Raíz de unidad - Root of unity

Las quintas raíces de la unidad (puntos azules) en el plano complejo

En matemáticas , una raíz de unidad , a veces llamada número de Moivre , es cualquier número complejo que produce 1 cuando se eleva a alguna potencia entera positiva n . Las raíces de la unidad se utilizan en muchas ramas de las matemáticas y son especialmente importantes en la teoría de números , la teoría de caracteres grupales y la transformada discreta de Fourier .

Las raíces de la unidad se pueden definir en cualquier campo . Si la característica del campo es cero, las raíces son números complejos que también son enteros algebraicos . Para los campos con una característica positiva, las raíces pertenecen a un campo finito y, a la inversa, todo elemento distinto de cero de un campo finito es una raíz de unidad. Cualquier cuerpo algebraicamente cerrado contiene exactamente n n th raíces de la unidad, excepto cuando n es un múltiplo de la (positivo) característica del cuerpo.

Definición general

Representación geométrica de la segunda a la sexta raíz de un número complejo general en forma polar. Para la raíz n-ésima de la unidad, establezca r  = 1 y φ  = 0. La raíz principal está en negro.

Un n º raíz de la unidad , donde n es un entero positivo, es un número z satisface la ecuación

A menos que se especifique lo contrario, las raíces de la unidad pueden tomarse como números complejos (incluido el número 1 y el número -1 si n es par, que son complejos con una parte imaginaria cero) y, en este caso, las raíces n. de la unidad son

Sin embargo, la ecuación de definición de raíces de la unidad es significativo sobre cualquier campo (e incluso a través de cualquier anillo ) F , y esto permite considerar raíces de la unidad en F . Cualquiera que sea el campo F , las raíces de la unidad en F son números complejos, si la característica de F es 0, o, de lo contrario, pertenecen a un campo finito . A la inversa, todo elemento distinto de cero en un campo finito es una raíz de unidad en ese campo. Ver la raíz de la unidad de módulo n y campo finito para más detalles.

Un n º raíz de la unidad se dice que es primitivo si no es unamésima raíz de la unidad para unammás pequeña, es decir, si

Si n es un número primo , todas las raíces n -ésimas de la unidad, excepto 1, son primitivas.

En la fórmula anterior en términos de funciones exponenciales y trigonométricas, la primitiva n th raíces de la unidad son aquellas para las que k y n son números primos entre sí .

Las secciones posteriores de este artículo cumplirán con complejas raíces de unidad. Para el caso de raíces de unidad en campos de característica distinta de cero, consulte Campo finito § Raíces de unidad . Para el caso de raíces de unidad en anillos de enteros modulares , consulte Raíz de unidad módulo n .

Propiedades elementales

Cada raíz n -ésima de la unidad z es una raíz primitiva a -ésima de la unidad para algún an , que es el entero positivo más pequeño tal que z a = 1 .

Cualquier potencia entera de un n º raíz de la unidad es también un n º raíz de la unidad, como

Esto también es cierto para exponentes negativos. En particular, el recíproco de un n º raíz de la unidad es su complejo conjugado , y es también un n º raíz de la unidad:

Si z es un n º raíz de la unidad y unb (mod n ) a continuación, z un = z b . De hecho, por la definición de congruencia , a = b + kn para algún entero k , y

Por lo tanto, dada una potencia z a de z , se tiene z a = z r , donde 0 ≤ r < n es el resto de la división euclidiana de a por n .

Sea z una raíz n- ésima primitiva de la unidad. Entonces las potencias z , z 2 , ...,  z n −1 , z n = z 0 = 1 son la raíz n -ésima de la unidad y son todas distintas. (Si z a = z b donde 1 ≤ a < bn , entonces z b - a = 1 , lo que implicaría que z no sería primitivo.) Esto implica que z , z 2 , ...,  z n - 1 , z n = z 0 = 1 son todas las raíces n -ésimas de la unidad, ya que una ecuación polinomial de n -ésimo grado tiene como máximo n soluciones distintas.

De lo anterior, se deduce que, si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, entonces si y solo si Si z no es primitivo, entonces implica que lo contrario puede ser falso, como se muestra en el siguiente ejemplo. Si n = 4 , una raíz n- ésima no primitiva de la unidad es z = –1 , y uno tiene , aunque

Sea z una raíz n- ésima primitiva de la unidad. Una potencia w = z k de z es una primitiva a- ésima raíz de la unidad para

donde es el máximo común divisor de n y k . Esto resulta del hecho de que ka es el menor múltiplo de k que también es un múltiplo de n . En otras palabras, ka es el mínimo común múltiplo de k y n . Por lo tanto

Por lo tanto, si k y n son primos entre sí , z k es también una primitiva n º raíz de la unidad, y por lo tanto hay φ ( n ) (donde φ es función totient de Euler ) distinta primitiva n th raíces de la unidad. (Esto implica que si n es un número primo, todas las raíces excepto +1 son primitivas).

