Zona - Area


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Zona
Los símbolos comunes
UNA
unidad SI Metro cuadrado de [m 2 ]
En las unidades SI básicas m 2
Tres formas en una cuadrícula
El área combinada de estas tres formas es aproximadamente 15,57 cuadrados .

Area es la cantidad que expresa la extensión de una de dos dimensiones figura o forma , o lámina plana , en el plano . Superficie es su análogo en la bidimensional superficie de un objeto tridimensional . Area puede entenderse como la cantidad de material con un espesor dado que sería necesario dar forma a un modelo de la forma, o la cantidad de pintura necesaria para cubrir la superficie con una sola capa. Es el análogo de dos dimensiones de la longitud de una curva (un concepto unidimensional) o el volumen de un (un concepto tridimensional) sólido.

El área de una figura se puede medir mediante la comparación de la forma de cuadrados de un tamaño fijo. En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de área es el metro cuadrado (escrito como m 2 ), que es el área de un cuadrado cuyos lados son uno metros de largo. Una forma con una superficie de tres metros cuadrados tendría la misma zona que tres de estas plazas. En matemáticas , el cuadrado de la unidad se define para que tenga el área de uno, y el área de cualquier otra forma o la superficie es un adimensional número real .

Hay varias bien conocidas fórmulas para las áreas de formas simples, tales como triángulos , rectángulos , y círculos . El uso de estas fórmulas, el área de cualquier polígono se puede encontrar por dividir el polígono en triángulos . Para formas con límite curvada, cálculo se requiere generalmente para calcular el área. De hecho, el problema de determinar el área de figuras planas era una motivación importante para el desarrollo histórico del cálculo .

Para una forma sólida tal como una esfera , cono, o cilindro, el área de su superficie límite se llama el área de la superficie . Las fórmulas para las áreas superficiales de formas simples fueron calculadas por los antiguos griegos , pero el cálculo de la superficie de una forma más complicada por lo general requiere de cálculo multivariable .

Área juega un papel importante en las matemáticas modernas. Además de su importancia obvia en la geometría y el cálculo, el área está relacionada con la definición de los determinantes en álgebra lineal , y es una propiedad básica de superficies en geometría diferencial . En el análisis , el área de un subconjunto del plano se define utilizando la medida de Lebesgue , aunque no cada subconjunto es mensurable. En general, el área en matemáticas superiores es visto como un caso especial de volumen para las regiones bidimensionales.

Area se puede definir a través del uso de axiomas, definiéndola como una función de una colección de ciertas figuras planas al conjunto de números reales. Se puede demostrar que existe tal función.

Definicion formal

Una aproximación a la definición de lo que se entiende por "zona" es a través de axiomas . "Area" se puede definir como una función de una colección M de tipo especial de figuras planas (conjuntos medibles denominados) al conjunto de números reales que satisface las siguientes propiedades:

  • Para todos S en M , una ( S ) ≥ 0.
  • Si S y T están en M entonces también lo son ST y ST , y también una ( ST ) = una ( S ) + un ( T ) - una ( ST ).
  • Si S y T están en M con ST entonces T - S se encuentra en M y un ( T - S ) = una ( T ) - una ( S ).
  • Si un conjunto S está en M y S es congruente con T entonces T es también en M y una ( S ) = una ( T ).
  • Cada rectángulo R está en M . Si el rectángulo tiene una longitud h y la anchura k entonces una ( R ) = hk .
  • Deje que Q sea un conjunto cerrado entre dos regiones de paso S y T . Una región paso está formado por una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir, SQT . Si hay un número único c de tal manera que una ( S ) ≤ c ≤ una ( T ) para todas las regiones de paso tales S y T , a continuación, un ( Q ) = c .

Se puede probar que realmente existe una función de dicha zona.

Unidades

Un cuadrado de tubo de PVC en la hierba
Un metro cuadrado cuadrante hecha de tubo de PVC.

