Grupo electrógeno de un grupo - Generating set of a group

Las quintas raíces de la unidad en el plano complejo forman un grupo bajo multiplicación. Cada elemento no identitario genera el grupo.

En álgebra abstracta , un conjunto generador de un grupo es un subconjunto del conjunto de grupos de modo que cada elemento del grupo puede expresarse como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversos .

En otras palabras, si S es un subconjunto de un grupo G , entonces ⟨ S ⟩, el subgrupo generado por S , es el más pequeño subgrupo de G que contiene todos los elementos de S , que es igual a la intersección más de todos los subgrupos que contienen los elementos de S ; equivalentemente, ⟨ S ⟩ es el subgrupo de todos los elementos de G que se pueden expresar como el producto finito de elementos en S y sus inversos. (Tenga en cuenta que las inversas solo son necesarias si el grupo es infinito; en un grupo finito, la inversa de un elemento se puede expresar como una potencia de ese elemento).

Si G = ⟨ S ⟩, entonces se dice que S genera G , y los elementos de S llamados generadores o generadores de grupo . Si S es el conjunto vacío, entonces ⟨ S ⟩ es el grupo trivial { e }, ya que consideramos que el vacío producto a ser la identidad.

Cuando sólo hay un único elemento x en S , ⟨ S ⟩ se escribe generalmente como ⟨ x ⟩. En este caso, ⟨ x ⟩ es el subgrupo cíclico de las potencias de x , un grupo cíclico , y nos dicen que este grupo es generado por x . Equivalente a decir un elemento x genera un grupo está diciendo que ⟨ x ⟩ es igual a todo el grupo G . Para grupos finitos , también equivale a decir que x tiene orden | G |.

Si G es un grupo topológico entonces un subconjunto S de G se denomina un conjunto de generadores topológicos si ⟨ S ⟩ es denso en G , es decir, el cierre de ⟨ S ⟩ es todo el grupo G .

Grupo finamente generado

Artículo principal: grupo generado de forma finita

Si S es finito, a continuación, un grupo G  = ⟨ S ⟩ se llama finitamente generado . La estructura de los grupos abelianos generados finitamente en particular se describe fácilmente. Muchos teoremas que son verdaderos para grupos generados finitamente fallan para grupos en general. Se ha demostrado que si un grupo finito es generado por un subconjunto S, entonces cada elemento del grupo puede expresarse como una palabra del alfabeto S de longitud menor o igual que el orden del grupo.

Cada grupo finito es de generación finita desde ⟨ G ⟩ =  G . Los números enteros debajo de la suma son un ejemplo de un grupo infinito que se genera finitamente tanto por 1 como por -1, pero el grupo de racionales debajo de la suma no se puede generar finitamente. Ningún grupo incontable se puede generar de forma finita. Por ejemplo, el grupo de números reales bajo la suma, ( R , +).

Diferentes subconjuntos del mismo grupo pueden generar subconjuntos. Por ejemplo, si p y q son números enteros con gcd ( p ,  q ) = 1 , entonces { p ,  q } también genera el grupo de números enteros bajo la adición por la identidad de Bézout .

Si bien es cierto que cada cociente de un grupo generado finitamente se genera finitamente (las imágenes de los generadores en el cociente dan un conjunto generador finito), no es necesario que un subgrupo de un grupo generado finitamente se genere finitamente. Por ejemplo, sea G sea el grupo libre en dos generadores, x y y (que está claramente finitamente generado, ya que G = ⟨{ x , y }⟩), y dejar que S sea el subconjunto que consta de todos los elementos de G de la forma y n xy - n para n un número natural . ⟨ S ⟩ es isomorfo al grupo libre de infinitamente contables generadores, y por lo tanto no puede ser de tipo finito. Sin embargo, cada subgrupo de un grupo abeliano generado de forma finita se genera en sí mismo de forma finita. De hecho, se puede decir más: la clase de todos los grupos generados finitamente está cerrada bajo extensiones . Para ver esto, tome un grupo electrógeno para el subgrupo y cociente normal (generado finitamente) . Luego, los generadores del subgrupo normal, junto con las imágenes previas de los generadores del cociente, generan el grupo.

