Transversal (geometría) - Transversal (geometry)

En geometría , una transversal es una línea que pasa por dos líneas en el mismo plano en dos puntos distintos . Las transversales juegan un papel en el establecimiento de si dos o más líneas en el plano euclidiano son paralelas . Las intersecciones de una transversal con dos líneas de crear varios tipos de pares de ángulos: ángulos interiores consecutivos , ángulos exteriores consecutivos , los ángulos correspondientes , y ángulos alternativos . Como consecuencia del postulado paralelo de Euclides , si las dos líneas son paralelas, los ángulos interiores consecutivos son suplementarios , los ángulos correspondientes son iguales y los ángulos alternos son iguales.

Ocho ángulos de una transversal. ( Ángulos verticales como y${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ gamma}$ son siempre congruentes.)		Transversal entre líneas no paralelas. Los ángulos consecutivos no son suplementarios.	Transversal entre líneas paralelas. Los ángulos consecutivos son suplementarios.

Ángulos de una transversal

Una transversal produce 8 ángulos, como se muestra en el gráfico de arriba a la izquierda:

• 4 con cada una de las dos líneas, a saber, α, β, γ y δ y luego α ₁ , β ₁ , γ ₁ y δ ₁ ; y
• 4 de los cuales son interiores (entre las dos líneas), a saber, α, β, γ ₁ y δ ₁ y 4 de los cuales son exteriores , a saber, α ₁ , β ₁ , γ y δ.

Una transversal que corta dos líneas paralelas en ángulos rectos se llama transversal perpendicular . En este caso, los 8 ángulos son ángulos rectos

Cuando las líneas son paralelas , un caso que a menudo se considera, una transversal produce varios ángulos congruentes y varios suplementarios . Algunos de estos pares de ángulos tienen nombres específicos y se analizan a continuación: ángulos correspondientes, ángulos alternos y ángulos consecutivos.

Ángulos alternos

Un par de ángulos alternos. Con rectas paralelas, son congruentes.

Los ángulos alternos son los cuatro pares de ángulos que:

• tienen distintos puntos de vértice ,
• se encuentran en lados opuestos de la transversal y
• ambos ángulos son interiores o ambos ángulos son exteriores.

Si los dos ángulos de un par son congruentes (iguales en medida), entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes.

La proposición 1.27 de los elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos alternos de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no intersectantes).

Se deduce del postulado paralelo de Euclides que si las dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos alternos de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).

Ángulos correspondientes

Un par de ángulos correspondientes. Con rectas paralelas, son congruentes.

Los ángulos correspondientes son los cuatro pares de ángulos que:

• tienen distintos puntos de vértice,
• se encuentran en el mismo lado de la transversal y
• un ángulo es interior y el otro es exterior.

Dos rectas son paralelas si y solo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos correspondientes de cualquier transversal son congruentes (iguales en medida).

La proposición 1.28 de los elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no intersectantes).

Se deduce del postulado paralelo de Euclides que si las dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).

Si los ángulos de un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes. En las diversas imágenes con líneas paralelas de esta página, los pares de ángulos correspondientes son: α = α ₁ , β = β ₁ , γ = γ ₁ y δ = δ ₁ .

Ángulos interiores consecutivos

Un par de ángulos consecutivos. Con líneas paralelas, suman dos ángulos rectos

Los ángulos interiores consecutivos son los dos pares de ángulos que:

• tienen distintos puntos de vértice,
• se encuentran en el mismo lado de la transversal y
• son ambos interiores.

Dos rectas son paralelas si y solo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos interiores consecutivos de cualquier transversal son suplementarios (suma 180 °).

La proposición 1.28 de los elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos son suplementarios, entonces las dos líneas son paralelas (no intersectantes).

Se deduce del postulado paralelo de Euclides que si las dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos de una transversal son suplementarios (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).

Si un par de ángulos interiores consecutivos es suplementario, el otro par también lo es.

Otras características de las transversales

Si tres líneas en posición general forman un triángulo luego son cortadas por una transversal, las longitudes de los seis segmentos resultantes satisfacen el teorema de Menelao .

Teoremas relacionados

La formulación de Euclides del postulado paralelo puede enunciarse en términos de una transversal. Específicamente, si los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son menores que dos ángulos rectos, entonces las líneas deben cruzarse. De hecho, Euclides usa la misma frase en griego que generalmente se traduce como "transversal".

La Proposición 27 de Euclides establece que si una transversal interseca dos rectas de modo que los ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas. Euclides prueba esto por contradicción : si las líneas no son paralelas, entonces deben cruzarse y se forma un triángulo. Entonces uno de los ángulos alternos es un ángulo exterior igual al otro ángulo que es un ángulo interior opuesto en el triángulo. Esto contradice la Proposición 16 que establece que un ángulo exterior de un triángulo es siempre mayor que los ángulos interiores opuestos.

La Proposición 28 de Euclides extiende este resultado de dos maneras. Primero, si una transversal interseca dos rectas de modo que los ángulos correspondientes sean congruentes, entonces las rectas son paralelas. En segundo lugar, si una transversal interseca dos rectas de modo que los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas. Estos se derivan de la proposición anterior al aplicar el hecho de que los ángulos opuestos de las líneas que se cruzan son iguales (Prop. 15) y que los ángulos adyacentes en una línea son suplementarios (Prop. 13). Como señaló Proclo , Euclides da solo tres de los seis posibles criterios para las líneas paralelas.

La Proposición 29 de Euclides es inversa a las dos anteriores. Primero, si una transversal interseca dos líneas paralelas, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. Si no, entonces uno es mayor que el otro, lo que implica que su suplemento es menor que el suplemento del otro ángulo. Esto implica que existen ángulos interiores en el mismo lado de la transversal que son menores que dos ángulos rectos, contradiciendo el quinto postulado. La proposición continúa afirmando que en una transversal de dos líneas paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes y los ángulos interiores del mismo lado son iguales a dos ángulos rectos. Estas declaraciones siguen de la misma manera que la Prop.28 se desprende de la Prop.27.

La demostración de Euclides hace un uso esencial del quinto postulado, sin embargo, los tratamientos modernos de la geometría utilizan en su lugar el axioma de Playfair . Para probar la proposición 29 asumiendo el axioma de Playfair, supongamos que una transversal cruza dos líneas paralelas y suponga que los ángulos alternos internos no son iguales. Dibuja una tercera línea a través del punto donde la transversal cruza la primera línea, pero con un ángulo igual al ángulo que forma la transversal con la segunda línea. Esto produce dos líneas diferentes a través de un punto, ambas paralelas a otra línea, contradiciendo el axioma.

En dimensiones superiores

En espacios de dimensiones superiores, una línea que cruza cada uno de un conjunto de líneas en puntos distintos es una transversal de ese conjunto de líneas. A diferencia del caso bidimensional (plano), no se garantiza la existencia de transversales para conjuntos de más de dos líneas.

En euclidiana 3-espacio, un regulus es un conjunto de líneas oblicuas , R , de manera que a través de cada punto en cada línea de R , pasa una transversal de R y a través de cada punto de una transversal de R pasa una línea de R . El conjunto de transversales de un regulus R es también un regulus, llamado regulus opuesto , R ^o . En este espacio, tres líneas mutuamente sesgadas siempre se pueden extender a un regulus.

Referencias

• Holgate, Thomas Franklin (1901). Geometría elemental . Macmillan.
• Thomas Little Heath, TL (1908). Los trece libros de los Elementos de Euclides . 1 . La Prensa Universitaria. págs. 307 y sigs.