cuadrilátero -Quadrilateral

Cuadrilátero
Seis cuadriláteros.svg
Algunos tipos de cuadriláteros
Aristas y vértices 4
Símbolo Schläfli {4} (para cuadrado)
Área varios métodos;
vea abajo
Ángulo interno ( grados ) 90° (para cuadrado y rectángulo)

En geometría, un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados , que tiene cuatro aristas (lados) y cuatro esquinas (vértices). La palabra se deriva de las palabras latinas quadri , una variante de cuatro, y latus , que significa "lado". Otro nombre para él es tetragon , derivado del griego "tetra" que significa "cuatro" y "gon" que significa "esquina" o "ángulo", en analogía con, por ejemplo, pentágono . "Gon" siendo "ángulo" también está en la raíz de llamarlo cuadrilátero , 4 ángulos, en analogía con el triángulo. Un cuadrilátero con vértices , y a veces se denota como .

Los cuadriláteros son simples (que no se cortan a sí mismos) o complejos (que se cortan a sí mismos o cruzados). Los cuadriláteros simples son convexos o cóncavos .

Los ángulos interiores de un cuadrilátero simple (y plano) ABCD suman 360 grados de arco , es decir

Este es un caso especial de la fórmula de suma de ángulos interiores n -gon: ( n − 2) × 180°.

Todos los cuadriláteros que no se cruzan a sí mismos forman mosaicos en el plano mediante rotaciones repetidas alrededor de los puntos medios de sus aristas.

Cuadriláteros simples

Cualquier cuadrilátero que no se corte a sí mismo es un cuadrilátero simple.

Cuadriláteros convexos

Diagrama de Euler de algunos tipos de cuadriláteros simples. (UK) denota inglés británico y (US) denota inglés americano.
Cuadriláteros convexos por simetría, representados con un diagrama de Hasse .

En un cuadrilátero convexo, todos los ángulos interiores miden menos de 180° y las dos diagonales se encuentran dentro del cuadrilátero.

  • Cuadrilátero irregular ( inglés británico ) o trapecio ( inglés norteamericano ): ningún lado es paralelo. (En inglés británico, esto alguna vez se llamó trapezoide . Para obtener más información, consulte Trapezoid § Trapezium vs Trapezoid )
  • Trapecio (Reino Unido) o trapecio (EE. UU.): al menos un par de lados opuestos son paralelos . Trapezia (Reino Unido) y trapecios (EE. UU.) incluyen paralelogramos.
  • Trapecio isósceles (Reino Unido) o trapezoide isósceles (EE. UU.): un par de lados opuestos son paralelos y los ángulos de la base tienen la misma medida. Las definiciones alternativas son un cuadrilátero con un eje de simetría que divide en dos un par de lados opuestos, o un trapezoide con diagonales de igual longitud.
  • Paralelogramo : un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Las condiciones equivalentes son que los lados opuestos tengan la misma longitud; que los ángulos opuestos son iguales; o que las diagonales se bisecan entre sí. Los paralelogramos incluyen rombos (incluidos los rectángulos llamados cuadrados) y romboides (incluidos los rectángulos llamados oblongos). En otras palabras, los paralelogramos incluyen todos los rombos y todos los romboides y, por lo tanto, también incluyen todos los rectángulos.
  • Rombo , rombo: los cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero). Una condición equivalente es que las diagonales se bisequen perpendicularmente. De manera informal: "un cuadrado empujado" (pero que también incluye estrictamente un cuadrado).
  • Romboide : un paralelogramo en el que los lados adyacentes tienen longitudes desiguales y algunos ángulos son oblicuos (equivalente a que no tienen ángulos rectos). Informalmente: "un oblongo empujado". No todas las referencias coinciden, algunas definen un romboide como un paralelogramo que no es un rombo.
  • Rectángulo : los cuatro ángulos son ángulos rectos (equiangular). Una condición equivalente es que las diagonales se bisequen entre sí y tengan la misma longitud. Los rectángulos incluyen cuadrados y oblongos. Informalmente: "una caja u oblongo" (incluido un cuadrado).
  • Cuadrado (cuadrilátero regular): los cuatro lados tienen la misma longitud (equilátero) y los cuatro ángulos son ángulos rectos. Una condición equivalente es que los lados opuestos sean paralelos (un cuadrado es un paralelogramo) y que las diagonales se bisequen perpendicularmente entre sí y tengan la misma longitud. Un cuadrilátero es un cuadrado si y sólo si es a la vez un rombo y un rectángulo (es decir, cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales).
  • Oblongo : más largo que ancho, o más ancho que largo (es decir, un rectángulo que no es un cuadrado).
  • Cometa : dos pares de lados adyacentes tienen la misma longitud. Esto implica que una diagonal divide la cometa en triángulos congruentes , por lo que los ángulos entre los dos pares de lados iguales tienen la misma medida. También implica que las diagonales son perpendiculares. Las cometas incluyen rombos.

