Superficie (matemáticas) - Surface (mathematics)

En matemáticas , una superficie es una generalización de un plano . A diferencia de un avión, no es necesario que sea plano , es decir, no es necesario que su curvatura sea ​​cero. Esto es análogo a una curva que generaliza una línea recta . Existen muchas definiciones más precisas, según el contexto y las herramientas matemáticas utilizadas para analizar la superficie.

El concepto matemático idealiza lo que se entiende por superficie en ciencia , gráficos por computadora y lenguaje común.

Definiciones

A menudo, una superficie se define mediante ecuaciones que se satisfacen con las coordenadas de sus puntos. Este es el caso de la gráfica de una función continua de dos variables. El conjunto de ceros de una función de tres variables es una superficie, que se llama superficie implícita . Si la función de definición de tres variables es un polinomio , la superficie es una superficie algebraica . Por ejemplo, la esfera unitaria es una superficie algebraica, como puede ser definida por la ecuación implícita

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0.}$

Una superficie también puede definirse como la imagen , en algún espacio de dimensión al menos 3, de una función continua de dos variables (se requieren algunas condiciones adicionales para asegurar que la imagen no sea una curva ). En este caso, se dice que se tiene una superficie paramétrica , que está parametrizada por estas dos variables, llamadas parámetros . Por ejemplo, la esfera unitaria puede ser parametrizada por los ángulos de Euler , también llamados longitud u y latitud v por

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = \ cos (u) \ cos (v) \\ y & = \ sin (u) \ cos (v) \\ z & = \ sin (v) \,. \ end { alineado}}}$

Las ecuaciones paramétricas de superficies suelen ser irregulares en algunos puntos. Por ejemplo, todos menos dos puntos de la esfera unitaria son la imagen, por la parametrización anterior, de exactamente un par de ángulos de Euler ( módulo 2 π ). Para los dos puntos restantes (los polos norte y sur ), uno tiene cos v = 0 , y la longitud u puede tomar cualquier valor. Además, hay superficies para las que no puede existir una única parametrización que cubra toda la superficie. Por lo tanto, a menudo se consideran superficies que están parametrizadas por varias ecuaciones paramétricas, cuyas imágenes cubren la superficie. Esto se formaliza mediante el concepto de variedad : en el contexto de las variedades, típicamente en topología y geometría diferencial , una superficie es una variedad de dimensión dos; esto significa que una superficie es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto del plano euclidiano (ver Superficie (topología) y Superficie (geometría diferencial) ). Esto permite definir superficies en espacios de dimensión superior a tres, e incluso superficies abstractas , que no están contenidas en ningún otro espacio. Por otro lado, esto excluye las superficies que tienen singularidades , como el vértice de una superficie cónica o los puntos donde una superficie se cruza.

En geometría clásica , una superficie se define generalmente como el lugar geométrico de un punto o una línea. Por ejemplo, una esfera es el lugar geométrico de un punto que se encuentra a una distancia dada de un punto fijo, llamado centro; una superficie cónica es el lugar de una línea que pasa por un punto fijo y cruza una curva ; una superficie de revolución es el lugar geométrico de una curva que gira alrededor de una línea. Una superficie reglada es el lugar de una línea en movimiento que satisface algunas restricciones; en la terminología moderna, una superficie reglada es una superficie, que es una unión de líneas.

Terminología

En este artículo, se consideran y comparan varios tipos de superficies. Por tanto, es necesaria una terminología inequívoca para distinguirlos. Por lo tanto, llamamos superficies topológicas a las superficies que son variedades de dimensión dos (las superficies consideradas en Superficie (topología) ). Llamamos superficies diferenciables a las superficies que son variedades diferenciables (las superficies consideradas en Superficie (geometría diferencial) ). Toda superficie diferenciable es una superficie topológica, pero lo contrario es falso.

Por simplicidad, a menos que se indique lo contrario, "superficie" significará una superficie en el espacio euclidiano de dimensión 3 o en R ³ . Una superficie que no se supone que esté incluida en otro espacio se llama superficie abstracta .

