Forma cuadrática definida - Definite quadratic form

En matemáticas , una forma cuadrática definida es una forma cuadrática sobre un espacio vectorial real V que tiene el mismo signo (siempre positivo o siempre negativo) para cada vector de V distinto de cero . Según ese signo, la forma cuadrática se llama definida positiva o definida negativa .

Una forma cuadrática semidefinida (o semidefinida ) se define de la misma manera, excepto que "siempre positivo" y "siempre negativo" se reemplazan por "siempre no negativo" y "siempre no positivo", respectivamente. En otras palabras, puede tomar valores cero.

Una forma cuadrática indefinida toma valores tanto positivos como negativos y se llama forma cuadrática isotrópica .

De manera más general, estas definiciones se aplican a cualquier espacio vectorial sobre un campo ordenado .

Forma bilineal simétrica asociada

Las formas cuadráticas corresponden uno a uno a formas bilineales simétricas sobre el mismo espacio. Una forma bilineal simétrica también se describe como definida , semidefinida , etc. de acuerdo con su forma cuadrática asociada. Una forma cuadrática Q y su forma bilineal simétrica asociada B están relacionadas por las siguientes ecuaciones:

La última fórmula surge de la expansión .

Ejemplos

Como ejemplo, consideremos la forma cuadrática

donde x = ( x 1 , x 2 ) y c 1 y c 2 son constantes. Si c 1 > 0 y c 2 > 0 , la forma cuadrática Q es positiva-definida, por lo que Q se evalúa como un número positivo siempre que Si una de las constantes es positiva y la otra es 0, entonces Q es semidefinida positiva y siempre se evalúa como 0 o un número positivo. Si c 1 > 0 y c 2 <0 , o viceversa, entonces Q es indefinido y algunas veces se evalúa como un número positivo y otras veces como un número negativo. Si c 1 <0 y c 2 <0 , la forma cuadrática es negativa-definida y siempre se evalúa como un número negativo siempre que Y si una de las constantes es negativa y la otra es 0, entonces Q es semidefinida negativa y siempre se evalúa como 0 o un número negativo.

En general, una forma cuadrática en dos variables también implicará un término de producto cruzado en x 1 x 2 :

Esta forma cuadrática es positiva-definida si y negativa-definida si y e indefinida si Es positiva o negativa semidefinida si con el signo de la semidefinidad coincidiendo con el signo de

Esta forma cuadrática bivariada aparece en el contexto de secciones cónicas centradas en el origen. Si la forma cuadrática general anterior se equipara a 0, la ecuación resultante es la de una elipse si la forma cuadrática es positiva o definida negativa, una hipérbola si es indefinida y una parábola si

El cuadrado de la norma euclidiana en el espacio n -dimensional, la medida de distancia más comúnmente utilizada, es

En dos dimensiones, esto significa que la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de las distancias al cuadrado a lo largo del eje y el eje.

Forma de matriz

Una forma cuadrática se puede escribir en términos de matrices como

donde x es cualquier vector cartesiano n × 1 en el que no todos los elementos son 0, el superíndice T denota una transposición y A es una matriz simétrica n × n . Si A es diagonal, esto es equivalente a una forma no matricial que contiene únicamente términos que involucran variables cuadradas; pero si A tiene elementos fuera de la diagonal distintos de cero, la forma no matricial también contendrá algunos términos que involucren productos de dos variables diferentes.

La definición positiva o negativa o la semi-definición, o indefinición, de esta forma cuadrática es equivalente a la misma propiedad de A , la cual puede ser verificada considerando todos los valores propios de A o verificando los signos de todos sus principales menores .

Mejoramiento

Las formas cuadráticas definidas se prestan fácilmente a problemas de optimización . Suponga que la forma cuadrática de la matriz se aumenta con términos lineales, como

donde b es un vector de constantes n × 1. Las condiciones de primer orden para un máximo o mínimo se encuentran estableciendo la derivada de la matriz en el vector cero:

dando

asumiendo que A no es singular . Si la forma cuadrática, y por tanto A , es positiva-definida, en este punto se cumplen las condiciones de segundo orden para un mínimo. Si la forma cuadrática es negativa-definida, se cumplen las condiciones de segundo orden para un máximo.

Un ejemplo importante de dicha optimización surge en la regresión múltiple , en la que se busca un vector de parámetros estimados que minimice la suma de las desviaciones cuadradas de un ajuste perfecto dentro del conjunto de datos.

Ver también

Notas

Referencias

  • Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. 106 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021 .
  • Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, p. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
  • Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 73 . Saltador. ISBN 3-540-06009-X. Zbl  0292.10016 .