Cuadriláteros.svg

  • Cuadrilátero tangencial : los cuatro lados son tangentes a una circunferencia inscrita. Un cuadrilátero convexo es tangencial si y solo si los lados opuestos tienen la misma suma.
  • Trapezoide tangencial : un trapecio donde los cuatro lados son tangentes a un círculo inscrito .
  • Cuadrilátero cíclico : los cuatro vértices se encuentran en un círculo circunscrito . Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos suman 180°.
  • Cometa derecha : una cometa con dos ángulos rectos opuestos. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
  • Cuadrilátero armónico : los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales. Es un tipo de cuadrilátero cíclico.
  • Cuadrilátero bicéntrico : es a la vez tangencial y cíclico.
  • Cuadrilátero ortodiagonal : las diagonales se cruzan en ángulo recto .
  • Cuadrilátero equidiagonal : las diagonales tienen la misma longitud.
  • Cuadrilátero ex-tangencial : las cuatro extensiones de los lados son tangentes a una excircunferencia .
  • Un cuadrilátero equilic tiene dos lados opuestos iguales que cuando se extienden, se encuentran en 60 °.
  • Un cuadrilátero de Watt es un cuadrilátero con un par de lados opuestos de igual longitud.
  • Un cuadrilátero cuádrico es un cuadrilátero convexo cuyos cuatro vértices se encuentran todos en el perímetro de un cuadrado.
  • Un cuadrilátero diametral es un cuadrilátero cíclico que tiene uno de sus lados como diámetro del circuncírculo.
  • Un cuadrilátero de Hjelmslev es un cuadrilátero con dos ángulos rectos en vértices opuestos.

Cuadriláteros cóncavos

En un cuadrilátero cóncavo, un ángulo interior mide más de 180° y una de las dos diagonales está fuera del cuadrilátero.

  • Un dardo (o punta de flecha) es un cuadrilátero cóncavo con simetría bilateral como una cometa, pero donde un ángulo interior es reflejo. Ver cometa .

Cuadriláteros complejos

Un antiparalelogramo

Un cuadrilátero que se interseca a sí mismo se denomina de diversas formas cuadrilátero cruzado , cuadrilátero cruzado, cuadrilátero de mariposa o cuadrilátero de pajarita . En un cuadrilátero cruzado, los cuatro ángulos "interiores" a cada lado del cruce (dos agudos y dos reflejos , todos a la izquierda o todos a la derecha según se traza la figura) suman 720°.

  • Trapezoide cruzado (EE. UU.) o trapecio (Commonwealth): un cuadrilátero cruzado en el que un par de lados no adyacentes es paralelo (como un trapezoide )
  • Antiparalelogramo : un cuadrilátero cruzado en el que cada par de lados no adyacentes tienen longitudes iguales (como un paralelogramo )
  • Rectángulo cruzado : un antiparalelogramo cuyos lados son dos lados opuestos y las dos diagonales de un rectángulo , por lo que tiene un par de lados opuestos paralelos
  • Cuadrado cruzado : un caso especial de un rectángulo cruzado donde dos de los lados se cruzan en ángulo recto

Segmentos de línea especiales

Las dos diagonales de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan vértices opuestos.

Los dos bimedianos de un cuadrilátero convexo son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos. Se cruzan en el "centroide del vértice" del cuadrilátero (ver § Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo a continuación).

Las cuatro maltitudes de un cuadrilátero convexo son las perpendiculares a un lado, a través del punto medio del lado opuesto.

Área de un cuadrilátero convexo

Hay varias fórmulas generales para el área K de un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD y d = DA .

fórmulas trigonométricas

El área se puede expresar en términos trigonométricos como

donde las longitudes de las diagonales son p y q y el ángulo entre ellas es θ . En el caso de un cuadrilátero ortodiagonal (p. ej., rombo, cuadrado y cometa), esta fórmula se reduce a que θ es 90° .

El área también se puede expresar en términos de bimedianas como

donde las longitudes de las bimedianas son m y n y el ángulo entre ellas es φ .

La fórmula de Bretschneider expresa el área en términos de los lados y dos ángulos opuestos:

donde los lados en secuencia son a , b , c , d , donde s es el semiperímetro, y A y C son dos (de hecho, dos cualesquiera) ángulos opuestos. Esto se reduce a la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, cuando A + C = 180° .

Otra fórmula de área en términos de los lados y ángulos, con el ángulo C entre los lados b y c , y A entre los lados a y d , es

En el caso de un cuadrilátero cíclico, la última fórmula se convierte en

En un paralelogramo, donde ambos pares de lados opuestos y ángulos son iguales, esta fórmula se reduce a

Alternativamente, podemos escribir el área en términos de los lados y el ángulo de intersección θ de las diagonales, siempre que θ no sea 90° :

En el caso de un paralelogramo, la última fórmula se convierte en

Otra fórmula de área que incluye los lados a , b , c , d es

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales y φ es el ángulo entre las bimedianas .

La última fórmula trigonométrica del área que incluye los lados a , b , c , d y el ángulo α (entre a y b ) es:

que también se puede usar para el área de un cuadrilátero cóncavo (que tiene la parte cóncava opuesta al ángulo α ), simplemente cambiando el primer signo + por - .

Fórmulas no trigonométricas

Las siguientes dos fórmulas expresan el área en términos de los lados a , b , c y d , el semiperímetro s y las diagonales p , q :

La primera se reduce a la fórmula de Brahmagupta en el caso del cuadrilátero cíclico, pues entonces pq = ac + bd .

El área también se puede expresar en términos de las bimedianas m , n y las diagonales p , q :

De hecho, tres cualquiera de los cuatro valores m , n , p y q son suficientes para determinar el área, ya que en cualquier cuadrilátero los cuatro valores están relacionados por Las expresiones correspondientes son:

si se dan las longitudes de dos bimedianas y una diagonal, y

si se dan las longitudes de dos diagonales y una bimediana.

Fórmulas vectoriales

El área de un cuadrilátero ABCD se puede calcular usando vectores . Sean los vectores AC y BD las diagonales de A a C y de B a D. Entonces el área del cuadrilátero es

que es la mitad de la magnitud del producto vectorial de los vectores AC y BD . En el espacio euclidiano bidimensional, expresando el vector AC como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x 1 , y 1 ) y BD como ( x 2 , y 2 ) , esto se puede reescribir como:

Diagonales

Propiedades de las diagonales en cuadriláteros

En la siguiente tabla se muestra si las diagonales en algunos de los cuadriláteros más básicos se bisecan entre sí, si sus diagonales son perpendiculares y si sus diagonales tienen la misma longitud. La lista se aplica a los casos más generales y excluye los subconjuntos con nombre.

Cuadrilátero Bisectriz de diagonales diagonales perpendiculares Diagonales iguales
trapezoide No Ver nota 1 No
Trapecio isósceles No Ver nota 1
Paralelogramo No No
cometa Ver nota 2 Ver nota 2
Rectángulo No
Rombo No
Cuadrado

Nota 1: Los trapecios más generales y los trapecios isósceles no tienen diagonales perpendiculares, pero hay un número infinito de trapecios (no similares) y trapecios isósceles que sí tienen diagonales perpendiculares y no son ningún otro cuadrilátero llamado.

Nota 2: En una cometa, una diagonal biseca a la otra. La cometa más general tiene diagonales desiguales, pero hay un número infinito de cometas (no similares) en las que las diagonales tienen la misma longitud (y las cometas no son ningún otro cuadrilátero llamado).

