Problema del ángulo del reloj - Clock angle problem

El diagrama muestra los ángulos formados por las manecillas de un reloj analógico que muestra un tiempo de 2:20

Los problemas de ángulo de reloj son un tipo de problema matemático que implica encontrar el ángulo entre las manecillas de un reloj analógico .

Problema de matemáticas

Los problemas de ángulos de reloj relacionan dos medidas diferentes: ángulos y tiempo . El ángulo generalmente se mide en grados desde la marca del número 12 en el sentido de las agujas del reloj. El tiempo generalmente se basa en un reloj de 12 horas .

Un método para resolver estos problemas es considerar la tasa de cambio del ángulo en grados por minuto. La manecilla de las horas de un reloj analógico normal de 12 horas gira 360 ° en 12 horas (720 minutos) o 0,5 ° por minuto. La manecilla de los minutos gira 360 ° en 60 minutos o 6 ° por minuto.

Ecuación para el ángulo de la manecilla de las horas

${\ Displaystyle \ theta _ {\ text {hr}} = 0.5 ^ {\ circ} \ times M _ {\ Sigma} = 0.5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times H + M)}$

dónde:

• θ es el ángulo en grados de la manecilla medido en el sentido de las agujas del reloj desde los 12
• H es la hora.
• M son los minutos después de la hora.
• M _Σ es el número de minutos desde las 12 en punto.${\ Displaystyle M _ {\ Sigma} = (60 \ times H + M)}$

Ecuación para el ángulo del minutero

${\ Displaystyle \ theta _ {\ text {min.}} = 6 ^ {\ circ} \ times M}$

dónde:

• θ es el ángulo en grados de la manecilla medido en el sentido de las agujas del reloj desde la posición de las 12 en punto.
• M es el minuto.

Ejemplo

Son las 5:24. El ángulo en grados de la manecilla de las horas es:

${\ Displaystyle \ theta _ {\ text {hr}} = 0.5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times 5 + 24) = 162 ^ {\ circ}}$

El ángulo en grados del minutero es:

${\ Displaystyle \ theta _ {\ text {min.}} = 6 ^ {\ circ} \ times 24 = 144 ^ {\ circ}}$

Ecuación para el ángulo entre las manos

El ángulo entre las manos se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ theta & = \ vert \ theta _ {\ text {hr}} - \ theta _ {\ text {min.}} \ vert \\ & = \ vert 0.5 ^ { \ circ} \ times (60 \ times H + M) -6 ^ {\ circ} \ times M \ vert \\ & = \ vert 0.5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times H + M) -0.5 ^ {\ circ} \ times 12 \ times M \ vert \\ & = \ vert 0.5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times H-11 \ times M) \ vert \\\ end {alineado}}}$

dónde

• H es la hora
• M es el minuto

Si el ángulo es mayor de 180 grados, réstelo de 360 ​​grados.

Ejemplo 1

Son las 2:20.

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ theta & = \ vert 0.5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times 2-11 \ times 20) \ vert \\ & = \ vert 0.5 ^ {\ circ} \ times (120-220) \ vert \\ & = 50 ^ {\ circ} \ end {alineado}}}$

Ejemplo 2

Son las 10:16.

${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta \ theta & = \ vert 0.5 ^ {\ circ} \ times (60 \ times 10-11 \ times 16) \ vert \\ & = \ vert 0.5 ^ {\ circ} \ times (600-176) \ vert \\ & = 212 ^ {\ circ} \ \ (> 180 ^ {\ circ}) \\ & = 360 ^ {\ circ} -212 ^ {\ circ} \\ & = 148 ^ {\ circ} \ end {alineado}}}$

¿Cuándo se superponen las manecillas de las horas y los minutos de un reloj?

En esta solución gráfica, T denota tiempo en horas; P , posiciones de las manos; y θ , ángulos de las manos en grados. La línea roja (sólida y gruesa) denota la manecilla de la hora; las líneas azules (delgadas y sólidas) indican el minutero. Sus intersecciones (cuadrados rojos) son cuando se alinean. Además, los círculos naranjas (línea de puntos y guiones) son cuando las manos están en oposición, y los triángulos rosas (línea de guiones) son cuando están perpendiculares. En el archivo SVG , coloque el cursor sobre el gráfico para mostrar las posiciones de las manecillas en la esfera de un reloj.

Las manecillas de las horas y los minutos se superponen solo cuando su ángulo es el mismo.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ theta _ {\ text {min}} & = \ theta _ {\ text {hr}} \\\ Flecha derecha 6 ^ {\ circ} \ times M & = 0.5 ^ {\ circ } \ times (60 \ times H + M) \\\ Flecha derecha 12 \ times M & = 60 \ times H + M \\\ Flecha derecha 11 \ times M & = 60 \ times H \\\ Flecha derecha M & = {\ frac {60 } {11}} \ times H \\\ Rightarrow M & = 5. {\ Overline {45}} \ times H \ end {alineado}}}$

H es un número entero en el rango 0-11. Esto da tiempos de: 0:00, 1:05. 45 , 2:10. 90 , 3:16. 36 , 4:21. 81 , 5:27. 27 . 6:32. 72 , 7:38. 18 , 8:43. 63 , 9:49. 09 , 10:54. 54 y 12:00. (0. 45 minutos son exactamente 27. 27 segundos).

Ver también

• Posición del reloj

Referencias

enlaces externos

• https://web.archive.org/web/20100615083701/http://delphiforfun.org/Programs/clock_angle.htm
• http://www.ldlewis.com/hospital_clock/ : análisis extenso del ángulo del reloj
• https://web.archive.org/web/20100608044951/http://www.jimloy.com/puzz/clock1.htm