Cada unidad de longitud tiene una unidad correspondiente de área, a saber, el área de un cuadrado con la longitud del lado dado. Así áreas pueden ser medidos en metros cuadrados (m 2 ), centímetros cuadrados (cm 2 ), milímetros cuadrados (mm 2 ), kilómetros cuadrados (km 2 ), pies cuadrados (pies 2 ), yardas cuadradas (yd 2 ), millas cuadradas (mi 2 ), y así sucesivamente. Algebraicamente, estas unidades pueden ser considerados como los cuadrados de las unidades de longitud correspondientes.

La unidad SI de área es el metro cuadrado, que se considera una unidad derivada del SI .

conversiones

Un diagrama que muestra el factor de conversión entre diferentes áreas
Aunque hay 10 mm de 1 cm, hay 100 mm 2 en 1 cm 2 .

Cálculo del área de un cuadrado, cuya longitud y anchura son de 1 metro sería:

1 metro x 1 metro = 1 m 2

y así, un rectángulo con lados diferentes (por ejemplo longitud de 3 metros y anchura de 2 metros) tendría un área en unidades cuadradas que se pueden calcular como:

3 metros x 2 metros = 6 m 2 . Esto es equivalente a 6 millones de milímetros cuadrados. Otras conversiones útiles son:

  • 1 kilómetro = cuadrados 1.000.000 metros cuadrados
  • 1 metro = cuadrados 10.000 centímetros cuadrados = 1.000.000 milímetros cuadrados
  • 1 centímetro cuadrado = 100 milímetros cuadrados.

unidades no métricas

En las unidades no métricas, la conversión entre dos unidades cuadradas es el cuadrado de la conversión entre las unidades de longitud correspondientes.

1 pie = 12 pulgadas ,

la relación entre los pies cuadrados pulgadas cuadradas y es

1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas,

donde 144 = 12 2 = 12 × 12. Del mismo modo:

  • 1 yarda cuadrada = 9 pies cuadrados
  • 1 milla cuadrada = 3,097,600 yardas cuadrados = 27,878,400 pies cuadrados

Además, los factores de conversión incluyen:

  • 1 pulgada = 6.4516 centímetros cuadrados cuadrados
  • 1 pie cuadrado = 0,092 903 04 metros cuadrados
  • 1 yarda cuadrada = 0.836 127 36 metros cuadrados
  • 1 milla cuadrada = 2.589 988 110 336 kilómetros cuadrados

Otras unidades, incluyendo histórica

Hay varias otras unidades comunes para la zona. El Are fue el emplazamiento original de la zona en el sistema métrico , con:

  • 1 son = 100 metros cuadrados

Aunque el son ha caído en desuso, la hectárea todavía se utiliza comúnmente para medir la tierra:

  • 1 hectárea = 100 áreas = 10.000 metros cuadrados = 0,01 kilómetros cuadrados

Otras unidades métricas no comunes del área incluyen la tétrada , la hectad , y la multitud .

El acre también se utiliza comúnmente para medir las áreas terrestres, donde

  • 1 acre = 4.840 yardas cuadrados = 43,560 pies cuadrados.

Un acre es aproximadamente 40% de una hectárea.

En la escala atómica, área se mide en unidades de graneros , de manera que:

  • 1 granero = 10 -28 metros cuadrados.

El establo se usa comúnmente para describir el área de sección transversal de la interacción en la física nuclear .

En India,

  • 20 dhurki = 1 Dhur
  • 20 Dhur = 1 khatha
  • 20 khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 acre

Historia

área del círculo

En el siglo 5 AEC, Hipócrates de Quíos fue el primero en mostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la cuadratura de la lúnula , pero lo hizo no identificar la constante de proporcionalidad . Eudoxo de Cnido , también en el siglo quinto antes de Cristo, también encontró que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado.