Longitudes de las diagonales

Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero convexo ABCD se pueden calcular usando la ley de los cosenos en cada triángulo formado por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. Por lo tanto

y

Otras fórmulas más simétricas para las longitudes de las diagonales son

y

Generalizaciones de la ley del paralelogramo y el teorema de Ptolomeo

En cualquier cuadrilátero convexo ABCD , la suma de los cuadrados de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales más cuatro veces el cuadrado del segmento de línea que conecta los puntos medios de las diagonales. Por lo tanto

donde x es la distancia entre los puntos medios de las diagonales. Esto a veces se conoce como el teorema del cuadrilátero de Euler y es una generalización de la ley del paralelogramo .

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider derivó en 1842 la siguiente generalización del teorema de Ptolomeo , respecto al producto de las diagonales en un cuadrilátero convexo

Esta relación puede considerarse como una ley de cosenos para un cuadrilátero. En un cuadrilátero cíclico , donde A + C = 180°, se reduce a pq = ac + bd . Como cos ( A + C ) ≥ −1, también da una prueba de la desigualdad de Ptolomeo.

Otras relaciones métricas

Si X e Y son los pies de las normales de B y D a la diagonal AC = p en un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , entonces

En un cuadrilátero convexo ABCD con lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , y donde las diagonales se cortan en E ,

donde e = AE , f = BE , g = CE y h = DE .

La forma y el tamaño de un cuadrilátero convexo están completamente determinados por las longitudes de sus lados en secuencia y de una diagonal entre dos vértices específicos. Las dos diagonales p, q y las cuatro longitudes de los lados a, b, c, d de un cuadrilátero están relacionadas por el determinante de Cayley-Menger , como sigue:

bisectrices de ángulo

Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo forman un cuadrilátero cíclico (es decir, los cuatro puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos adyacentes son concíclicos ) o son concurrentes . En este último caso el cuadrilátero es un cuadrilátero tangencial .

En el cuadrilátero ABCD , si las bisectrices de los ángulos A y C se cortan en la diagonal BD , entonces las bisectrices de los ángulos B y D se cortan en la diagonal AC .

bimedianos

El paralelogramo de Varignon EFGH

Los bimedianos de un cuadrilátero son los segmentos de línea que conectan los puntos medios de los lados opuestos. La intersección de las bimedianas es el baricentro de los vértices del cuadrilátero.

Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero (convexo, cóncavo o cruzado) son los vértices de un paralelogramo llamado paralelogramo de Varignon . Tiene las siguientes propiedades:

  • Cada par de lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una diagonal en el cuadrilátero original.
  • Un lado del paralelogramo de Varignon es la mitad de largo que la diagonal del cuadrilátero original al que es paralelo.
  • El área del paralelogramo de Varignon es igual a la mitad del área del cuadrilátero original. Esto es cierto en cuadriláteros convexos, cóncavos y cruzados siempre que el área de este último se defina como la diferencia de las áreas de los dos triángulos que lo componen.
  • El perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original.
  • Las diagonales del paralelogramo de Varignon son las bimedianas del cuadrilátero original.

Las dos bimedianas en un cuadrilátero y el segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales en ese cuadrilátero son concurrentes y todos están bisectados por su punto de intersección.

En un cuadrilátero convexo de lados a , b , c y d , la longitud de la bimediana que une los puntos medios de los lados a y c es

donde p y q son la longitud de las diagonales. La longitud de la bimediana que une los puntos medios de los lados b y d es

Por eso

Este es también un corolario de la ley del paralelogramo aplicada en el paralelogramo de Varignon.

Las longitudes de las bimedianas también se pueden expresar en términos de dos lados opuestos y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales. Esto es posible cuando se utiliza el teorema del cuadrilátero de Euler en las fórmulas anteriores. De dónde

y

Tenga en cuenta que los dos lados opuestos en estas fórmulas no son los dos que conecta la bimediana.

En un cuadrilátero convexo, existe la siguiente conexión dual entre las bimedianas y las diagonales:

  • Las dos bimedianas tienen la misma longitud si y solo si las dos diagonales son perpendiculares .
  • Las dos bimedianas son perpendiculares si y solo si las dos diagonales tienen la misma longitud.

Identidades trigonométricas

Los cuatro ángulos de un cuadrilátero simple ABCD satisfacen las siguientes identidades:

y

También,

En las últimas dos fórmulas, no se permite que ningún ángulo sea un ángulo recto , ya que tan 90° no está definido.

