Línea (geometría) - Line (geometry)

Las líneas roja y azul de este gráfico tienen la misma pendiente (gradiente) ; las líneas roja y verde tienen la misma intersección con el eje y (cruzan el eje y en el mismo lugar).
Una representación de un segmento de línea .

En geometría, la noción de línea o línea recta fue introducida por los antiguos matemáticos para representar objetos rectos (es decir, sin curvatura ) con un ancho y profundidad insignificantes. Las líneas son una idealización de tales objetos, que a menudo se describen en términos de dos puntos (p. Ej., ) O se refieren a ellos con una sola letra (p . Ej., ).

Hasta el siglo XVII, las líneas se definían como la "[...] primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, a saber, la longitud, sin ancho ni profundidad, y no es otra cosa que el fluir o correr del punto que [ ...] dejará de su movimiento imaginario algún vestigio de largo, exento de cualquier ancho. [...] La recta es la que se extiende igualmente entre sus puntas. "

Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma"; introdujo varios postulados como propiedades básicas indemostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar confusiones con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana , proyectiva y afín ).

En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , pero en un escenario más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que descansan sobre él.

Cuando una geometría se describe mediante un conjunto de axiomas , la noción de línea suele dejarse indefinida (lo que se denomina un objeto primitivo ). Las propiedades de las líneas están entonces determinadas por los axiomas que se refieren a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que brinda a los usuarios de la geometría. Por lo tanto, en geometría diferencial , una línea puede interpretarse como una geodésica (el camino más corto entre puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas , una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas las combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar en la trayectoria de un rayo de luz como una línea.

Definiciones versus descripciones

Todas las definiciones son, en última instancia , de naturaleza circular , ya que dependen de conceptos que deben tener ellos mismos definiciones, dependencia que no puede continuar indefinidamente sin volver al punto de partida. Para evitar este círculo vicioso, ciertos conceptos deben tomarse como conceptos primitivos ; términos que no se definen. En geometría, es frecuente que el concepto de línea se tome como primitivo. En aquellas situaciones en las que una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas , algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es primitivo, el comportamiento y las propiedades de las líneas vienen dictadas por los axiomas que deben satisfacer.

En un tratamiento no axiomático o axiomático simplificado de la geometría, el concepto de una noción primitiva puede ser demasiado abstracto para ser tratado. En esta circunstancia, es posible proporcionar una descripción o imagen mental de una noción primitiva, para dar una base para construir la noción sobre la que se basaría formalmente en los axiomas (no declarados). Algunos autores pueden hacer referencia a descripciones de este tipo como definiciones en este estilo informal de presentación. Estas no son definiciones verdaderas y no podrían usarse en pruebas formales de declaraciones. La "definición" de línea en los Elementos de Euclides entra en esta categoría. Incluso en el caso de que se esté considerando una geometría específica (por ejemplo, geometría euclidiana ), no existe un acuerdo generalmente aceptado entre los autores en cuanto a lo que debería ser una descripción informal de una línea cuando el tema no está siendo tratado formalmente.

En geometría euclidiana

Cuando la geometría fue formalizada por primera vez por Euclides en los Elementos , definió una línea general (recta o curva) como "longitud sin ancho", siendo una línea recta una línea "que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". Estas definiciones tienen poco propósito, ya que utilizan términos que no están definidos por sí mismos. De hecho, el propio Euclides no usó estas definiciones en este trabajo, y probablemente las incluyó solo para dejar claro al lector lo que se estaba discutiendo. En la geometría moderna, una línea simplemente se toma como un objeto indefinido con propiedades dadas por axiomas , pero a veces se define como un conjunto de puntos que obedecen a una relación lineal cuando algún otro concepto fundamental queda sin definir.

En una formulación axiomática de la geometría euclidiana, como la de Hilbert (los axiomas originales de Euclides contenían varios defectos que han sido corregidos por los matemáticos modernos), se afirma que una línea tiene ciertas propiedades que la relacionan con otras líneas y puntos . Por ejemplo, para dos puntos distintos, hay una línea única que los contiene, y dos líneas distintas se cruzan como máximo en un punto. En dos dimensiones (es decir, el plano euclidiano ), dos líneas que no se cruzan se llaman paralelas . En dimensiones superiores, dos líneas que no se intersecan son paralelas si están contenidas en un plano , o se inclinan si no lo están.