Posteriormente, Libro I de Euclides 's Elementos tratado con igualdad de áreas entre las figuras de dos dimensiones. El matemático Arquímedes usa las herramientas de la geometría euclidiana para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro de medida de un círculo . (La circunferencia es 2 π r , y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, produciendo el área π r 2 para el disco.) Arquímedes aproximar el valor de π (y por tanto el área de un círculo de la unidad de radio ) con su método de duplicación , en la que se inscribe un triángulo equilátero en un círculo y tomó nota de su área, a continuación, se duplicó el número de lados para dar un habitual hexágono , entonces duplicado varias veces el número de lados que el área del polígono se acercaba más y más a ese del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos ).

Científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π , la relación del área de un círculo y su radio al cuadrado, es irracional , lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros. En 1794 el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π 2 es irracional; esto también demuestra que π es irracional. En 1882, matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no de la solución de cualquier ecuación polinómica con coeficientes racionales), confirmando una conjetura hecha por tanto Legendre y Euler.

área de un triángulo

Garza (o héroe) de Alejandría encontraron lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y una prueba se puede encontrar en su libro, Métrica , escrito alrededor de 60 CE. Se ha sugerido que Arquímedes sabía la fórmula de más de dos siglos antes, y desde Métrica es una colección de los conocimientos matemáticos disponibles en el mundo antiguo, es posible que la fórmula anterior a la referencia dada en ese trabajo.

En 499 Aryabhata , un gran matemático - astrónomo de la edad clásica de las matemáticas indias y astronomía india , expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).

Una fórmula equivalente a la garza de fue descubierta por los chinos con independencia de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang ( " matemática tratado en nueve secciones "), escrito por Qin Jiushao .

área de cuadrilátero

En el siglo séptimo CE, Brahmagupta desarrolló una fórmula, ahora conocida como la fórmula de Brahmagupta , para el área de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo) en términos de sus lados. En 1842 los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Karl Georg Christian von Staudt encontraron de forma independiente una fórmula, conocida como la fórmula de Bretschneider , para el área de cualquier cuadrilátero.

área general del polígono

El desarrollo de coordenadas cartesianas por René Descartes en el siglo 17 permitió el desarrollo de la fórmula del topógrafo para el área de cualquier polígono con conocidos vértices ubicaciones por Gauss en el siglo 19.

Áreas determinaron utilizando el cálculo

El desarrollo del cálculo integral a finales del siglo 17 proporciona herramientas que podrían utilizarse posteriormente para el cálculo de las zonas más complicadas, tales como el área de una elipse y las áreas de superficie de varios objetos tridimensionales curvadas.

fórmulas de área

fórmulas de polígonos

Para un no-auto-intersección ( sencilla polígono), las coordenadas cartesianas ( i = 0, 1, ..., n -1) de cuyos n vértices son conocidos, el área está dada por la fórmula de topógrafo :

donde cuando i = n -1, entonces i 1 se expresa como módulo n y así se refiere a 0.

rectángulos

Un rectángulo con una longitud y anchura marcado
El área de este rectángulo es  LW .

La fórmula más área básica es la fórmula para el área de un rectángulo . Dado un rectángulo con longitud l y la anchura w , la fórmula para el área es:

A = lw  (rectángulo).

Es decir, el área del rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura. Como caso especial, como l = w en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con una longitud de lado s está dado por la fórmula:

A = s 2  (cuadrado).

La fórmula para el área de un rectángulo sigue directamente de las propiedades básicas de área, y algunas veces se toma como una definición o axioma . Por otro lado, si la geometría se desarrolla antes de la aritmética , esta fórmula se puede utilizar para definir la multiplicación de números reales .

Un diagrama que muestra cómo un paralelogramo puede ser re-dispuestas en la forma de un rectángulo
cifras de la zona iguales.

Disección, paralelogramos y triángulos

La mayoría de las otras fórmulas simples para el área se derivan del método de disección . Esto implica cortar una forma en trozos, cuyas áreas deben sumar a la zona de la forma original.

Para un ejemplo, cualquier paralelogramo se puede subdividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo , como se muestra en la figura a la izquierda. Si el triángulo se mueve al otro lado del trapezoide, a continuación, la cifra resultante es un rectángulo. Se deduce que el área del paralelogramo es la misma que el área del rectángulo:

A = bh  (paralelogramo).
Una fracción de paralelogramo en dos triángulos iguales
Dos triángulos iguales.