Ejemplos de

• La gráfica de una función continua de dos variables, definida sobre una conectada subconjunto abierto de R ² es una superficie topológica . Si la función es diferenciable , la gráfica es una superficie diferenciable .
• Un plano es tanto una superficie algebraica como una superficie diferenciable. También es una superficie reglada y una superficie de revolución .
• Un cilindro circular (es decir, el lugar geométrico de una línea que cruza un círculo y es paralelo a una dirección dada) es una superficie algebraica y una superficie diferenciable.
• Un cono circular (lugar geométrico de una línea que cruza un círculo y pasa por un punto fijo, el vértice , que está fuera del plano del círculo) es una superficie algebraica que no es una superficie diferenciable. Si se quita el ápice, el resto del cono es la unión de dos superficies diferenciables.
• La superficie de un poliedro es una superficie topológica, que no es ni una superficie diferenciable ni una superficie algebraica.
• Un paraboloide hiperbólico (la gráfica de la función z = xy ) es una superficie diferenciable y una superficie algebraica. También es una superficie reglada y, por esta razón, se utiliza a menudo en arquitectura .
• Un hiperboloide de dos hojas es una superficie algebraica y la unión de dos superficies diferenciables que no se cruzan.

Superficie paramétrica

Una superficie paramétrica es la imagen de un subconjunto abierto del plano euclidiano (típicamente ) por una función continua , en un espacio topológico , generalmente un espacio euclidiano de dimensión al menos tres. Por lo general, se supone que la función es continuamente diferenciable , y este será siempre el caso en este artículo. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Específicamente, una superficie paramétrica está dada por tres funciones de dos variables u y v , llamadas parámetros${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = f_ {1} (u, v) \\ y & = f_ {2} (u, v) \\ z & = f_ {3} (u, v) \,. \ final {alineado}}}$

Como la imagen de tal función puede ser una curva (por ejemplo, si las tres funciones son constantes con respecto a v ), se requiere una condición adicional, generalmente que, para casi todos los valores de los parámetros, la matriz jacobiana

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial u}} y {\ dfrac {\ parcial f_ {1}} {\ parcial v}} \\ {\ dfrac { \ parcial f_ {2}} {\ parcial u}} & {\ dfrac {\ parcial f_ {2}} {\ parcial v}} \\ {\ dfrac {\ parcial f_ {3}} {\ parcial u}} & {\ dfrac {\ parcial f_ {3}} {\ parcial v}} \\\ end {bmatrix}}}$

tiene rango dos. Aquí "casi todos" significa que los valores de los parámetros donde el rango es dos contienen un subconjunto abierto denso del rango de la parametrización. Para superficies en un espacio de mayor dimensión, la condición es la misma, excepto por el número de columnas de la matriz jacobiana.

Plano tangente y vector normal

Un punto p donde la matriz jacobiana anterior tiene rango dos se llama regular o, más propiamente, la parametrización se llama regular en p .

El plano tangente en un punto regular p es el plano único que pasa por py que tiene una dirección paralela a los dos vectores de fila de la matriz jacobiana. El plano tangente es un concepto afín , porque su definición es independiente de la elección de una métrica . En otras palabras, cualquier transformación afín mapea el plano tangente a la superficie en un punto al plano tangente a la imagen de la superficie en la imagen del punto.

La línea normal en un punto de una superficie es la línea única que pasa por el punto y es perpendicular al plano tangente; el vector normal es un vector paralelo al normal.

Para otras invariantes diferenciales de superficies, en la vecindad de un punto, consulte Geometría diferencial de superficies .

Punto irregular y punto singular

Un punto de una superficie paramétrica que no es regular es irregular . Hay varios tipos de puntos irregulares.

Puede ocurrir que un punto irregular se vuelva regular, si se cambia la parametrización. Este es el caso de los polos en la parametrización de la esfera unitaria por ángulos de Euler : basta con permutar el papel de los diferentes ejes coordenados para el cambio de polos.

Por otro lado, considere el cono circular de la ecuación paramétrica

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = t \ cos (u) \\ y & = t \ sin (u) \\ z & = t \,. \ end {alineado}}}$

El vértice del cono es el origen (0, 0, 0) , y se obtiene para t = 0 . Es un punto irregular que permanece irregular, cualquiera que sea la parametrización que se elija (de lo contrario, existiría un plano tangente único). Tal punto irregular, donde el plano tangente no está definido, se dice singular .