Sean , , , los lados de un cuadrilátero no cruzado, es el semiperímetro, y y son ángulos opuestos, entonces

y

.

Podemos usar estas identidades para derivar la fórmula de Bretschneider .

Desigualdades

Área

Si un cuadrilátero convexo tiene los lados consecutivos a , b , c , d y las diagonales p , q , entonces su área K satisface

con igualdad sólo para un rectángulo .
con igualdad sólo para un cuadrado .
con igualdad sólo si las diagonales son perpendiculares e iguales.
con igualdad sólo para un rectángulo.

De la fórmula de Bretschneider se sigue directamente que el área de un cuadrilátero satisface

con igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico o degenerado tal que un lado es igual a la suma de los otros tres (ha colapsado en un segmento de línea , entonces el área es cero).

El área de cualquier cuadrilátero también satisface la desigualdad

Denotando el perímetro como L , tenemos

con igualdad sólo en el caso de un cuadrado.

El área de un cuadrilátero convexo también satisface

para longitudes diagonales p y q , con igualdad si y solo si las diagonales son perpendiculares.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD de área K y diagonales AC = p , BD = q . Entonces

con igualdad sólo para un cuadrado.

Sean a , b , c , d las longitudes de los lados de un cuadrilátero convexo ABCD con el área K , entonces se cumple la siguiente desigualdad:

con igualdad sólo para un cuadrado.

Diagonales y bimedianas

Un corolario del teorema del cuadrilátero de Euler es la desigualdad

donde la igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un paralelogramo .

Euler también generalizó el teorema de Ptolomeo , que es una igualdad en un cuadrilátero cíclico , en una desigualdad para un cuadrilátero convexo. Se afirma que

donde hay igualdad si y solo si el cuadrilátero es cíclico. Esto a menudo se llama la desigualdad de Ptolomeo .

En cualquier cuadrilátero convexo las bimedianas m, n y las diagonales p, q están relacionadas por la desigualdad

con igualdad si y solo si las diagonales son iguales. Esto se sigue directamente de la identidad del cuadrilátero

Lados

Los lados a , b , c y d de cualquier cuadrilátero satisfacen

y

Propiedades máximas y mínimas

Entre todos los cuadriláteros con un perímetro dado , el de mayor área es el cuadrado . Esto se llama el teorema isoperimétrico para cuadriláteros . Es una consecuencia directa de la desigualdad del área.

donde K es el área de un cuadrilátero convexo con perímetro L . La igualdad se cumple si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado. El teorema dual establece que de todos los cuadriláteros con un área dada, el cuadrado tiene el perímetro más corto.

El cuadrilátero con longitudes de lado dadas que tiene el área máxima es el cuadrilátero cíclico .

De todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas, el cuadrilátero ortodiagonal tiene el área más grande. Esta es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo satisface

donde θ es el ángulo entre las diagonales p y q . La igualdad se cumple si y solo si θ = 90°.

Si P es un punto interior en un cuadrilátero convexo ABCD , entonces

De esta desigualdad se sigue que el punto dentro de un cuadrilátero que minimiza la suma de las distancias a los vértices es la intersección de las diagonales. Por tanto, ese punto es el punto de Fermat de un cuadrilátero convexo.

Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo

El centro de un cuadrilátero se puede definir de varias maneras diferentes. El "centroide del vértice" proviene de considerar que el cuadrilátero está vacío pero tiene masas iguales en sus vértices. El "centroide lateral" proviene de considerar que los lados tienen masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplemente centroide (centro del área) proviene de considerar que la superficie del cuadrilátero tiene una densidad constante. Estos tres puntos en general no son todos el mismo punto.

El "centroide del vértice" es la intersección de las dos bimedianas . Como con cualquier polígono, las coordenadas x e y del centroide del vértice son las medias aritméticas de las coordenadas x e y de los vértices.

El "centroide de área" del cuadrilátero ABCD se puede construir de la siguiente manera. Sean G a , G b , G c , G d los centroides de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces el "centroide del área" es la intersección de las líneas G a G c y G b G d .

