Proporciones divinas: trigonometría racional a geometría universal -Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry

Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry es un libro de 2005 del matemático Norman J. Wildberger sobre un enfoque alternativo propuesto a la geometría y trigonometría euclidianas , llamado trigonometría racional . El libro aboga por reemplazar las cantidades básicas habituales de trigonometría, la distancia euclidiana y lamedida del ángulo , por la distancia al cuadrado y el cuadrado del seno del ángulo, respectivamente. Esto es lógicamente equivalente al desarrollo estándar (ya que las cantidades de reemplazo se pueden expresar en términos de las estándar y viceversa). El autor afirma que su enfoque tiene algunas ventajas, como evitar la necesidad de números irracionales.

El libro fue "esencialmente autoeditado" por Wildberger a través de su editorial Wild Egg. Las fórmulas y teoremas del libro se consideran matemáticas correctas, pero las afirmaciones sobre la superioridad práctica o pedagógica son promovidas principalmente por el propio Wildberger y han recibido críticas mixtas.

Visión general

La idea principal de Divine Proportions es reemplazar las distancias por la distancia euclidiana al cuadrado , renombrada en este libro como cuadrante , y reemplazar los ángulos por los cuadrados de sus senos, renombrados en este libro como extendidos y pensados ​​como una medida de separación (más bien que una cantidad de rotación) entre dos líneas. Divine Proportions define ambos conceptos directamente a partir de las coordenadas cartesianas de puntos que determinan un segmento de línea o un par de líneas que se cruzan, en lugar de hacerlo indirectamente a partir de distancias y ángulos. Definidas de esta manera, son funciones racionales de esas coordenadas y se pueden calcular directamente sin la necesidad de las raíces cuadradas necesarias para calcular distancias desde coordenadas o las funciones trigonométricas inversas necesarias para calcular ángulos para coordenadas.

Según Divine Proportions , este reemplazo tiene varias ventajas clave:

  • Para puntos dados por coordenadas de números racionales, el cuadrante de pares de puntos y la dispersión de triples de puntos son nuevamente racionales, evitando la necesidad de números irracionales, o los conceptos de límites usados ​​para definir los números reales.
  • Al evitar los números reales, también evita lo que Wildberger afirma que son problemas fundamentales en la definición de ángulos y en la computabilidad de números reales.
  • Permite que conceptos análogos se extiendan directamente a otros sistemas numéricos, como los campos finitos, mediante el uso de las mismas fórmulas para cuadrar y extender que se usarían para números racionales.

Además, este método evita la ambigüedad de los dos ángulos suplementarios formados por un par de líneas, ya que ambos ángulos tienen la misma extensión. Se afirma que este sistema es más intuitivo y se extiende más fácilmente de dos a tres dimensiones. Sin embargo, a cambio de estos beneficios, se pierde la aditividad de distancias y ángulos: por ejemplo, si un segmento de línea se divide en dos, su longitud es la suma de las longitudes de las dos piezas, pero combinar las cuadrículas de las piezas es más complicado y requiere raíces cuadradas.

Organización y temas

Proporciones Divinas se divide en cuatro partes. La Parte I presenta una descripción general del uso de cuadrante y extensión para reemplazar la distancia y el ángulo, y argumenta sus ventajas. La parte II formaliza las afirmaciones hechas en la parte I y las prueba de manera rigurosa. En lugar de definir líneas como conjuntos infinitos de puntos, se definen por sus coordenadas homogéneas , que pueden usarse en fórmulas para probar la incidencia de puntos y líneas. Al igual que el seno, el coseno y la tangente se reemplazan con equivalentes racionales, llamados "cruz" y "torsión", y Divine Proportions desarrolla varios análogos de identidades trigonométricas que involucran estas cantidades, incluidas versiones del teorema de Pitágoras , la ley de los senos y la ley de cosenos .

La Parte III desarrolla la geometría de triángulos y secciones cónicas utilizando las herramientas desarrolladas en las dos partes anteriores. Resultados bien conocidos, como la fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus lados, o el teorema del ángulo inscrito en la forma en que los ángulos subtendidos por una cuerda de un círculo desde otros puntos del círculo son iguales, se reformulan en términos de cuadrante y dispersión, y por lo tanto generalizada a campos arbitrarios de números. Finalmente, la Parte IV considera aplicaciones prácticas en física y topografía, y desarrolla extensiones al espacio euclidiano de dimensiones superiores y a las coordenadas polares .

