Ángulo diedro - Dihedral angle

Ángulo entre dos semiplanos (α, β, verde) en un tercer plano (rosa) que corta la línea de intersección en ángulo recto

Un ángulo diedro es el ángulo entre dos planos o semiplanos que se cruzan . En química , es el ángulo en el sentido de las agujas del reloj entre los semiplanos a través de dos conjuntos de tres átomos, que tienen dos átomos en común. En geometría sólida , se define como la unión de una línea y dos semiplanos que tienen esta línea como borde común . En dimensiones superiores , un ángulo diedro representa el ángulo entre dos hiperplanos . Se dice que los planos de una máquina voladora forman un ángulo diedro positivo cuando los planos principales de estribor y babor están inclinados hacia arriba con respecto al eje lateral. Cuando están inclinados hacia abajo, se dice que tienen un ángulo diedro negativo.

Fondo matemático

Cuando los dos planos que se cruzan se describen en términos de coordenadas cartesianas por las dos ecuaciones

el ángulo diedro, entre ellos, viene dado por:

y satisface

Alternativamente, si n A y n B son vectores normales a los planos, uno tiene

donde n A  ·  n B es el producto escalar de los vectores y | n A | | n B | es el producto de sus longitudes.

El valor absoluto se requiere en las fórmulas anteriores, ya que los planos no se cambian al cambiar todos los signos de coeficiente en una ecuación, o al reemplazar un vector normal por su opuesto.

Sin embargo, los valores absolutos pueden y deben evitarse cuando se considera el ángulo diedro de dos semiplanos cuyos límites son la misma línea. En este caso, los semiplanos pueden ser descritos por un punto P de su intersección, y tres vectores b 0 , b 1 y b 2 tales que P + b 0 , P + b 1 y P + b 2 pertenecen respectivamente a la intersección línea, el primer semiplano y el segundo semiplano. El ángulo diedro de estos dos semiplanos está definido por

,

y satisface En este caso, cambiar los dos semiplanos da el mismo resultado, y también lo hace reemplazar con En química (ver más abajo), definimos un ángulo diedro tal que reemplazar con cambia el signo del ángulo, que puede estar entre - π y π .

En física de polímeros

En algunas áreas científicas, como la física de polímeros , se puede considerar una cadena de puntos y enlaces entre puntos consecutivos. Si los puntos se numeran secuencialmente y se ubican en las posiciones r 1 , r 2 , r 3 , etc., entonces los vectores de enlace se definen por u 1 = r 2 - r 1 , u 2 = r 3 - r 2 y u i = r i + 1 - r i , de manera más general. Este es el caso de cadenas cinemáticas o aminoácidos en una estructura proteica . En estos casos, a menudo nos interesan los semiplanos definidos por tres puntos consecutivos y el ángulo diedro entre dos semiplanos consecutivos. Si u 1 , u 2 y u 3 son tres vectores de enlace consecutivos, la intersección de los semiplanos está orientada, lo que permite definir un ángulo diedro que pertenece al intervalo (- π , π ] . Este ángulo diedro está definido por

o, usando la función atan2 ,

Este ángulo diedro no depende de la orientación de la cadena (orden en que se consideran los puntos) - invertir este orden consiste en reemplazar cada vector por su vector opuesto e intercambiar los índices 1 y 3. Ambas operaciones no cambian el coseno , pero cambia el signo del seno. Por lo tanto, juntos, no cambian el ángulo.

Una fórmula más simple para el mismo ángulo diedro es la siguiente (la prueba se da a continuación)

o equivalente,

Esto se puede deducir de fórmulas anteriores utilizando la fórmula del producto cuádruple vectorial , y el hecho de que un producto triple escalar es cero si contiene dos veces el mismo vector:

Dada la definición del producto cruzado , esto significa que es el ángulo en el sentido de las agujas del reloj del cuarto átomo en comparación con el primer átomo, mientras mira hacia abajo del eje del segundo átomo al tercero. Los casos especiales (se puede decir que los casos habituales) son , y , que se denominan conformaciones trans , gauche + y gauche - .

En estereoquímica

Synantipericlinal.svg Proyección de Newman butano -sc.svg Proyección de caballete butano -sc.png
Nombres de configuración
según ángulo diedro
syn n- Butano en la
gauche - conformación (−60 °)
Proyección de Newman
syn n- Proyección de caballete de butano
Diagrama de energía libre del n- butano en función del ángulo diedro.

En estereoquímica , un ángulo de torsión se define como un ejemplo particular de un ángulo diedro, que describe la relación geométrica de dos partes de una molécula unidas por un enlace químico . Cada conjunto de tres átomos no colineales de una molécula define un semiplano. Como se explicó anteriormente, cuando dos de esos semiplanos se cruzan (es decir, un conjunto de cuatro átomos unidos consecutivamente), el ángulo entre ellos es un ángulo diedro. Los ángulos diedros se utilizan para especificar la conformación molecular . Las disposiciones estereoquímicas correspondientes a ángulos entre 0 ° y ± 90 ° se denominan syn (s), las correspondientes a ángulos entre ± 90 ° y 180 ° anti (a). De manera similar, las disposiciones correspondientes a ángulos entre 30 ° y 150 ° o entre -30 ° y -150 ° se denominan clinales (c) y las que se encuentran entre 0 ° y ± 30 ° o ± 150 ° y 180 ° se denominan periplanar (p).

Los dos tipos de términos se pueden combinar para definir cuatro rangos de ángulos; 0 ° a ± 30 ° sinperiplanar (sp); 30 ° a 90 ° y -30 ° a -90 ° sinclinal (sc); 90 ° a 150 ° y -90 ° a -150 ° anticlinal (ac); ± 150 ° a 180 ° antiperiplanar (ap). La conformación sinperiplanar también se conoce como la conformación syn o cis ; antiperiplanar como anti o trans ; y sinclinal como torpe o sesgado .

Por ejemplo, con n - butano se pueden especificar dos planos en términos de los dos átomos de carbono centrales y cualquiera de los átomos de carbono de metilo. El syn -conformation se muestra más arriba, con un ángulo diedro de 60 ° es menos estable que el contra -conformation con un ángulo diedro de 180 °.

Para uso macromolecular se recomiendan los símbolos T, C, G + , G - , A + y A - (ap, sp, + sc, −sc, + ac y −ac respectivamente).

Proteinas

Representación de una proteína , mostrando dónde se refieren ω, φ y ψ.

Un diagrama de Ramachandran (también conocido como diagrama de Ramachandran o diagrama [ φ , ψ ]), desarrollado originalmente en 1963 por GN Ramachandran , C. Ramakrishnan y V. Sasisekharan, es una forma de visualizar regiones energéticamente permitidas para ángulos diedros de la columna vertebral ψ contra φ de residuos de aminoácidos en la estructura de la proteína . En una cadena de proteínas se definen tres ángulos diedros:

  • ω (omega) es el ángulo en la cadena C α - C '- N - C α ,
  • φ (phi) es el ángulo en la cadena C '- N - C α - C'
  • ψ (psi) es el ángulo en la cadena N - C α - C '- N (llamado φ ′ por Ramachandran)

La figura de la derecha ilustra la ubicación de cada uno de estos ángulos (pero no muestra correctamente la forma en que están definidos).

La planaridad del enlace peptídico generalmente restringe ω a 180 ° (el caso trans típico ) o 0 ° (el caso cis raro ). La distancia entre los átomos de C α en los isómeros trans y cis es de aproximadamente 3,8 y 2,9 Å, respectivamente. La gran mayoría de los enlaces peptídicos en las proteínas son trans , aunque el enlace peptídico al nitrógeno de la prolina tiene una mayor prevalencia de cis en comparación con otros pares de aminoácidos.

Los ángulos diedros de la cadena lateral se designan con χ n (chi- n ). Tienden a agruparse cerca de 180 °, 60 ° y -60 °, que se denominan conformaciones trans , gauche + y gauche - . La estabilidad de ciertos ángulos diedros de la cadena lateral se ve afectada por los valores φ y ψ . Por ejemplo, existen interacciones estéricas directas entre el C γ de la cadena lateral en el rotámero gauche + y el nitrógeno de la cadena principal del siguiente residuo cuando ψ está cerca de -60 °. Esto es evidente a partir de distribuciones estadísticas en bibliotecas de rotámeros dependientes de la columna vertebral .

Conversión de ángulos diedros a coordenadas cartesianas en cadenas

Es común representar las cadenas principales de los polímeros, en particular las proteínas, en coordenadas internas ; es decir, una lista de ángulos diedros consecutivos y longitudes de enlace. Sin embargo, algunos tipos de química computacional utilizan coordenadas cartesianas . En la optimización de la estructura computacional, algunos programas necesitan alternar entre estas representaciones durante sus iteraciones. Esta tarea puede dominar el tiempo de cálculo. Para procesos con muchas iteraciones o con cadenas largas, también puede introducir imprecisiones numéricas acumulativas. Si bien todos los algoritmos de conversión producen resultados matemáticamente idénticos, difieren en velocidad y precisión numérica.

Geometría

Cada poliedro tiene un ángulo diedro en cada borde que describe la relación de las dos caras que comparten ese borde. Este ángulo diedro, también llamado ángulo de la cara , se mide como el ángulo interno con respecto al poliedro. Un ángulo de 0 ° significa que los vectores normales de la cara son antiparalelos y las caras se superponen entre sí, lo que implica que es parte de un poliedro degenerado . Un ángulo de 180 ° significa que las caras son paralelas, como en un mosaico . Existe un ángulo mayor de 180 ° en las porciones cóncavas de un poliedro.

Cada ángulo diedro en un poliedro de borde transitivo tiene el mismo valor. Esto incluye los 5 sólidos platónicos , los 13 sólidos catalanes , los 4 poliedros de Kepler-Poinsot , los dos sólidos cuasirregulares y dos sólidos duales cuasirregulares.

Dadas 3 caras de un poliedro que se encuentran en un vértice común P y tienen aristas AP, BP y CP, el coseno del ángulo diedro entre las caras que contienen APC y BPC es:

Ver también

Referencias

enlaces externos