Cualquier colección de un número finito de líneas divide el plano en polígonos convexos (posiblemente ilimitados); esta partición se conoce como disposición de líneas .

En coordenadas cartesianas

Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines , se caracterizan por ecuaciones lineales . Más precisamente, cada línea (incluidas las verticales) es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas ( x , y ) satisfacen una ecuación lineal ; es decir,

donde una , b y c se fijan los números reales (llamados coeficientes ) de manera que una y b no son ambos cero. Usando esta forma, las líneas verticales corresponden a ecuaciones con b = 0.

Además, se puede suponer c = 1 o c = 0 , dividiendo todo por c si no es cero.

Hay muchas formas variantes de escribir la ecuación de una línea que se pueden convertir de una a otra mediante manipulación algebraica. El formulario anterior a veces se denomina formulario estándar . Si el término constante se pone a la izquierda, la ecuación se convierte en

ya esto a veces se le llama la forma general de la ecuación. Sin embargo, esta terminología no es universalmente aceptada y muchos autores no distinguen estas dos formas.

Estos formularios (ver Ecuación lineal para otros formularios) generalmente se nombran por el tipo de información (datos) sobre la línea que se necesita para escribir el formulario. Algunos de los datos importantes de una línea son su pendiente, intersección con el eje x , puntos conocidos en la línea y la intersección con el eje y.

La ecuación de la línea que pasa por dos puntos diferentes y puede escribirse como

.

Si x 0x 1 , esta ecuación se puede reescribir como

o

Ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas también se utilizan para especificar líneas, particularmente en aquellas en tres dimensiones o más porque en más de dos dimensiones las líneas no se pueden describir mediante una sola ecuación lineal.

En tres dimensiones, las líneas se describen con frecuencia mediante ecuaciones paramétricas:

dónde:

x , y , yz son todas funciones de la variable independiente t que va por encima de los números reales.
( x 0 , y 0 , z 0 ) es cualquier punto de la recta.
un , b , y c están relacionadas con la pendiente de la línea, de manera que la dirección del vector ( un , b , c ) es paralela a la línea.

Las ecuaciones paramétricas para líneas en dimensiones superiores son similares en el sentido de que se basan en la especificación de un punto en la línea y un vector de dirección.

Como nota, las líneas en tres dimensiones también se pueden describir como las soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales.

tales que y no son proporcionales (las relaciones implican ). Esto se sigue ya que en tres dimensiones una sola ecuación lineal describe típicamente un plano y una línea es lo que es común a dos planos de intersección distintos.

Forma pendiente-intersección

En dos dimensiones , la ecuación para líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección :

dónde:

m es la pendiente o pendiente de la línea.
b es la intersección con el eje y de la línea.
x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

La pendiente de la recta que pasa por puntos y , cuando , está dada por y se puede escribir la ecuación de esta recta .

Forma normal

La forma normal (también llamada forma normal de Hesse , en honor al matemático alemán Ludwig Otto Hesse ), se basa en el segmento normal para una línea dada, que se define como el segmento de línea dibujado desde el origen perpendicular a la línea. Este segmento une el origen con el punto más cercano en la línea al origen. La forma normal de la ecuación de una línea recta en el plano viene dada por:

donde es el ángulo de inclinación del segmento normal (el ángulo orientado desde el vector unitario del eje x a este segmento), yp es la longitud (positiva) del segmento normal. La forma normal se puede derivar de la forma estándar dividiendo todos los coeficientes por

A diferencia de las formas de pendiente-intersección y de intercepción, esta forma puede representar cualquier línea sino que también requiere sólo dos parámetros finitos, y p , para ser especificados. Si p > 0 , entonces se define de forma única módulo 2 π . Por otro lado, si la línea pasa por el origen ( c = p = 0 ), se descarta c / | c | término para calcular y , y se deduce que solo se define módulo π .

En coordenadas polares

En un plano cartesiano , las coordenadas polares ( r , θ ) están relacionadas con las coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones

En coordenadas polares, la ecuación de una línea que no pasa por el origen , el punto con coordenadas (0, 0), se puede escribir

con r > 0 y Aquí, p es la longitud (positiva) del segmento de línea perpendicular a la línea y delimitado por el origen y la línea, y es el ángulo (orientado) desde el eje x hasta este segmento.