Hay otro tipo de puntos singulares. Están los puntos de autocruzamiento , es decir, los puntos donde la superficie se cruza a sí misma. En otras palabras, estos son los puntos que se obtienen para (al menos) dos valores diferentes de los parámetros.

Gráfica de una función bivariante

Sea z = f ( x , y ) una función de dos variables reales. Esta es una superficie paramétrica, parametrizada como

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = t \\ y & = u \\ z & = f (t, u) \,. \ end {alineado}}}$

Cada punto de esta superficie es regular, ya que las dos primeras columnas de la matriz jacobiana forman la matriz de identidad de rango dos.

Superficie racional

Una superficie racional es una superficie que puede parametrizarse mediante funciones racionales de dos variables. Es decir, si f _i ( t , u ) son, para i = 0, 1, 2, 3 , polinomios en dos indeterminados, entonces la superficie paramétrica, definida por

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = {\ frac {f_ {1} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \\ y & = {\ frac {f_ {2} ( t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \\ z & = {\ frac {f_ {3} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \ ,, \ end {alineado}}}$

es una superficie racional.

Una superficie racional es una superficie algebraica , pero la mayoría de las superficies algebraicas no son racionales.

Superficie implícita

Una superficie implícita en un espacio euclidiano (o, más generalmente, en un espacio afín ) de dimensión 3 es el conjunto de ceros comunes de una función diferenciable de tres variables.

${\ Displaystyle f (x, y, z) = 0.}$

Implícito significa que la ecuación define implícitamente una de las variables en función de las otras variables. Esto se hace más exacto por el teorema de la función implícita : si f ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) = 0 , y la derivada parcial en z de f no es cero en ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) , entonces existe una función diferenciable φ ( x , y ) tal que

${\ Displaystyle f (x, y, \ varphi (x, y)) = 0}$

en un vecindario de ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) . En otras palabras, la superficie implícita es la gráfica de una función cerca de un punto de la superficie donde la derivada parcial en z es distinta de cero. Por tanto, una superficie implícita tiene, localmente, una representación paramétrica, excepto en los puntos de la superficie donde las tres derivadas parciales son cero.

Puntos regulares y plano tangente

Un punto de la superficie donde al menos una derivada parcial de f es distinta de cero se llama regular . En tal punto , el plano tangente y la dirección de la normal están bien definidos, y pueden deducirse, con el teorema de la función implícita de la definición dada anteriormente, en § Plano tangente y vector normal . La dirección de la normal es el gradiente , que es el vector ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

${\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ Particular F} {\ Particular x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), {\ frac {\ Particular F} {\ Particular y} } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ right ].}$

El plano tangente está definido por su ecuación implícita

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {\ partial f} {\ y parcial}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (y-y_ {0}) + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} (x_ {0} , y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0.}$

Punto singular

Un punto singular de una superficie implícita (en ) es un punto de la superficie donde se cumple la ecuación implícita y las tres derivadas parciales de su función definitoria son todas cero. Por tanto, los puntos singulares son las soluciones de un sistema de cuatro ecuaciones en tres indeterminados. Como la mayoría de estos sistemas no tienen solución, muchas superficies no tienen ningún punto singular. Una superficie sin un punto singular se llama regular o no singular . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

El estudio de superficies cercanas a sus puntos singulares y la clasificación de los puntos singulares es teoría de la singularidad . Un punto singular está aislado si no hay otro punto singular en una vecindad del mismo. De lo contrario, los puntos singulares pueden formar una curva. Este es en particular el caso de las superficies que se autocruzan.

Superficie algebraica

Originalmente, una superficie algebraica era una superficie que puede definirse mediante una ecuación implícita

${\ Displaystyle f (x, y, z) = 0,}$

donde f es un polinomio en tres indeterminados , con coeficientes reales.

El concepto se ha extendido en varias direcciones, definiendo superficies sobre campos arbitrarios y considerando superficies en espacios de dimensión arbitraria o en espacios proyectivos . También se consideran las superficies algebraicas abstractas, que no están explícitamente incrustadas en otro espacio.