En otras palabras, si R ( n ) es el conjunto de todas las raíces n -ésimas de la unidad y P ( n ) es el conjunto de las primitivas, R ( n ) es una unión disjunta de P ( n ) :

donde la notación significa que d pasa por todos los divisores de n , incluidos 1 y n .

Dado que la cardinalidad de R ( n ) es n , y la de P ( n ) es φ ( n ) , esto demuestra la fórmula clásica

Propiedades de grupo

Grupo de todas las raíces de la unidad

El producto y el inverso multiplicativo de dos raíces de unidad también son raíces de unidad. De hecho, si x m = 1 y y n = 1 , entonces ( x -1 ) m = 1 , y ( xy ) k = 1 , donde k es el mínimo común múltiplo de m y n .

Por lo tanto, las raíces de la unidad forman un grupo abeliano bajo multiplicación. Este grupo es el subgrupo de torsión del grupo circular .

Grupo de n th raíces de la unidad

El producto y el inverso multiplicativo de dos n th raíces de la unidad son también n th raíces de la unidad. Por lo tanto, las raíces n -ésimas de la unidad forman un grupo bajo multiplicación.

Dada una raíz n- ésima primitiva de unidad ω , las otras raíces n -ésimas son potencias de ω . Esto significa que el grupo de las raíces n -ésimas de la unidad es un grupo cíclico . Vale la pena señalar que el término de grupo cíclico se originó por el hecho de que este grupo es un subgrupo del grupo del círculo .

Grupo de Galois de las raíces primitivas n -ésimas de la unidad

Sea la extensión de campo de los números racionales generados por una raíz n- ésima primitiva de la unidad ω . Como cada n º raíz de la unidad es una potencia de ω , el campo contiene toda n º raíces de la unidad, y es una extensión de Galois de

Si k es un número entero, ω k es una primitiva n º raíz de la unidad si y sólo si k y n son primos entre sí . En este caso, el mapa

induce un automorfismo de , que mapea cada n º raíz de la unidad a su k ésima potencia. Todo automorfismo de se obtiene de esta manera, y estos automorfismos forman el grupo de Galois sobre el campo de los racionales.

Las reglas de exponenciación implican que la composición de dos de estos automorfismos se obtiene multiplicando los exponentes. De ello se deduce que el mapa

define un isomorfismo de grupo entre las unidades del anillo de números enteros módulo ny el grupo de Galois de

Esto muestra que este grupo de Galois es abeliano y, por tanto, implica que las raíces primitivas de la unidad pueden expresarse en términos de radicales.

Expresión trigonométrica

Las terceras raíces de la unidad
Gráfica de z 3 - 1 , en la que un cero está representado por el color negro. Consulte Coloreado de dominios para ver la interpretación.
Gráfica de z 5 - 1 , en la que un cero está representado por el color negro.

La fórmula de De Moivre , que es válida para todos los números reales xy enteros n , es

Configuración x = /norteda una raíz n- ésima primitiva de la unidad, uno obtiene

pero

para k = 1, 2,…, n - 1 . En otras palabras,

es una raíz n- ésima primitiva de la unidad.

Esta fórmula muestra que en el plano complejo las raíces n -ésimas de la unidad están en los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en el círculo unitario , con un vértice en 1. (Ver las gráficas para n = 3 y n = 5 en a la derecha.) Este hecho geométrico explica el término "ciclotómico" en frases como campo ciclotómico y polinomio ciclotómico ; proviene de las raíces griegas " cyclo " (círculo) más " tomos " (cortar, dividir).

Fórmula de Euler

que es válido para todo x real , se puede usar para poner la fórmula de la raíz n- ésima de la unidad en la forma

De la discusión en la sección anterior se deduce que esta es una raíz n -ésima primitiva si y solo si la fracciónk/nortees en los términos más simples, es decir, que k y n son primos entre sí.

Expresión algebraica

Las raíces n -ésimas de la unidad son, por definición, las raíces del polinomio x n - 1 y, por lo tanto, son números algebraicos . Como este polinomio no es irreducible (excepto para n = 1 ), las raíces primitivas n -ésimas de la unidad son raíces de un polinomio irreducible de menor grado, llamado polinomio ciclotómico , y a menudo denotado Φ n . El grado de Φ n viene dado por la función totient de Euler , que cuenta (entre otras cosas) el número de raíces primitivas n -ésimas de unidad. Las raíces de Φ n son exactamente las n- ésimas raíces primitivas de la unidad.

