Transformación ortogonal - Orthogonal transformation

En álgebra lineal , una transformación ortogonal es una transformación lineal T  :  V  →  V en un espacio de producto interno real V , que conserva el producto interno . Es decir, para cada par u , v de elementos de  V , tenemos

${\ Displaystyle \ langle u, v \ rangle = \ langle Tu, Tv \ rangle \ ,.}$

Dado que las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos se definen a través del producto interno, las transformaciones ortogonales conservan las longitudes de los vectores y los ángulos entre ellos. En particular, las transformaciones ortogonales asignan bases ortonormales a bases ortonormales.

Las transformaciones ortogonales son inyectivas : si entonces , entonces , el núcleo de es trivial. ${\ displaystyle Tv = 0}$${\ displaystyle 0 = \ langle Tv, Tv \ rangle = \ langle v, v \ rangle}$${\ Displaystyle v = 0}$${\ Displaystyle T}$

Las transformaciones ortogonales en el espacio euclidiano bidimensional o tridimensional son rotaciones rígidas , reflejos o combinaciones de una rotación y una reflexión (también conocidas como rotaciones impropias ). Los reflejos son transformaciones que invierten la dirección de adelante hacia atrás, ortogonal al plano del espejo, como lo hacen los espejos (del mundo real). Las matrices correspondientes a rotaciones propias (sin reflexión) tienen un determinante de +1. Las transformaciones con reflexión están representadas por matrices con un determinante de -1. Esto permite generalizar el concepto de rotación y reflexión a dimensiones superiores.

En espacios de dimensión finita, la representación matricial (con respecto a una base ortonormal ) de una transformación ortogonal es una matriz ortogonal . Sus filas son vectores mutuamente ortogonales con norma unidad, de modo que las filas constituyen una base ortonormal de  V . Las columnas de la matriz de forma que otra base ortonormal de  V .

Si una transformación ortogonal es invertible (que siempre es el caso cuando V es de dimensión finita), entonces su inversa es otra transformación ortogonal. Su representación matricial es la transpuesta de la representación matricial de la transformación original.

Ejemplos de

Considere el espacio del producto interno con el producto interno euclidiano estándar y la base estándar. Entonces, la transformación matricial ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$

${\ Displaystyle T = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) & - \ sin (\ theta) \\\ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}}: \ mathbb { R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$

es ortogonal. Para ver esto, considere

${\ displaystyle {\ begin {alineado} Te_ {1} = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) \\\ sin (\ theta) \ end {bmatrix}} && Te_ {2} = {\ begin {bmatrix } - \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} \ end {alineado}}}$

Luego,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ langle Te_ {1}, Te_ {1} \ rangle = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) & \ sin (\ theta) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) \\\ sin (\ theta) \ end {bmatrix}} = \ cos ^ {2} (\ theta) + \ sin ^ {2} (\ theta) = 1 \\ & \ langle Te_ {1}, Te_ {2} \ rangle = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) & \ sin (\ theta) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix } - \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) - \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) = 0 \\ & \ langle Te_ {2}, Te_ {2} \ rangle = {\ begin {bmatrix} - \ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix } - \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} = \ sin ^ {2} (\ theta) + \ cos ^ {2} (\ theta) = 1 \\\ end {alineado}}}$

El ejemplo anterior se puede ampliar para construir todas las transformaciones ortogonales. Por ejemplo, las siguientes matrices definen transformaciones ortogonales en : ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) & - \ sin (\ theta) & 0 \\\ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) & 0 & - \ sin (\ theta) \\ 0 & 1 & 0 \\\ sin (\ theta) & 0 & \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix } 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos (\ theta) & - \ sin (\ theta) \\ 0 & \ sin (\ theta) & \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}}}$

Ver también

• Rotación incorrecta
• Transformación lineal
• Matriz ortogonal
• Transformación unitaria

Referencias