Sin embargo, el mismo paralelogramo también se puede cortar a lo largo de una diagonal en dos congruentes triángulos, como se muestra en la figura a la derecha. De ello se desprende que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo:

 (triángulo).

Argumentos similares se pueden utilizar para encontrar fórmulas de área para el trapecio , así como más complicados polígonos .

Área de formas curvas

círculos

Un círculo dividido en muchos sectores se puede volver a arreglar más o menos para formar un paralelogramo
Un círculo se puede dividir en sectores que reorganizan para formar un aproximado paralelogramo .

La fórmula para el área de un círculo (más correctamente llamado el área encerrada por un círculo o el área de un disco ) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio r , es posible dividir el círculo en sectores , como se muestra en la figura a la derecha. Cada sector es aproximadamente de forma triangular, y los sectores puede reordenarse para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es r , y la anchura es la mitad de la circunferencia del círculo, o π r . Por lo tanto, el área total del círculo es π r 2 :

A = π r 2  (círculo).

Aunque la disección se utiliza en esta fórmula sólo es aproximada, el error se hace más pequeña y más pequeña que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximadas es exactamente π r 2 , que es el área del círculo.

Este argumento es en realidad una simple aplicación de las ideas de cálculo . En la antigüedad, el método de agotamiento se utiliza de una manera similar a encontrar el área del círculo, y este método es ahora reconocido como un precursor de cálculo integral . El uso de métodos modernos, el área de un círculo puede ser calculado utilizando una integral definida :

elipses

La fórmula para el área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con semi-mayor y semi-menores ejes x y y la fórmula es:

Área de superficie

Una esfera azul dentro de un cilindro de la misma altura y el radio
Arquímedes demostró que el área superficial de una esfera es exactamente cuatro veces el área de un plano de disco del mismo radio, y el volumen encerrado por la esfera es exactamente 2/3 del volumen de un cilindro de la misma altura y el radio.

La mayoría de las fórmulas básicas para el área de superficie se pueden obtener por las superficies de corte y aplanando a cabo. Por ejemplo, si la superficie lateral de un cilindro (o cualquier prisma ) se corta longitudinalmente, la superficie puede ser aplanado hacia fuera en un rectángulo. Del mismo modo, si se hace un corte a lo largo del lado de un cono , la superficie lateral puede ser aplanado hacia fuera en un sector de un círculo, y el área resultante calcula.

La fórmula para el área superficial de una esfera es más difícil derivar: porque una esfera tiene distinto de cero curvatura gaussiana , que no puede ser aplanado. La fórmula para el área de la superficie de una esfera se obtuvo por primera vez por Arquímedes en su obra Sobre la esfera y del cilindro . La fórmula es:

A = 4 πr 2  (esfera),

donde r es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula para el área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula inherentemente utiliza métodos similares a cálculo .

fórmulas generales

Áreas de figuras de 2 dimensiones

  • Un triángulo : (donde B es cualquiera de los lados, y h es la distancia desde la línea en la que B se encuentra al otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede utilizar si la altura h es conocida. Si se conocen las longitudes de los tres lados a continuación la fórmula de Heron se puede utilizar: donde un , b , c son los lados del triángulo, y es la mitad de su perímetro. Si se les da un ángulo y sus dos lados incluidos, la zona es donde C es el ángulo dado y un y b son sus lados incluidos. Si el triángulo se representa gráficamente en un plano de coordenadas, una matriz se puede utilizar y se simplifica al valor absoluto de . Esta fórmula también se conoce como la fórmula cordón y es una manera fácil de resolver para el área de un triángulo de coordenadas mediante la sustitución de los 3 puntos (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , y (x 3 , y 3 ) . La fórmula cordón también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es utilizar el cálculo para hallar el área.
  • Un polígono sencillo construido en una cuadrícula de puntos igual-distanciada (es decir, apunta con número entero coordenadas) de tal manera que todos los vértices del polígono son puntos de la cuadrícula: , donde i es el número de puntos de la cuadrícula en el interior del polígono y b es el número de puntos de contorno . Este resultado se conoce como teorema de Pick .