La teoría de Galois puede usarse para mostrar que los polinomios ciclotómicos pueden resolverse convenientemente en términos de radicales. (La forma trivial no es conveniente, porque contiene raíces no primitivas, como 1, que no son raíces del polinomio ciclotómico, y porque no da las partes real e imaginaria por separado). Esto significa que, para cada positivo entero n , existe una expresión construida a partir de números enteros mediante extracciones de raíces, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones (nada más), de modo que las raíces primitivas n -ésimas de la unidad son exactamente el conjunto de valores que se pueden obtener eligiendo valores para las extracciones de raíz ( k valores posibles para una k- ésima raíz). (Para obtener más detalles, consulte § Campos ciclotómicos , a continuación).

Gauss demostró que una primitiva n º raíz de la unidad se puede expresar utilizando solamente cuadrado raíces , suma, resta, multiplicación y división si y sólo si es posible construir con compás y una regla la normal n -gon . Este es el caso si y solo si n es una potencia de dos o el producto de una potencia de dos y números primos de Fermat que son todos diferentes.

Si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, lo mismo es cierto para 1 / z , y es el doble de la parte real de z . En otras palabras, Φ n es un polinomio recíproco , el polinomio que tiene r como raíz puede deducirse de Φ n mediante la manipulación estándar de polinomios recíprocos, y la raíz n- ésima primitiva de la unidad puede deducirse de las raíces de resolviendo la ecuación cuadrática Es decir, la parte real de la raíz primitiva es y su parte imaginaria es

El polinomio es un polinomio irreducible cuyas raíces son todas reales. Su grado es una potencia de dos, si y solo si n es un producto de una potencia de dos por un producto (posiblemente vacío) de primos de Fermat distintos, y el n -gon regular es construible con compás y regla. De lo contrario, se puede resolver en radicales, pero uno está en el casus irreducibilis , es decir, toda expresión de las raíces en términos de radicales implica radicales no reales .

Expresiones explícitas en grados bajos

  • Para n = 1 , el polinomio ciclotómico es Φ 1 ( x ) = x - 1 Por lo tanto, la única primera raíz primitiva de la unidad es 1, que es una raíz n- ésima no primitiva de la unidad para todo n mayor que 1.
  • Como Φ 2 ( x ) = x + 1 , la única segunda raíz primitiva (cuadrada) de la unidad es –1, que también es una raíz n- ésima no primitiva de la unidad para todo n par > 2 . Con el caso anterior, esto completa la lista de raíces reales de unidad.
  • Como Φ 3 ( x ) = x 2 + x + 1 , la tercera raíz primitiva (cúbica) de la unidad, que son las raíces de este polinomio cuadrático , son
  • Como Φ 4 ( x ) = x 2 + 1 , las dos cuartas raíces primitivas de la unidad son i y - i .
  • Como Φ 5 ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 , las cuatro quintas raíces primitivas de la unidad son las raíces de este polinomio cuártico , que puede resolverse explícitamente en términos de radicales, dando las raíces
donde puede tomar los dos valores 1 y –1 (el mismo valor en las dos ocurrencias).
  • Como Φ 6 ( x ) = x 2 - x + 1 , hay dos sextas raíces primitivas de la unidad, que son las negativas (y también las raíces cuadradas) de las dos raíces cúbicas primitivas:
  • Como 7 no es un número primo de Fermat, las séptimas raíces de la unidad son las primeras que requieren raíces cúbicas . Hay 6 séptimas raíces primitivas de unidad, que son conjugadas complejas por pares . La suma de una raíz y su conjugado es el doble de su parte real. Estas tres sumas son las tres raíces reales del polinomio cúbico y las séptimas raíces primitivas de la unidad son
donde r pasa por encima de las raíces del polinomio anterior. Como para todos los polinomios cúbicos, estas raíces se pueden expresar en términos de raíces cuadradas y cúbicas. Sin embargo, como estas tres raíces son todas reales, esto es casus irreducibilis , y cualquier expresión de este tipo implica raíces cúbicas no reales.
  • Como Φ 8 ( x ) = x 4 + 1 , las cuatro octavas raíces primitivas de la unidad son las raíces cuadradas de las cuartas raíces primitivas, ± i . Son asi

Periodicidad

Si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, entonces la secuencia de potencias