En un cuadrilátero convexo general ABCD , no existen analogías naturales con el circuncentro y el ortocentro de un triángulo . Pero dos de esos puntos se pueden construir de la siguiente manera. Sean O a , O b , O c , O d los circuncentros de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente; y denotemos por H a , H b , H c , H d los ortocentros en los mismos triángulos. Entonces, la intersección de las rectas O a O c y O b O d se llama cuasicircuncentro , y la intersección de las rectas H a H c y H b H d se llama cuasiortocentro del cuadrilátero convexo. Estos puntos se pueden usar para definir una línea de Euler de un cuadrilátero. En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro H , el "centroide de área" G y el cuasicircuncentro O son colineales en este orden, y HG = 2 GO .

También se puede definir un centro de cuasipunto E como la intersección de las líneas E a E c y E b E d , donde E a , E b , E c , E d son los centros de nueve puntos de los triángulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Entonces E es el punto medio de OH .

Otra línea notable en un cuadrilátero convexo sin paralelogramo es la línea de Newton , que conecta los puntos medios de las diagonales, el segmento que conecta estos puntos es bisecado por el centroide del vértice. Una línea más interesante (en cierto sentido dual a la de Newton ) es la línea que conecta el punto de intersección de las diagonales con el centroide del vértice. La línea es notable por el hecho de que contiene el centroide (área). El centroide del vértice divide el segmento que conecta la intersección de las diagonales y el centroide (área) en una proporción de 3:1.

Para cualquier cuadrilátero ABCD con puntos P y Q las intersecciones de AD y BC y AB y CD , respectivamente, los círculos (PAB), (PCD), (QAD) y (QBC) pasan por un punto común M , llamado Miquel punto.

Para un cuadrilátero convexo ABCD en el que E es el punto de intersección de las diagonales y F es el punto de intersección de las extensiones de los lados BC y AD , sea ω un círculo que pasa por E y F que corta internamente a CB en M y DA internamente en N _ Dejemos que CA se encuentre con ω nuevamente en L y que DB se encuentre con ω nuevamente en K . Entonces se cumple: las rectas NK y ML se cortan en el punto P que se encuentra en el lado AB ; las rectas NL y KM se cortan en el punto Q que se ubica en el lado CD . Los puntos P y Q se denominan "puntos de Pascal" formados por el círculo ω en los lados AB y CD .

Otras propiedades de los cuadriláteros convexos

  • Deje que los cuadrados exteriores se dibujen en todos los lados de un cuadrilátero. Los segmentos que conectan los centros de cuadrados opuestos son (a) iguales en longitud y (b) perpendiculares . Así estos centros son los vértices de un cuadrilátero ortodiagonal . Esto se llama el teorema de Van Aubel .
  • Para cualquier cuadrilátero simple con longitudes de borde dadas, hay un cuadrilátero cíclico con las mismas longitudes de borde.
  • Los cuatro triángulos más pequeños formados por las diagonales y los lados de un cuadrilátero convexo tienen la propiedad de que el producto de las áreas de dos triángulos opuestos es igual al producto de las áreas de los otros dos triángulos.

Taxonomía

Una taxonomía de cuadriláteros, utilizando un diagrama de Hasse .

La figura de la derecha ilustra una taxonomía jerárquica de cuadriláteros. Las clases bajas son casos especiales de clases altas a las que están conectadas. Tenga en cuenta que "trapezoide" aquí se refiere a la definición norteamericana (el equivalente británico es un trapecio). En todo el documento se utilizan definiciones inclusivas.

cuadriláteros sesgados

Los bordes laterales (rojos) del disfenoide tetragonal representan un cuadrilátero sesgado en zig-zag regular

Un cuadrilátero no plano se llama cuadrilátero sesgado . Las fórmulas para calcular sus ángulos diedros a partir de las longitudes de los bordes y el ángulo entre dos bordes adyacentes se derivaron para trabajar en las propiedades de moléculas como el ciclobutano que contiene un anillo "arrugado" de cuatro átomos. Históricamente, el término cuadrilátero gauche también se usó para referirse a un cuadrilátero sesgado. Un cuadrilátero sesgado junto con sus diagonales forman un tetraedro (posiblemente no regular) y, a la inversa, cada cuadrilátero sesgado proviene de un tetraedro donde se elimina un par de bordes opuestos.

Ver también

Referencias

enlaces externos