Área en cálculo

Un diagrama que muestra el área entre una curva dada y el eje x
La integración puede ser pensado como midiendo el área bajo una curva, definida por f ( x ), entre dos puntos (aquí una y b ).
Un diagrama que muestra el área entre dos funciones
El área entre dos gráficos se puede evaluar mediante el cálculo de la diferencia entre las integrales de las dos funciones
  • El área entre una curva de valor positivo y el eje horizontal, medida entre dos valores de un y b (b se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, está dada por la integral de una a b de la función que representa la curva:
donde es la curva con el mayor valor de y.
  • El área encerrada por una curva paramétrica con puntos finales está dada por las integrales de línea :

(ver el teorema de Green ) o la z componente z de

zona delimitada entre dos funciones cuadráticas

Para encontrar el área delimitada entre dos funciones cuadráticas , restamos el uno del otro para escribir la diferencia como

donde f ( x ) es la cuadrática límite superior y g ( x ) es la cuadrática límite inferior. Definir el discriminante de f ( x ) - g ( x ) como

Al simplificar la fórmula integral entre las gráficas de dos funciones (como se da en la sección anterior) y usando la fórmula de Vieta , podemos obtener

Lo anterior sigue siendo válida si una de las funciones de selección es lineal en lugar de cuadrática.

Superficie de las figuras de 3 dimensiones

  • Cono : , donde r es el radio de la base circular, y h es la altura. Eso también se puede reescribir como o donde r es el radio y l es la altura inclinada del cono. es el área de la base, mientras que es la superficie lateral del cono.
  • cubo : , donde s es la longitud de un borde.
  • cilindro : , donde r es el radio de una base y h es la altura. El 2 r también se puede reescribir como d , donde d es el diámetro.
  • prisma : 2B + Ph, donde B es el área de una base, P es el perímetro de una base, y h es la altura del prisma.
  • pirámide : , donde B es el área de la base, P es el perímetro de la base, y L es la longitud de la inclinación.
  • prisma rectangular : , donde es la longitud, w es la anchura, y h es la altura.

La fórmula general para el área de superficie

La fórmula general para el área de superficie de la gráfica de una función continuamente diferenciable , donde y es una región en el plano xy con el límite sin problemas:

Una fórmula más general para el área de la gráfica de una superficie paramétrica en forma de vectores , donde es una función continuamente diferenciable vector de es:

Lista de fórmulas

fórmulas comunes adicionales para el área:
Forma Fórmula Variables
Regular triángulo ( triángulo equilátero ) es la longitud de un lado del triángulo.
Triángulo es la mitad del perímetro, , y son la longitud de cada lado.
Triángulo y son cualquiera de los dos lados, y es el ángulo entre ellos.
Triángulo y son la base de y altitud (medida perpendicular a la base), respectivamente.
Triángulo isósceles es la longitud de uno de los dos lados iguales y es la longitud de un lado diferente.
Rombo / Kite y son las longitudes de las dos diagonales del rombo o cometa.
Paralelogramo es la longitud de la base y es la altura perpendicular.
trapezoide y son los lados paralelos y la distancia (altura) entre los paralelos.
regular hexágono es la longitud de un lado del hexágono.
regular octógono es la longitud de un lado de la octágono.
Polígono regular es la longitud del lado y es el número de lados.
Polígono regular es el perímetro y es el número de lados.
Polígono regular es el radio de un círculo circunscrito, es el radio de un círculo inscrito, y es el número de lados.
Polígono regular es el número de lados, es la longitud del lado, es la apotema , o el radio de un círculo inscrito en el polígono, y es el perímetro del polígono.
Circulo es el radio y el diámetro .
sector circular y son el radio y el ángulo (en radianes ), respectivamente, y es la longitud del perímetro.
Elipse y son los semi-mayor y semi-menores ejes, respectivamente.
Superficie total de un cilindro y son el radio y la altura, respectivamente.
área de la superficie lateral de un cilindro y son el radio y la altura, respectivamente.
Superficie total de una esfera y son el radio y diámetro, respectivamente.
Superficie total de una pirámide es el área de la base, es el perímetro de la base y es la altura inclinada.
Superficie total de una pirámide truncado es el área de la base, es el perímetro de la base y es la altura inclinada.
Square a la conversión área circular es el área de la plaza en unidades cuadradas.
Circular de cuadrar conversión área es el área de la círculo en unidades circulares.

Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchos comunes formas .

Las áreas de polígonos irregulares se pueden calcular utilizando la " fórmula de Surveyor ".

Relación de la zona de Perimeter

El isoperimetría establece que, para una curva cerrada de la longitud L (por lo que la región que encierra tiene perímetro L ) y para el área A de la región que encierra,

y la igualdad se cumple si y sólo si la curva es un círculo . Así, un círculo tiene la mayor área de cualquier figura cerrada con un perímetro dado.

En el otro extremo, una figura con dado perímetro L podría tener un área arbitrariamente pequeño, como se ilustra por un rombo que se "volcó" arbitrariamente lejos de modo que dos de sus ángulos son arbitrariamente cerca de 0 ° y los otros dos son arbitrariamente cerca a 180 °.

Para un círculo, la relación del área a la circunferencia (el término para el perímetro de un círculo) es igual a la mitad del radio r . Esto se puede ver a partir de la fórmula del área πr 2 y la fórmula de la circunferencia 2 πr .

El área de un polígono regular es la mitad de sus veces el perímetro de la apotema (donde la apotema es la distancia desde el centro hasta el punto más cercano en cualquier lado).

fractales

La duplicación de las longitudes de borde de un polígono multiplica su área por cuatro, lo que es de dos (la relación de la nueva a la longitud del lado de edad) elevado a la potencia de dos (la dimensión del espacio del polígono reside en). Pero si las longitudes de una dimensión de un fractal dibujado en dos dimensiones son todos duplicaron, el contenido espacial de las escalas del fractal de una potencia de dos que no es necesariamente un número entero. Este poder se llama la dimensión fractal del fractal.

bisectrices de área

Hay una infinidad de líneas que bisectan el área de un triángulo. Tres de ellos son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y estos son concurrentes en del triángulo centroide ; de hecho, son los únicos bisectrices de área que pasan por el centro de gravedad. Cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo y su perímetro en un medio pasa a través de incentro del triángulo (el centro de su circunferencia inscrita ). Hay una, dos, o tres de éstos para cualquier triángulo dado.

Cualquier línea a través del punto medio de un paralelogramo biseca la zona.

Todas las bisectrices área de un círculo o elipse otra pasan por el centro, y las cuerdas a través del centro bisecan la zona. En el caso de un círculo que son los diámetros de círculo.

Mejoramiento

Dado un contorno de alambre, la superficie de menos área que abarca ( "relleno") es una superficie mínima . Ejemplos conocidos incluyen burbujas de jabón .

La cuestión de la zona de llenado del círculo de Riemann permanece abierta.

El círculo tiene la mayor superficie de cualquier objeto de dos dimensiones que tienen el mismo perímetro.

Un polígono cíclico (uno inscrito en un círculo) tiene la mayor área de cualquier polígono con un número dado de lados de las mismas longitudes.

Una versión de la isoperimetría de triángulos establece que el triángulo de la mayor área de entre todos los que tienen un perímetro dado es equilátero .

El triángulo de área más grande de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero; y el triángulo de área más pequeña de todos los circunscrito alrededor de un círculo dado es equilátero.

La relación del área de la circunferencia inscrita al área de un triángulo equilátero, es mayor que la de cualquier triángulo no equilátero.

La relación del área de la plaza del perímetro de un triángulo equilátero, es mayor que para cualquier otro triángulo.

Ver también

referencias

enlaces externos