Superficies sobre campos arbitrarios

Se aceptan polinomios con coeficientes en cualquier campo para definir una superficie algebraica. Sin embargo, el campo de coeficientes de un polinomio no está bien definido, ya que, por ejemplo, un polinomio con coeficientes racionales también puede considerarse como un polinomio con coeficientes reales o complejos . Por tanto, el concepto de punto de la superficie se ha generalizado de la siguiente forma:

Dado un polinomio f ( x , y , z ) , sea k el campo más pequeño que contiene los coeficientes y K una extensión algebraicamente cerrada de k , de grado de trascendencia infinito . Entonces un punto de la superficie es un elemento de K ³ que es una solución de la ecuación

${\ Displaystyle f (x, y, z) = 0.}$

Si el polinomio tiene coeficientes reales, el campo K es el campo complejo , y un punto de la superficie al que pertenece (un punto habitual) se llama punto real . Un punto que pertenece a k ³ se llama racional sobre k , o simplemente un punto racional , si k es el campo de los números racionales . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Superficie proyectiva

Una superficie proyectiva en un espacio proyectivo de dimensión tres es el conjunto de puntos cuyas coordenadas homogéneas son ceros de un único polinomio homogéneo en cuatro variables. De manera más general, una superficie proyectiva es un subconjunto de un espacio proyectivo, que es una variedad proyectiva de dimensión dos.

Las superficies proyectivas están fuertemente relacionadas con superficies afines (es decir, superficies algebraicas ordinarias). Se pasa de una superficie proyectiva a la correspondiente superficie afín estableciendo en una alguna coordenada o indeterminado de los polinomios definitorios (generalmente el último). A la inversa, se pasa de una superficie afín a su superficie proyectiva asociada (llamada terminación proyectiva ) homogeneizando el polinomio definitorio (en el caso de superficies en un espacio de dimensión tres), o homogeneizando todos los polinomios del ideal definitorio (para superficies en un espacio de dimensión tres). espacio de mayor dimensión).

En espacios de dimensiones superiores

No se puede definir el concepto de superficie algebraica en un espacio de dimensión superior a tres sin una definición general de una variedad algebraica y de la dimensión de una variedad algebraica . De hecho, una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos .

Más precisamente, una superficie algebraica en un espacio de dimensión n es el conjunto de ceros comunes de al menos n - 2 polinomios, pero estos polinomios deben satisfacer otras condiciones que pueden no ser inmediatas de verificar. En primer lugar, los polinomios no deben definir una variedad o un conjunto algebraico de mayor dimensión, que suele ser el caso si uno de los polinomios está en el ideal generado por los otros. Generalmente, n - 2 polinomios definen un conjunto algebraico de dimensión dos o superior. Si la dimensión es dos, el conjunto algebraico puede tener varios componentes irreducibles . Si solo hay un componente, los n - 2 polinomios definen una superficie, que es una intersección completa . Si hay varios componentes, entonces se necesitan más polinomios para seleccionar un componente específico.

La mayoría de los autores consideran como una superficie algebraica solo las variedades algebraicas de dimensión dos, pero algunos también consideran como superficies todos los conjuntos algebraicos cuyos componentes irreductibles tienen la dimensión dos.

En el caso de superficies en un espacio de dimensión tres, cada superficie es una intersección completa, y una superficie está definida por un solo polinomio, que es irreducible o no, dependiendo de si los conjuntos algebraicos no irreducibles de dimensión dos se consideran superficies. o no.

Superficie algebraica abstracta

Las superficies racionales son superficies algebraicas

Superficie topológica

En topología , una superficie se define generalmente como una variedad de dimensión dos. Esto significa que una superficie topológica es un espacio topológico tal que cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de un plano euclidiano .

Cada superficie topológica es homeomórfica a una superficie poliédrica de modo que todas las facetas son triángulos . El estudio combinatorio de tales arreglos de triángulos (o, más generalmente, de símplex de dimensiones superiores ) es el objeto inicial de la topología algebraica . Esto permite la caracterización de las propiedades de las superficies en términos de invariantes puramente algebraicos , como el género y los grupos de homología .

Las clases de superficies de homeomorfismo se han descrito completamente (consulte Superficie (topología) ).

Superficie diferenciable

Superficie fractal

En gráficos por computadora

Ver también

• Elemento de área , el área de un elemento diferencial de una superficie.
• Superficies coordinadas
• Hiperesuperficie
• Perímetro , un equivalente bidimensional
• Superficie poliédrica
• Forma
• Función de distancia firmada
• Figura solida
• Área de superficie
• Integral de superficie

Notas