y si las líneas tangentes de P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠TPQ y ∠TOQ son suplementarios.
Los senos de ángulos suplementarios son iguales. Sus cosenos y tangentes (a menos que no definido) son iguales en magnitud pero tienen signos opuestos.
En la geometría euclidiana, cualquier suma de dos ángulos de un triángulo es complementario del tercero, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo recto.

Suma de dos explementary ángulos es una completa ángulo.
  • Dos ángulos que resumen a un ángulo completo (1 vez, 360 °, o 2 pi radianes) se denominan ángulos explementary o ángulos conjugadas .
    La diferencia entre un ángulo y un ángulo completa se denomina la explement del ángulo o conjugado de un ángulo.

ángulos relacionados poligonal

ángulos internos y externos.
  • Un ángulo que forma parte de un polígono simple se llama un ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple. Un simple polígono cóncavo tiene al menos un ángulo interior que es un ángulo de reflejo.
    En la geometría euclidiana , las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman a pi radianes, 180 °, o 1 / 2 a su vez; las medidas de los ángulos interiores de un simple convexa cuadrilátero suman a 2 pi radianes, 360 °, o 1 vuelta. En general, las medidas de los ángulos interiores de un simple convexa polígono con n lados suman a ( n  - 2) pi radianes, o 180 ( n  - 2) grados, (2 n  - 4) ángulos rectos, o ( n / 2  - 1) girar.
  • El suplemento de un ángulo interior se llama un ángulo exterior , es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par lineal de ángulos . Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado mediante la extensión de uno de los dos lados del polígono que se unen en el vértice; estos dos ángulos son ángulos verticales y por lo tanto son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación uno tiene que hacer en un vértice de trazar el polígono. Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo de reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo . Incluso en un polígono no simple que sea posible definir el ángulo exterior, pero uno tendrá que elegir una orientación del plano (o superficie ) para decidir la señal de la medida del ángulo exterior.
    En la geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono simple convexa será una vuelta completa (360 °). El ángulo exterior aquí podría ser llamado un ángulo exterior complementaria . Ángulos exteriores se utilizan comúnmente en Logo tortuga Geometría al dibujar polígonos regulares.
  • En un triángulo , las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz de la otra ángulo interior son concurrente (reunirse en un solo punto).
  • En un triángulo, tres puntos de intersección, cada una de una bisectriz de un ángulo externo con el contrario lateral extendida , son colineales .
  • En un triángulo, tres puntos de intersección, dos de ellos entre un ángulo bisector interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz del ángulo exterior y el lado opuesto extendida, son colineales.
  • Algunos autores utilizan el nombre de ángulo exterior de un polígono simple para significar simplemente el ángulo exterior explement ( no complementar!) Del ángulo interior. Esto entra en conflicto con el uso anterior.

ángulos relacionados planas-

  • El ángulo entre dos planos (por ejemplo, dos caras adyacentes de un poliedro ) se llama un ángulo diedro . Puede ser definido como el ángulo agudo entre dos líneas normales a los planos.
  • El ángulo entre un plano y una línea recta de intersección es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea de intersección y la línea que pasa por el punto de intersección y es normal al plano.

La medición de ángulos

El tamaño de un ángulo geométrico se caracteriza generalmente por la magnitud de la rotación más pequeña que se asigna uno de los rayos en el otro. Angles que tienen el mismo tamaño se dice que son iguales o congruentes o iguales en medida .

En algunos contextos, tales como la identificación de un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de un completo a su vez son efectivamente equivalente. En otros contextos, tales como la identificación de un punto en una espiral curva o describir la rotación acumulativo de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, ángulos que difieren por un no-cero múltiplo de una vuelta completa no son equivalentes.

La medida del ángulo θ (en radianes) es el cociente de s y r .

Con el fin de medir un ángulo θ , un arco de círculo con centro en el vértice del ángulo se dibuja, por ejemplo, con un par de compases . La relación de la longitud s del arco por el radio r del círculo es la medida del ángulo en radianes .

La medida del ángulo en otra unidad angular se obtiene entonces multiplicando su medida en radianes por el factor de escala k / 2 π , donde k es la medida de un giro completo en la unidad elegida (por ejemplo 360 para grados o 400 para gradianes ):

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio entonces los cambios de longitud de arco en la misma proporción, por lo que la relación s / r es inalterada. (Prueba. La fórmula anterior se puede reescribir como k = theta r / s . Una vez, para los que θ = n unidades, corresponde a un arco de longitud igual a la del círculo circunferencia , que es 2 π r , por lo que s = 2 π r . Sustituyendo n para θ y 2 π r para s en la fórmula, los resultados en k = nr / 2 π r = n / 2 π . )

Ángulo postulado Además

El postulado Además ángulo establece que si B está en el interior del ángulo AOC , entonces

La medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC . En este postulado que no importa en el que la unidad de ángulo se mide siempre que cada ángulo se mide en la misma unidad.

Unidades

Las unidades utilizadas para representar los ángulos se enumeran a continuación en orden descendente de magnitud. De estas unidades, el grado y el radián son, con mucho, el más comúnmente utilizado. Angles expresadas en radianes son adimensionales para los propósitos de análisis dimensional .

La mayoría de las unidades de medida angular se definen de tal manera que una vez (es decir, un círculo completo) es igual a n unidades, para toda algún número n . Las dos excepciones son el radián y la parte de diámetro.