Puede ser útil expresar la ecuación en términos del ángulo entre el eje xy la recta. En este caso, la ecuación se convierte en

con r > 0 y

Estas ecuaciones se pueden derivar de la forma normal de la ecuación de la línea mediante el establecimiento y y luego aplicando la identidad diferencia de ángulo de seno o coseno.

Estas ecuaciones también se pueden probar geométricamente aplicando definiciones de triángulo rectángulo de seno y coseno al triángulo rectángulo que tiene un punto de la línea y el origen como vértices, y la línea y su perpendicular a través del origen como lados.

Las formas anteriores no se aplican para una línea que pasa por el origen, pero se puede escribir una fórmula más simple: las coordenadas polares de los puntos de una línea que pasa por el origen y forman un ángulo con el eje x , son los pares tales ese

Como una ecuación vectorial

La ecuación vectorial de la línea que pasa por los puntos A y B viene dada por (donde λ es un escalar ).

Si una es vector OA y b es el vector OB , entonces la ecuación de la línea se puede escribir: .

Un rayo que comienza en el punto A se describe limitando λ. Se obtiene un rayo si λ ≥ 0, y el rayo opuesto proviene de λ ≤ 0.

En dimensiones superiores

En el espacio tridimensional , una ecuación de primer grado en las variables x , y y z define un plano, por lo que dos de tales ecuaciones, siempre que los planos que dan lugar no sean paralelos, definen una línea que es la intersección de los planos. Más en general, en n espacio dimensional n -1 ecuaciones de primer grado en las n coordenadas variables definen una línea en condiciones adecuadas.

En más general euclidiana espacio , R n (y análogamente en todos los demás espacio afín ), la línea L que pasa por dos puntos diferentes a y b (considerado como vectores) es el subconjunto

La dirección de la línea es de a ( t = 0) ab ( t = 1), o en otras palabras, en la dirección del vector b  -  a . Diferentes opciones de una y b pueden producir la misma línea.

Puntos colineales

Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran en la misma línea. Normalmente, tres puntos determinan un plano , pero en el caso de tres puntos colineales esto no sucede.

En coordenadas afines , en el espacio n- dimensional, los puntos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) y Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) son colineales si la matriz

tiene un rango menor que 3. En particular, para tres puntos en el plano ( n = 2), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero.

De manera equivalente para tres puntos en un plano, los puntos son colineales si y solo si la pendiente entre un par de puntos es igual a la pendiente entre cualquier otro par de puntos (en cuyo caso la pendiente entre el par de puntos restantes será igual a las otras pendientes) . Por extensión, k puntos en un plano son colineales si y solo si alguno ( k –1) pares de puntos tienen las mismas pendientes por pares.

En la geometría euclidiana , la distancia euclidiana d ( un , b ) entre dos puntos de una y b pueden ser utilizados para expresar la colinealidad entre tres puntos por:

Los puntos de un , b y c son colineales si y sólo si d ( x , un ) = d ( c , un ) y d ( x , b ) = d ( c , b ) implica x = c .

Sin embargo, existen otras nociones de distancia (como la distancia de Manhattan ) para las que esta propiedad no es cierta.

En las geometrías donde el concepto de línea es una noción primitiva , como puede ser el caso en algunas geometrías sintéticas , se necesitan otros métodos para determinar la colinealidad.

Tipos de lineas

En cierto sentido, todas las líneas en la geometría euclidiana son iguales, en el sentido de que, sin coordenadas, no se pueden diferenciar unas de otras. Sin embargo, las líneas pueden jugar papeles especiales con respecto a otros objetos en la geometría y dividirse en tipos de acuerdo con esa relación. Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo , elipse , parábola o hipérbola ), las líneas pueden ser:

  • líneas tangentes , que tocan la cónica en un solo punto;
  • líneas secantes , que cortan la cónica en dos puntos y pasan por su interior;
  • líneas exteriores, que no se encuentran con la cónica en ningún punto del plano euclidiano; o
  • una directriz , cuya distancia desde un punto ayuda a establecer si el punto está en la cónica.

En el contexto de la determinación del paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que cruza otras dos líneas que pueden o no ser paralelas entre sí.

Para curvas algebraicas más generales , las líneas también podrían ser:

  • i -rectas secuenciales, encontrando la curva en i puntos contados sin multiplicidad, o
  • asíntotas , que una curva se acerca arbitrariamente de cerca sin tocarla.

Con respecto a los triángulos tenemos:

Para un cuadrilátero convexo con como máximo dos lados paralelos, la línea de Newton es la línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales .

Para un hexágono con vértices sobre una cónica tenemos la línea de Pascal y, en el caso especial donde la cónica es un par de líneas, tenemos la línea de Pappus .

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que nunca se cruzan. Las líneas que se cruzan comparten un solo punto en común. Las líneas coincidentes coinciden entre sí: cada punto que está en cualquiera de ellos también está en el otro.

Las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan en ángulos rectos .

En el espacio tridimensional , las líneas oblicuas son líneas que no están en el mismo plano y, por lo tanto, no se cruzan entre sí.

En geometría proyectiva

En muchos modelos de geometría proyectiva , la representación de una línea rara vez se ajusta a la noción de "curva recta" tal como se visualiza en la geometría euclidiana. En geometría elíptica vemos un ejemplo típico de esto. En la representación esférica de la geometría elíptica, las líneas están representadas por grandes círculos de una esfera con puntos diametralmente opuestos identificados. En un modelo diferente de geometría elíptica, las líneas están representadas por planos euclidianos que pasan por el origen. Aunque estas representaciones son visualmente distintas, satisfacen todas las propiedades (por ejemplo, dos puntos que determinan una línea única) que las convierten en representaciones adecuadas para líneas en esta geometría.

Extensiones

Rayo

Dada una línea y cualquier punto A en ella, podemos considerar que A descompone esta línea en dos partes. Cada una de estas partes se llama rayo y el punto A se llama punto inicial . También se conoce como media línea , un medio espacio unidimensional . El punto A se considera miembro del rayo. Intuitivamente, un rayo consiste en aquellos puntos en una línea que pasa por A y avanza indefinidamente, comenzando en A , en una sola dirección a lo largo de la línea. Sin embargo, para utilizar este concepto de rayo en las pruebas se requiere una definición más precisa.

Dada puntos distintos A y B , que determinan un rayo único con el punto inicial A . Como dos puntos definen una línea única, este rayo consiste en todos los puntos entre A y B (incluyendo A y B ) y todos los puntos C en la línea a través de A y B tal que B está entre A y C . Esto se, a veces, también expresó como el conjunto de todos los puntos de C tal que A no es entre B y C . Un punto D , en la línea determinada por A y B , pero no en el rayo con el punto inicial A determinado por B , determinará otro rayo con el punto inicial A . Con respecto al rayo AB , el rayo AD se llama rayo opuesto .

Rayo

Así, diríamos que dos puntos diferentes, A y B , definen una línea y una descomposición de esta línea en la unión disjunta de un segmento abierto ( A ,  B ) y dos rayos, BC y AD (el punto D no se dibuja en el diagrama, pero está a la izquierda de A en la línea AB ). Estos no son rayos opuestos ya que tienen diferentes puntos iniciales.

En la geometría euclidiana, dos rayos con un punto final común forman un ángulo .

La definición de un rayo depende de la noción de intermediación para los puntos de una línea. De ello se deduce que los rayos existen solo para geometrías para las que existe esta noción, típicamente geometría euclidiana o geometría afín sobre un campo ordenado . Por otro lado, los rayos no existen en geometría proyectiva ni en una geometría sobre un campo no ordenado, como los números complejos o cualquier campo finito .

Segmento de línea

Un segmento de línea es una parte de una línea que está delimitada por dos puntos finales distintos y contiene todos los puntos de la línea entre sus puntos finales. Dependiendo de cómo se defina el segmento de línea, cualquiera de los dos puntos finales puede o no ser parte del segmento de línea. Dos o más segmentos de línea pueden tener algunas de las mismas relaciones que las líneas, como ser paralelas, intersecantes o sesgadas, pero a diferencia de las líneas, es posible que no sean ninguna de estas, si son coplanares y no se intersecan o son colineales .

Geodésicas

La "brevedad" y "rectitud" de una línea, interpretada como la propiedad de que la distancia a lo largo de la línea entre dos de sus puntos se minimiza (ver desigualdad de triángulos ), puede generalizarse y conduce al concepto de geodésicas en espacios métricos .

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos