Grupo nilpotente - Nilpotent group

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Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductor Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , específicamente la teoría de grupos , un grupo nilpotente G es un grupo que tiene una serie central superior que termina con G . De manera equivalente, su serie central es de longitud finita o su serie central inferior termina en {1}.

Intuitivamente, un grupo nilpotente es un grupo que es "casi abeliano ". Esta idea está motivada por el hecho de que los grupos nilpotentes se pueden resolver , y para los grupos nilpotentes finitos, dos elementos que tienen órdenes primos relativamente deben conmutar. También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son superesolubles . El matemático ruso Sergei Chernikov atribuye al concepto su funcionamiento en la década de 1930 .

Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois , así como en la clasificación de grupos. También aparecen de forma destacada en la clasificación de los grupos de Lie .

Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie (utilizando el corchete de Lie ) que incluyen nilpotente , serie central inferior y serie central superior .

Definición

La definición utiliza la idea de una serie central para un grupo. Las siguientes son definiciones equivalentes para un grupo G nilpotente :

• G tiene una serie central de longitud finita. Es decir, una serie de subgrupos normales

${\ Displaystyle \ {1 \} = G_ {0} \ triangleleft G_ {1} \ triangleleft \ dots \ triangleleft G_ {n} = G}$

donde , o de forma equivalente .${\ Displaystyle G_ {i + 1} / G_ {i} \ leq Z (G / G_ {i})}$${\ Displaystyle [G, G_ {i + 1}] \ leq G_ {i}}$

• G tiene una serie central inferior que termina en el subgrupo trivial después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales

${\ Displaystyle G = G_ {0} \ triangleright G_ {1} \ triangleright \ dots \ triangleright G_ {n} = \ {1 \}}$

donde .${\ Displaystyle G_ {i + 1} = [G_ {i}, G]}$

• G tiene una serie central superior que termina en todo el grupo después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales

${\ Displaystyle \ {1 \} = Z_ {0} \ triangleleft Z_ {1} \ triangleleft \ dots \ triangleleft Z_ {n} = G}$

donde y es el subgrupo tal que .${\ Displaystyle Z_ {1} = Z (G)}$${\ Displaystyle Z_ {i + 1}}$${\ Displaystyle Z_ {i + 1} / Z_ {i} = Z (G / Z_ {i})}$

Para un grupo nilpotente, el n más pequeño, tal que G tiene una serie central de longitud n, se denomina clase de nilpotencia de G ; y se dice que G es nilpotente de clase n . (Por definición, la longitud es n si hay diferentes subgrupos en la serie, incluido el subgrupo trivial y el grupo completo). ${\ Displaystyle n + 1}$

De manera equivalente, la clase de nula potencia de G es igual a la longitud de la serie central inferior o de la serie central superior. Si un grupo tiene clase nilpotencia como máximo n , entonces a veces se llama una NIL- n grupo .

Se deduce inmediatamente de cualquiera de las formas anteriores de la definición de nilpotencia, que el grupo trivial es el grupo único de nilpotencia clase  0 , y los grupos de nilpotencia clase  1 son exactamente los grupos abelianos no triviales.

Ejemplos de

• Como se señaló anteriormente, cada grupo abeliano es nilpotente.
• Para un ejemplo pequeño no abeliano, considere el grupo de cuaterniones Q ₈ , que es un grupo p no abeliano más pequeño. Tiene el centro {1, −1} de orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q ₈ ; por lo que es nilpotente de clase 2.
• El producto directo de dos grupos nilpotentes es nilpotente.
• Todos los grupos p finitos son de hecho nilpotentes ( prueba ). La clase máxima de un grupo de orden p ⁿ es n (por ejemplo, cualquier grupo de orden 2 es nilpotente de clase 1). Los 2 grupos de clase máxima son los grupos de cuaterniones generalizados , los grupos diedros y los grupos semidiédricos .
• Además, cada grupo nilpotente finito es el producto directo de los p -grupos.
• El grupo multiplicativo de matrices triangulares unitarias superiores n x n sobre cualquier campo F es un grupo nilpotente de nilpotencia clase n - 1. En particular, tomando n = 3 se obtiene el grupo de Heisenberg H , un ejemplo de un grupo nilpotente infinito no abeliano. Tiene clase nilpotencia 2 con la serie central 1, Z ( H ), H .
• El grupo multiplicativo de matrices n x n triangulares superiores invertibles sobre un campo F no es en general nilpotente, pero tiene solución .
• Cualquier grupo nonabelian G tal que G / Z ( G ) es abeliano tiene clase nilpotencia 2, con la serie de centrales {1}, Z ( G ), G .

