Sector hiperbólico - Hyperbolic sector
Un sector hiperbólico es una región del plano cartesiano {( x , y )} limitada por rayos desde el origen a dos puntos ( a , 1 / a ) y ( b , 1 / b ) y por la hipérbola rectangular xy = 1 ( o la región correspondiente cuando se cambia la escala de esta hipérbola y se altera su orientación mediante una rotación que deja el centro en el origen, como ocurre con la hipérbola unitaria ). Un sector hiperbólico en posición estándar tiene un = 1 y b > 1 .
Los sectores hiperbólicos son la base de las funciones hiperbólicas .
Zona
El área de un sector hiperbólico en posición estándar es el logaritmo natural de b .
Prueba: integre bajo 1 / x de 1 a b , sume el triángulo {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} y reste el triángulo {(0, 0), ( b , 0), ( b , 1 / b )}.
Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico corresponde a un ángulo hiperbólico positivo en el origen, definiéndose la medida de este último como el área del primero.
Triángulo hiperbólico
Cuando está en posición estándar, un sector hiperbólico determina un triángulo hiperbólico , el triángulo rectángulo con un vértice en el origen, la base en el rayo diagonal y = x , y el tercer vértice en la hipérbola
siendo la hipotenusa el segmento desde el origen hasta el punto ( x, y ) de la hipérbola. La longitud de la base de este triángulo es
y la altitud es
donde u es el ángulo hiperbólico apropiado .
La analogía entre funciones circulares e hiperbólicas fue descrita por Augustus De Morgan en su Trigonometry and Double Algebra (1849). William Burnside usó tales triángulos, proyectando desde un punto en la hipérbola xy = 1 sobre la diagonal principal, en su artículo "Nota sobre el teorema de la suma para funciones hiperbólicas".
Logaritmo hiperbólico
Los estudiantes de cálculo integral saben que f ( x ) = x p tiene una antiderivada algebraica excepto en el caso p = –1 correspondiente a la cuadratura de la hipérbola. Los otros casos vienen dados por la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Mientras que Arquímedes había logrado la cuadratura de la parábola en el siglo III a.C. (en La cuadratura de la parábola ), la cuadratura hiperbólica requirió la invención en 1647 de una nueva función: Gregoire de Saint-Vincent abordó el problema de calcular las áreas delimitadas por una hipérbola. Sus hallazgos llevaron a la función de logaritmo natural, una vez llamada logaritmo hiperbólico, ya que se obtiene integrando, o encontrando el área, debajo de la hipérbola.
Antes de 1748 y la publicación de Introducción al análisis del infinito , el logaritmo natural se conocía en términos del área de un sector hiperbólico. Leonhard Euler cambió eso cuando introdujo funciones trascendentales como 10 x . Euler identificó e como el valor de b que produce una unidad de área (bajo la hipérbola o en un sector hiperbólico en posición estándar). Entonces, el logaritmo natural podría reconocerse como la función inversa a la función trascendental e x .
Geometría hiperbólica
Cuando Felix Klein escribió su libro sobre geometría no euclidiana en 1928, proporcionó una base para el tema haciendo referencia a la geometría proyectiva . Para establecer una medida hiperbólica en una línea, señaló que el área de un sector hiperbólico proporcionaba una ilustración visual del concepto.
Los sectores hiperbólicos también se pueden dibujar en la hipérbola . El área de tales sectores hiperbólicos se ha utilizado para definir la distancia hiperbólica en un libro de texto de geometría.