Audiencia

Divine Proportions no supone muchos antecedentes matemáticos en sus lectores, pero sus muchas fórmulas largas, la consideración frecuente de campos finitos y (después de la parte I) el énfasis en el rigor matemático probablemente sean obstáculos para una audiencia matemática popular . En cambio, está escrito principalmente para profesores e investigadores de matemáticas. Sin embargo, también puede ser leído por los estudiantes de matemáticas y contiene ejercicios que permiten utilizarlo como base para un curso de matemáticas.

Recepción de la crítica

La característica del libro que fue recibida de manera más positiva por los revisores fue su trabajo que extendió los resultados en la geometría de la distancia y el ángulo a campos finitos. La revisora ​​Laura Wisewell encontró este trabajo impresionante y quedó encantada con el resultado de que el campo finito más pequeño que contiene un pentágono regular es . Michael Henle llama a la extensión de la geometría triangular y de sección cónica a campos finitos, en la parte III del libro, "una teoría elegante de gran generalidad", y William Barker también escribe con aprobación de este aspecto del libro, llamándolo "particularmente novedoso". y posiblemente abriendo nuevas direcciones de investigación.

Wisewell plantea la cuestión de cuántos de los resultados detallados presentados sin atribución en este trabajo son realmente novedosos. En este sentido, Michael Henle señala que el uso de la distancia euclidiana al cuadrado "a menudo se ha encontrado conveniente en otros lugares"; por ejemplo, se utiliza en geometría de distancias , estadísticas de mínimos cuadrados y optimización convexa . James Franklin señala que para espacios de tres o más dimensiones, modelados convencionalmente usando álgebra lineal , el uso de la extensión por Divine Proportions no es muy diferente de los métodos estándar que involucran productos escalares en lugar de funciones trigonométricas.

Una ventaja de los métodos de Wildberger señalados por Henle es que, debido a que solo involucran álgebra simple, las demostraciones son fáciles de seguir y fáciles de verificar para una computadora. Sin embargo, sugiere que las afirmaciones del libro de una mayor simplicidad en su teoría general se basan en una comparación falsa en la que el cuadrante y la extensión no se comparan con los conceptos clásicos correspondientes de distancias, ángulos y senos, sino con el conjunto mucho más amplio de herramientas de la técnica clásica. trigonometría. También señala que, para un estudiante con una calculadora científica, las fórmulas que evitan las raíces cuadradas y las funciones trigonométricas no son un problema, y ​​Barker agrega que las nuevas fórmulas a menudo implican un mayor número de pasos de cálculo individuales. Aunque varios revisores sintieron que una reducción en la cantidad de tiempo necesario para enseñar trigonometría a los estudiantes sería muy bienvenida, Paul Campbell se muestra escéptico de que estos métodos realmente acelerarían el aprendizaje. Gerry Leversha mantiene la mente abierta y escribe que "será interesante ver algunos de los libros de texto dirigidos a los alumnos de la escuela [que Wildberger] ha prometido producir, y ... experimentos controlados que involucran a estudiantes conejillos de indias". Sin embargo, a partir de 2020, estos libros de texto y experimentos no se han publicado.

Wisewell no está convencido de la afirmación de que la geometría convencional tiene fallas fundamentales que estos métodos evitan. Si bien está de acuerdo con Wisewell, Barker señala que puede haber otros matemáticos que compartan las sospechas filosóficas de Wildberger sobre el infinito, y que este trabajo debería ser de gran interés para ellos.

Una última cuestión planteada por varios revisores es la inercia: suponiendo, en aras del argumento, que estos métodos son mejores, ¿son lo suficientemente mejores para que valga la pena el gran esfuerzo individual de volver a aprender la geometría y la trigonometría en estos términos, y el esfuerzo institucional de re -¿Trabajando el plan de estudios de la escuela para usarlos en lugar de la geometría y la trigonometría clásicas? Henle, Barker y Leversha concluyen que el libro no ha presentado sus argumentos a favor de esto, pero Sandra Arlinghaus ve este trabajo como una oportunidad para campos como su geografía matemática "que han invertido relativamente poco en la rigidez institucional tradicional" para demostrar la promesa de tal reemplazo.

Ver también

  • Configuración de Perles , un conjunto finito de puntos y líneas en el plano euclidiano que no se puede representar con coordenadas racionales.

Referencias