…,  Z −1 ,  z 0 ,  z 1 ,…

es n -periódica (porque z j  +  n = z jz n = z j ⋅1 = z j para todos los valores de j ), y las n secuencias de potencias

s k :…,  z k ⋅ (−1) ,  z k ⋅0 ,  z k ⋅1 ,…

para k = 1,…,  n son todos n -periódicos (porque z k ⋅ ( j  +  n ) = z kj ). Además, el conjunto { s 1 ,…,  s n } de estas secuencias es una base del espacio lineal de todas las n- secuencias periódicas. Esto significa que cualquier secuencia n periódica de números complejos

…,  X −1  ,  x 0  ,  x 1 ,…

se puede expresar como una combinación lineal de potencias de una raíz n- ésima primitiva de unidad:

para algunos números complejos X 1 ,…,  X n y todo entero j .

Esta es una forma de análisis de Fourier . Si j es una variable de tiempo (discreta), entonces k es una frecuencia y X k es una amplitud compleja .

Elegir por la raíz n- ésima primitiva de la unidad

permite que x j se exprese como una combinación lineal de cos y sin :

Esta es una transformada de Fourier discreta .

Suma

Sea SR ( n ) la suma de todas las raíces n -ésimas de la unidad, primitivas o no. Luego

Ésta es una consecuencia inmediata de las fórmulas de Vieta . De hecho, siendo las raíces n -ésimas de la unidad las raíces del polinomio X n - 1 , su suma es el coeficiente de grado n - 1 , que es 1 o 0 según n = 1 o n > 1 .

Alternativamente, para n = 1 no hay nada que probar. Para n > 1 existe una raíz z ≠ 1 . Dado que el conjunto S de todas las raíces n -ésimas de la unidad es un grupo, z S = S , entonces la suma satisface z SR ( n ) = SR ( n ) , de donde SR ( n ) = 0 .

Sea SP ( n ) la suma de todas las n- ésimas raíces primitivas de la unidad. Luego

donde μ ( n ) es la función de Möbius .

En la sección Propiedades elementales , se demostró que si R ( n ) es el conjunto de todas las raíces n ésimas de la unidad y P ( n ) es el conjunto de las primitivas, R ( n ) es una unión disjunta de la P ( n ) :

Esto implica

Al aplicar la fórmula de inversión de Möbius se obtiene

En esta fórmula, si d < n , entonces SR (norte/D) = 0 , y para d = n : SR (norte/D) = 1 . Por lo tanto, SP ( n ) = μ ( n ) .

Este es el caso especial c n (1) de de Ramanujan suma c n ( s ) , que se define como la suma de la s th poderes de la primitiva n th raíces de la unidad:

Ortogonalidad

De la fórmula de suma se sigue una relación de ortogonalidad : para j = 1,…,  n y j ′ = 1,…,  n

donde δ es la delta de Kronecker y z es cualquier primitiva n º raíz de la unidad.

La matriz U n  ×  n cuya ( j ,  k ) ésima entrada es

define una transformada discreta de Fourier . Calcular la transformación inversa mediante eliminación gaussiana requiere operaciones O ( n 3 ) . Sin embargo, de la ortogonalidad se deduce que U es unitario . Es decir,

y así la inversa de U es simplemente el conjugado complejo. (Este hecho fue observado por primera vez por Gauss al resolver el problema de la interpolación trigonométrica ). La aplicación directa de U o su inverso a un vector dado requiere operaciones O ( n 2 ) . Los algoritmos de transformada rápida de Fourier reducen aún más el número de operaciones a O ( n  log  n ) .

Polinomios ciclotómicos

Los ceros del polinomio

son precisamente las n- ésimas raíces de la unidad, cada una con multiplicidad 1. El n - ésimo polinomio ciclotómico se define por el hecho de que sus ceros son precisamente las n- ésimas raíces primitivas de la unidad, cada una con multiplicidad 1.

donde z 1 ,  z 2 ,  z 3 ,…, z φ ( n ) son las raíces primitivas n -ésimas de la unidad, y φ ( n ) es la función totiente de Euler . El polinomio Φ n ( z ) tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre los números racionales (es decir, no se puede escribir como el producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales). El caso del primo n , que es más fácil que la afirmación general, se sigue aplicando el criterio de Eisenstein al polinomio

y expandirse mediante el teorema del binomio.

Cada raíz n -ésima de la unidad es una raíz d- ésima primitiva de la unidad para exactamente un divisor positivo d de n . Esto implica que

Esta fórmula representa la factorización del polinomio z n - 1 en factores irreducibles.

Al aplicar la inversión de Möbius a la fórmula se obtiene

donde μ es la función de Möbius . