Teorema del ángulo exterior - Exterior angle theorem

El teorema del ángulo exterior es la Proposición 1.16 de los Elementos de Euclides , que establece que la medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de las medidas de los ángulos interiores remotos. Este es un resultado fundamental en geometría absoluta porque su demostración no depende del postulado paralelo .

En varios tratamientos de geometría de la escuela secundaria, el término "teorema del ángulo exterior" se ha aplicado a un resultado diferente, a saber, la parte de la Proposición 1.32 que establece que la medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores remotos. Este resultado, que depende del postulado paralelo de Euclides, se denominará "teorema del ángulo exterior de la escuela secundaria" (HSEAT) para distinguirlo del teorema del ángulo exterior de Euclides.

Algunos autores se refieren al "teorema del ángulo exterior de la escuela secundaria" como la forma fuerte del teorema del ángulo exterior y al "teorema del ángulo exterior de Euclides" como la forma débil .

Ángulos exteriores

Un triángulo tiene tres esquinas, llamadas vértices . Los lados de un triángulo (segmentos de línea) que se unen en un vértice forman dos ángulos (cuatro ángulos si considera que los lados del triángulo son líneas en lugar de segmentos de línea). Solo uno de estos ángulos contiene el tercer lado del triángulo en su interior, y este ángulo se llama ángulo interior del triángulo. En la siguiente imagen, los ángulos ∠ABC , ∠BCA y ∠CAB son los tres ángulos interiores del triángulo. Se forma un ángulo exterior al extender uno de los lados del triángulo; el ángulo entre el lado extendido y el otro lado es el ángulo exterior. En la imagen, el ángulo ∠ACD es un ángulo exterior.

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Teorema del ángulo exterior de Euclides

La prueba de la Proposición 1.16 dada por Euclides a menudo se cita como un lugar donde Euclides da una prueba defectuosa.

Euclides demuestra el teorema del ángulo exterior mediante:

  • construir el punto medio E del segmento AC,
  • dibuja el rayo BE,
  • construya el punto F en el rayo BE de modo que E sea (también) el punto medio de B y F,
  • dibuja el segmento FC.

Mediante triángulos congruentes podemos concluir que ∠ BAC = ∠ ECF y ∠ ECF es menor que ∠ ECD, ∠ ECD = ∠ ACD por lo tanto ∠ BAC es menor que ∠ ACD y lo mismo se puede hacer para el ángulo ∠ CBA bisecando BC.

La falla radica en la suposición de que un punto (F, arriba) se encuentra "dentro" del ángulo (∠ ACD). No se da ninguna razón para esta afirmación, pero el diagrama adjunto hace que parezca una afirmación verdadera. Cuando se usa un conjunto completo de axiomas para la geometría euclidiana (ver Fundamentos de la geometría ) se puede probar esta afirmación de Euclides.

No válido en geometría esférica

Los triángulos pequeños pueden comportarse de una manera casi euclidiana, pero los ángulos exteriores en la base del triángulo grande son 90 °, una contradicción con el teorema del ángulo exterior de Euclides.

El teorema del ángulo exterior no es válido en geometría esférica ni en la geometría elíptica relacionada . Considere un triángulo esférico, uno de cuyos vértices es el Polo Norte y los otros dos se encuentran en el ecuador . Los lados del triángulo que emana del Polo Norte ( grandes círculos de la esfera) se encuentran con el ecuador en ángulos rectos, por lo que este triángulo tiene un ángulo exterior que es igual a un ángulo interior remoto. El otro ángulo interior (en el Polo Norte) se puede hacer más grande que 90 °, enfatizando aún más el fracaso de esta afirmación. Sin embargo, dado que el teorema del ángulo exterior de Euclides es un teorema en geometría absoluta , es automáticamente válido en geometría hiperbólica .

Teorema del ángulo exterior de la escuela secundaria

El teorema del ángulo exterior de la escuela secundaria (HSEAT) dice que el tamaño de un ángulo exterior en un vértice de un triángulo es igual a la suma de los tamaños de los ángulos interiores en los otros dos vértices del triángulo (ángulos interiores remotos). Entonces, en la imagen, el tamaño del ángulo ACD es igual al tamaño del ángulo ABC más el tamaño del ángulo CAB .

El HSEAT es lógicamente equivalente al enunciado euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 °. Si se sabe que la suma de las medidas de los ángulos en un triángulo es 180 °, entonces el HSEAT se demuestra de la siguiente manera:

Por otro lado, si el HSEAT se toma como una declaración verdadera, entonces:

Ilustración de prueba del HSEAT

Demostrar que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180 °.

La prueba euclidiana del HSEAT (y simultáneamente el resultado de la suma de los ángulos de un triángulo) comienza construyendo la línea paralela al lado AB que pasa por el punto C y luego usando las propiedades de los ángulos correspondientes y los ángulos alternos internos de las líneas paralelas para Obtenga la conclusión como en la ilustración.

El HSEAT puede ser extremadamente útil cuando se intenta calcular las medidas de ángulos desconocidos en un triángulo.

Notas

Referencias

  • Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-1748-1
  • Greenberg, Marvin Jay (1974), Geometrías euclidianas y no euclidianas / Desarrollo e historia , San Francisco: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
  • Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover.
(3 vols.): ISBN  0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN  0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN  0-486-60090-4 (vol. 3).
  • Henderson, David W .; Taimiņa, Daina (2005), Experimentar la geometría / euclidiana y no euclidiana con la historia (3a ed.), Pearson / Prentice-Hall, ISBN 0-13-143748-8
  • Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de la geometría , Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143700-3
  • Wylie Jr., CR (1964), Fundamentos de la geometría , Nueva York: McGraw-Hill

Referencias HSEAT

  • Libro de texto de geometría - Norma IX , Junta Estatal de Educación Secundaria y Superior de Maharashtra , Pune - 411 005, India .
  • Geometry Common Core , 'Pearson Education: Upper Saddle River, © 2010, páginas 171-173 | Estados Unidos .
  • Wheater, Carolyn C. (2007), Ayudantes con la tarea: geometría , Franklin Lakes, Nueva Jersey: Career Press, págs. 88–90, ISBN 978-1-56414-936-7.