Girar ( n  = 1)
El su vez , también ciclo , círculo completo , revolución y rotación , es movimiento completo circular o medida (como para volver al mismo punto) con el círculo o elipse. A su vez se abrevia τ , cyc , rev , o podredumbre dependiendo de la aplicación, pero en el acrónimo rpm (revoluciones por minuto), simplemente r se utiliza. A su vez de n unidades se obtiene mediante el establecimiento de k = 1 / 2 π en la fórmula anterior. La equivalencia de 1 a su vez es de 360 °, 2 π rad, 400 grad, y 4 ángulos rectos. El símbolo τ también se puede utilizar como una constante matemática para representar 2 pi radianes. Utilizado de esta manera ( k = τ / ) permite radianes a ser expresados como una fracción de vuelta. Por ejemplo, la mitad de un giro es T se / 2 = π .
Quadrant ( n  = 4)
El cuadrante es 1 / 4 de vuelta, es decir, un ángulo recto . Es la unidad utilizada en los Elementos de Euclides . 1 quad. = 90 ° = π / 2  rad = 1 / 4 vuelta = 100 grad. En alemán el símbolo se ha usado para denotar un cuadrante.
Sextant ( n  = 6)
El sextante ( ángulo del triángulo equilátero ) es 1 / 6 de vuelta. Era la unidad utilizada por los babilonios , y es especialmente fácil de construir con regla y compás. El grado, minuto de arco y segundos de arco son sexagesimales subunidades de la unidad de Babilonia. 1 unidad de Babilonia = 60 ° = π / 3 rad ≈ 1,047197551 rad.
θ = s / r rad = 1 rad.
Radian ( n  = 2 π  = 6,283...)
El radián es el ángulo subtendido por un arco de un círculo que tiene la misma longitud que el radio del círculo. El caso de radián por la fórmula dada anteriormente, un radián de n = 2 π unidades se obtiene mediante el establecimiento de k = 2 π / 2 π = 1. Una vuelta es de 2 pi radianes, y un radián es 180 / π grados, o alrededor de 57.2958 grados. El radián se abrevia rad , aunque este símbolo se omite con frecuencia en los textos matemáticos, que se supone que radianes a menos que se especifique lo contrario. Cuando radianes son ángulos usados son considerados como sin dimensiones. El radián se utiliza en prácticamente todo el trabajo matemático más allá del simple geometría práctica, debido, por ejemplo, a las propiedades "naturales" que los agradable y funciones trigonométricas aparecen cuando sus argumentos son en radianes. El radián es la unidad de (derivados) de medición angular en el SI del sistema.
Posición del reloj ( n  = 12)
Una posición de reloj es la dirección relativa de un objeto describe usando la analogía de un reloj de 12 horas . Uno se imagina una esfera de reloj acostado en posición vertical o plana en frente de uno mismo, e identifica las marcas de doce horas con las direcciones en las que se apuntan.
Ángulo horas ( n  = 24)
El astronómico ángulo horas es 1 / 24 de vuelta. Como este sistema es susceptible de medir objetos que ciclo una vez por día (como la posición relativa de estrellas), las subunidades sexagesimales se llaman minutos de tiempo y segundos de tiempo . Estos son distintas de, y 15 veces más grande que, minutos y segundos de arco. 1 hora = 15 ° = π / 12  rad = 1 / 6  quad. = 1 / 24 a su vez = 16 2 / 3   grad.
(Compass) punto o viento ( n  = 32)
El punto , que se utiliza en la navegación , es 1 / 32 de vuelta. 1 punto = 1 / 8 de un ángulo recto = 11,25 ° = 12,5 grad. Cada punto se subdivide en cuatro cuartos de puntos para que a su vez es igual a 1 128 cuartos de puntos.
Hexacontade ( n  = 60)
El hexacontade es una unidad de 6 ° que Eratóstenes utiliza, de modo que toda una vez se dividió en 60 unidades.
Pechus ( n  = 144 a 180)
-La pechus era un Babilonia unidad igual a aproximadamente 2 ° o 2 1 / 2  °.
Grado binario ( n  = 256)
El grado binario , también conocido como el radián binario (o Brad ), es 1 / 256 de vuelta. El grado binario se utiliza en la informática de manera que un ángulo se puede representar de manera eficiente en un único byte (aunque a la precisión limitada). Otras medidas de ángulo utilizado en informática pueden estar basadas en la división de una vuelta entera en 2 n partes iguales para otros valores de n .
Grado ( n  = 360)
El grado , denotado por un pequeño círculo superíndice (°), es 1/360 de una vuelta, por lo que uno a su vez es de 360 °. El caso de grados para la fórmula dada anteriormente, un grado de n = 360 ° unidades se obtiene mediante el establecimiento de k = 360 ° / 2 π . Una ventaja de este viejo sexagesimal subunidad es que muchos ángulos comunes en geometría simple se miden como un número entero de grados. Las fracciones de un grado pueden ser escritos en notación decimal normal (por ejemplo 3,5 ° para tres grados y medio), pero la "minutos" y "segundo" subunidades sexagesimales del sistema de "grado-minutos-segundos" también están en uso, especialmente de coordenadas geográficas y en la astronomía y balística .
Parte de diámetro ( n  = 376,99...)
La parte de diámetro (de vez en cuando se utiliza en las matemáticas islámicas) es 1 / 60 radianes. Una "parte" de diámetro es de aproximadamente 0,95493 °. Hay alrededor de 376.991 partes de diámetro por turno.
Grad ( n  = 400)
El grad , también llamado grado , centesimales , o gon , es 1 / 400 de un giro, por lo que un ángulo recto es 100 grados centesimales. Es una subunidad decimal del cuadrante. Un kilómetro históricamente se define como un centi -grad arco a lo largo de un gran círculo de la tierra, por lo que el kilómetro es el análogo decimal a la sexagesimal milla náutica. El grad se utiliza sobre todo en la triangulación .
milirradián
El miliradián (mil o mrad) se define como una milésima parte de un radián, lo que significa que una rotación de uno a su vez consta de 2000π mil (o aproximadamente 6283,185 ... mil), y casi todos los lugares de alcance para armas de fuego están calibrados para esta definición . Además, hay otros tres definiciones derivados utilizados para la artillería y de navegación que son aproximadamente igual a un miliradián. En estas otras tres definiciones de una vuelta compensa exactamente 6000, 6300 o 6400 mm, que es igual que abarcan el rango de 0,05625 a 0,06 grados (3,375 a 3,6 minutos). En comparación, el verdadero milirradián es aproximadamente 0,05729578 ... grados (3.43775 ... minutos). Una " OTAN mil" se define como 1 / 6 400 de un círculo. Al igual que con la verdadera miliradián, cada una de las otras definiciones explota la propiedad Handby del mil de subtensions, es decir, que el valor de uno miliradián aproximadamente igual al ángulo subtendido por un ancho de 1 metro como se ve desde el 1 km ( 2 π / 6400 = 0.0009817 ... ≈ 1 / 1000 ).
Minuto de arco ( n  = 21 600)
El minuto de arco (o MOA , minuto de arco , o simplemente minuto ) es 1 / 60 de un grado = 1 / 21.600 a su vez. Se denota por una sola prima ( '). Por ejemplo, 3 ° 30 'es igual a 3 x 60 + 30 = 210 minutos o 3 +  30 / 60 = 3,5 grados. Un formato mezclado con fracciones decimales también se utiliza a veces, por ejemplo 3 ° 5,72 '= 3 +  5.72 / 60 grados. Una milla náutica históricamente se define como un minuto de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra.
Segundo de arco ( n  = 1.296.000)
El segundo de arco (o segundo de arco , o simplemente segundos ) es 1 / 60 de un minuto de arco y 1 / 3.6 mil de un grado. Se denota por una doble prima ( "). Por ejemplo, 3 ° 7 '30 "es igual a 3 + 7 / 60 + 30 / 3.600 grados, o 3,125 grados.

Los ángulos positivos y negativos

Aunque la definición de la medición de un ángulo no soporta el concepto de un ángulo negativo, a menudo es útil para imponer una convención que permite a los valores angulares positivos y negativos para representar las orientaciones y / o rotaciones en sentidos opuestos con relación a alguna referencia.

En una de dos dimensiones del sistema de coordenadas cartesianas , un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial es en el positivo del eje x , mientras que el otro lado o lado del terminal se define por la medida desde el lado inicial en radianes, grados, o vueltas. Con ángulos positivos representan rotaciones hacia los positivos eje-y y ángulos negativos representan rotaciones hacia los negativos Y eje y. Cuando las coordenadas cartesianas están representados por posición estándar , definido por la x eje y hacia la derecha y la y eje y hacia arriba, rotaciones positivas son en sentido antihorario y rotaciones negativas son las agujas del reloj .

En muchos contextos, un ángulo de - θ es efectivamente equivalente a un ángulo de "una vuelta completa en menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como -45 ° es efectivamente equivalente a una orientación representada como 360 ° - 45 ° o 315 °. Aunque la posición final es el mismo, una rotación física (movimiento) de -45 ° no es lo mismo que una rotación de 315 ° (por ejemplo, la rotación de una persona titular de un reposo escoba en un piso polvoriento dejaría visualmente diferentes huellas de barrido regiones en el suelo).

En la geometría tridimensional, "hacia la derecha" y "hacia la izquierda" no tienen ningún significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos se debe definir con relación a alguna referencia, que es típicamente un vector que pasa a través del vértice del ángulo y perpendicular al plano en el que los rayos del ángulo de mentira.

En la navegación , cojinetes o acimut se miden con respecto al norte. Por convención, visto desde arriba, ángulos de marcación son las agujas del reloj positivo, por lo que un cojinete de 45 ° corresponde a una orientación noreste. Cojinetes negativos no se utilizan para la navegación, por lo que una orientación norte-oeste corresponde a un rumbo de 315 °.

Formas alternativas de medir el tamaño de un ángulo

Hay varias alternativas para medir el tamaño de un ángulo por el ángulo de rotación. El grado de una pendiente , o gradiente es igual a la tangente del ángulo de, o algunas veces (raramente) el seno . Un gradiente se expresa a menudo como un porcentaje. Para valores muy pequeños (menos de 5%), el grado de la pendiente es aproximadamente la medida del ángulo en radianes.

En geometría racional la propagación entre dos líneas se define como el cuadrado de la seno del ángulo entre las líneas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son los mismos, cualquier ángulo de rotación que se asigna una de las líneas en el otro conduce al mismo valor para la propagación entre las líneas.

aproximaciones astronómicas

Los astrónomos miden la separación angular de los objetos en grados desde su punto de observación.

  • 0,5 ° es aproximadamente la anchura del sol o de la luna.
  • 1 ° es aproximadamente la anchura de un dedo meñique en la longitud del brazo.
  • 10 ° es aproximadamente la anchura de un puño cerrado con el brazo extendido.
  • 20 ° es aproximadamente la anchura de un palmo en la longitud del brazo.

Estas mediciones dependen claramente de la sujeto individual, y la de arriba deben ser tratados como áspera regla general sólo aproximaciones.

Ángulos entre las curvas

El ángulo entre las dos curvas en P se define como el ángulo entre las tangentes A y B en P .

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas de intersección (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Varios nombres (ahora rara vez, o nunca, se usa) se les ha dado a los casos particulares: - amphicyrtic (Gr. Ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convexas) o cissoidal (Gr κισσός, hiedra.), Biconvexa; xystroidal o sistroidal (Gr ξυστρίς, una herramienta para raspar.), cóncavo-convexa; amphicoelic (Gr. κοίλη, un hueco) o lunularis Angulus , bicóncava.

Bisectriz y trisección de ángulos

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo biseca un ángulo (dividirlo en dos ángulos de la misma medida) usando solamente un compás y una regla , pero sólo pudo trisect ciertos ángulos. En 1837 Pierre Wantzel mostró que para la mayoría de los ángulos de esta construcción no se puede realizar.

producto escalar y generalizaciones

En el espacio euclidiano , el ángulo θ entre dos vectores euclidianas u y v se relaciona con su producto escalar y sus longitudes por la fórmula

Esta fórmula suministra un método fácil para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) de sus vectores normales y entre líneas oblicuas de sus ecuaciones vectoriales.

Producto Interno

Para definir los ángulos en un verdadero abstracto espacio de producto interior , reemplazamos el producto escalar euclidiano ( · ) por el producto interno , es decir,

En un complejo espacio con producto interno , la expresión para el coseno anterior puede dar valores no real, por lo que se reemplaza con

o, más comúnmente, utilizando el valor absoluto, con

La última definición ignora la dirección de los vectores y de este modo se describe el ángulo entre subespacios unidimensionales y abarcado por los vectores y correspondientemente.

Ángulos entre los subespacios

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales y dado por

en un espacio de Hilbert se puede extender a subespacios de cualesquiera dimensiones finitas. Dados dos subespacios , con , esto conduce a una definición de ángulos llamados canónicos o ángulos principales entre los subespacios.

Ángulos en la geometría de Riemann

En la geometría de Riemann , el tensor métrico se utiliza para definir el ángulo entre dos tangentes . Donde U y V son vectores tangentes y g ij son las componentes del tensor métrico G ,

ángulo hiperbólico

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica al igual que el ángulo circular es el argumento de una función circular . La comparación se puede visualizar como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular desde las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes de ángulo en cada caso. A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico es ilimitado. Cuando las funciones circulares e hiperbólicas son vistos como serie infinita en su argumento ángulo, los circulares son simplemente alternando series de formas de las funciones hiperbólicas. Este tejido de los dos tipos de ángulo y la función se explica por Leonhard Euler en Introducción al análisis del Infinito .

Ángulos en la geografía y la astronomía

En la geografía , la ubicación de cualquier punto de la Tierra puede ser identificado utilizando un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendido en el centro de la Tierra, utilizando la línea ecuatorial y (generalmente) el meridiano de Greenwich como referencia.

En astronomía , un punto dado en la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) se pueden identificar usando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían de acuerdo con el sistema particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas por el centro de la Tierra , cada intersección de una de las estrellas. El ángulo entre estas líneas se puede medir, y es la separación angular entre las dos estrellas.

En tanto la geografía y astronomía, una dirección de mira se puede especificar en términos de un ángulo vertical , tales como altitud / elevación con respecto al horizonte , así como el acimut con respecto al norte .

Los astrónomos también miden el tamaño aparente de los objetos como un diámetro angular . Por ejemplo, la luna llena tiene un diámetro angular de aproximadamente 0,5 °, cuando se ve desde la Tierra. Se podría decir, "de diámetro de la Luna subtiende un ángulo de medio grado." La fórmula de ángulo pequeño se puede utilizar para convertir una medición de este tipo angular en una relación distancia / tamaño.

Ver también

notas

referencias

Atribución

enlaces externos