Grupo libre

Artículo principal: Grupo libre

El grupo más general generado por un conjunto S es el grupo generado libremente por S . Cada grupo generado por S es isomorfo a un cociente de este grupo, una característica que se utiliza en la expresión de la presentación de un grupo .

Subgrupo Frattini

Un tema complementario interesante es el de los no generadores . Un elemento x del grupo G es un no-generador si cada conjunto S que contiene x que genera G , todavía genera G cuando x se retira de S . En los enteros con suma, el único no generador es 0. El conjunto de todos los no generadores forma un subgrupo de G , el subgrupo Frattini .

Ejemplos de

El grupo de unidades U ( Z 9 ) es el grupo de todos los números enteros primos relativos a 9 en el modo de multiplicación 9 (U 9  = {1, 2, 4, 5, 7, 8} ). Toda la aritmética aquí se hace módulo 9. Siete no es un generador de U ( Z 9 ), ya que

mientras que 2 es, ya que:

Por otro lado, para n > 2 el grupo simétrico de grado n no es cíclico, por lo que no lo genera ningún elemento. Sin embargo, es generado por las dos permutaciones (1 2) y (1 2 3 ...  n ) . Por ejemplo, para S 3 tenemos (ver permutación para una explicación de la notación):

e = (1 2) (1 2)
(1 2) = (1 2)
(1 3) = (1 2) (1 2 3)
(2 3) = (1 2 3) (1 2)
(1 2 3) = (1 2 3)
(1 3 2) = (1 2) (1 2 3) (1 2)

Los grupos infinitos también pueden tener grupos electrógenos finitos. El grupo aditivo de números enteros tiene 1 como grupo electrógeno. El elemento 2 no es un grupo electrógeno, ya que faltarán los números impares. El subconjunto de dos elementos {3, 5} es un conjunto generador, ya que (−5) + 3 + 3 = 1 (de hecho, cualquier par de números coprimos lo es, como consecuencia de la identidad de Bézout ).

El grupo diédrico de orden n se genera por el conjunto { r , s } , donde r representa rotación por π / n y s es cualquier reflexión sobre una línea de simetría.

El grupo cíclico de orden n , y la raíz n- ésima de la unidad son todos generados por un solo elemento (de hecho, estos grupos son isomorfos entre sí).

Una presentación de un grupo se define como un conjunto de generadores y una colección de relaciones entre ellos, por lo que cualquiera de los ejemplos enumerados en esa página contiene ejemplos de conjuntos generadores.

Semigrupos y monoides

Si G es un semigrupo o una monoid , todavía se puede utilizar la noción de un conjunto de generación de S de G . S es un semigrupo / grupo electrógeno monoid de G si G es la más pequeña semigrupo / monoide que contiene S .

Las definiciones de conjunto generador de un grupo que utiliza sumas finitas, dadas anteriormente, deben modificarse ligeramente cuando se trata de semigrupos o monoides. De hecho, esta definición ya no debería utilizar la noción de operación inversa. El conjunto S se dice que es un conjunto de generación de semigrupo de G si cada elemento de G es una suma finita de elementos de S . Del mismo modo, un conjunto S se dice que es un conjunto de generación de monoid de G si cada elemento no nulo de G es una suma finita de elementos de S .

Por ejemplo, {1} es un generador de monoide del conjunto de números naturales no negativos . El conjunto {1} también es un generador de semigrupo de los números naturales positivos . Sin embargo, el entero 0 no se puede expresar como una suma (no vacía) de unos, por lo que {1} no es un generador de semigrupo de los números naturales no negativos.

De manera similar, mientras que {1} es un generador de grupo del conjunto de enteros , {1} no es un generador de monoide del conjunto de enteros. De hecho, el número entero -1 no se puede expresar como una suma finita de unos.

Ver también

Notas

  1. ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley. pag. 25. ISBN 9780471452348. OCLC  248917264 .
  2. ^ Dummit y Foote 2004 , p. 54
  3. ^ Dummit y Foote 2004 , p. 26

Referencias

enlaces externos