Explicación del término

Los grupos nilpotentes se denominan así porque la "acción adjunta" de cualquier elemento es nilpotente , lo que significa que para un grupo nilpotente de grado nilpotencia y un elemento , la función definida por (donde es el conmutador de y ) es nilpotente en el sentido de que el th iteración de la función es trivial: para todos en . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} \ colon G \ to G}$${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} (x): = [g, x]}$${\ Displaystyle [g, x] = g ^ {- 1} x ^ {- 1} gx}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ left (\ operatorname {ad} _ {g} \ right) ^ {n} (x) = e}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle G}$

Esto no es una característica que define a los grupos nilpotentes: grupos para los que es nilpotent de grado (en el sentido anterior) son llamados - grupos Engel , y no es necesario nilpotent en general. Se demuestra que son nilpotentes si tienen un orden finito , y se conjetura que son nilpotentes siempre que se generen de manera finita . ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} _ {g}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$

Un grupo abeliano es precisamente aquel para el que la acción adjunta no es solo nilpotente sino trivial (un grupo 1-Engel).

Propiedades

Dado que cada grupo de factores sucesivo Z _{i +1} / Z _i en la serie central superior es abeliano, y la serie es finita, cada grupo nilpotente es un grupo solucionable con una estructura relativamente simple.

Cada subgrupo de un grupo nilpotente de clase n es nilpotente de clase como mucho n ; además, si f es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase n , entonces la imagen de f es nilpotente de clase como mucho n .

Las siguientes declaraciones son equivalentes para grupos finitos, revelando algunas propiedades útiles de nilpotencia:

• (a) G es un grupo nilpotente.
• (b) Si H es un subgrupo apropiado de G , entonces H es un subgrupo normal apropiado de N _G ( H ) (el normalizador de H en G ). Esto se denomina propiedad del normalizador y puede expresarse simplemente como "crecen los normalizadores".
• (c) Cada subgrupo de Sylow de G es normal.
• (d) G es el producto directo de sus subgrupos Sylow .
• (e) Si d divide el orden de G , entonces G tiene un subgrupo normal de orden d .

Prueba: (a) → (b): Por inducción en | G |. Si G es abeliano, entonces para cualquier H , N _G ( H ) = G . Si no, si Z ( G ) no está contenido en H , entonces h _Z H _Z ^-1 h ^-1 = h ' H' h ^-1 = H , por lo H · Z ( G ) normalizadores H . Si Z ( G ) está contenido en H , entonces H / Z ( G ) está contenido en G / Z ( G ). Tenga en cuenta que G / Z ( G ) es un grupo nilpotente. Por lo tanto, existe un subgrupo de G / Z ( G ) cuyos normalizadores H / Z ( G ) y H / Z ( G ) son un subgrupo adecuado del mismo. Por lo tanto, este subgrupo pullback al subgrupo en G y normaliza H . (Esta prueba es el mismo argumento que para los p -grupos; el único hecho que necesitábamos era que si G es nilpotente, entonces también lo es G / Z ( G ), por lo que se omiten los detalles).

(b) → (c): Sean p ₁ , p ₂ , ..., p _s los primos distintos que dividen su orden y sean P _i en Syl _{p i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Sea P = P _i para algún i y sea N = N _G ( P ). Desde P es un subgrupo normal de N , P es característico en N . Dado que P char N y N es un subgrupo normal de N _G ( N ), obtenemos que P es un subgrupo normal de N _G ( N ). Este medio de N _G ( N ) es un subgrupo de N y por lo tanto N _G ( N ) = N . Por (b), por lo tanto, debemos tener N = G , lo que da (c).

(c) → (d): Sean p ₁ , p ₂ , ..., p _s los primos distintos que dividen su orden y sean P _i en Syl _{p i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Para cualquier t , 1≤ t ≤ s mostramos inductivamente que P ₁ P ₂ ... P _t es isomorfo a P ₁ × P ₂ × ... × P _t . Nota primero que cada P _i es normal en G de modo P ₁ P ₂ ... P _t es un subgrupo de G . Sea H el producto P ₁ P ₂ ... P _t-1 y sea K = P _t , entonces por inducción H es isomorfo a P ₁ × P ₂ × ... × P _t-1 . En particular, | H | = | P ₁ | · | P ₂ | · ... · | P _t-1 |. Desde | K | = | P _t |, los órdenes de H y K son relativamente primos. El teorema de Lagrange implica que la intersección de H y K es igual a 1. Por definición, P ₁ P ₂ ... P _t = HK , por lo tanto, HK es isomorfo a H × K que es igual a P ₁ × P ₂ × ... × P _t . Esto completa la inducción. Ahora tome t = s para obtener (d).

(d) → (e): Observe que un grupo P de orden p ^k tiene un subgrupo normal de orden p ^m para todo 1≤ m ≤ k . Dado que G es un producto directo de sus subgrupos de Sylow, y la normalidad se conserva en el producto directo de los grupos, G tiene un subgrupo normal de orden d para cada divisor d de | G |.

(e) → (a): Para cualquier primo p dividiendo | G |, el Sylow p -subgroup es normal. Así podemos aplicar (c) (puesto que ya probamos (c) → (e)).

El enunciado (d) puede extenderse a grupos infinitos: si G es un grupo nilpotente, entonces cada subgrupo de Sylow G _p de G es normal, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en G (ver subgrupo de torsión ).

Muchas propiedades de los grupos nilpotentes son compartidas por grupos hipercentrales .

Notas

Referencias

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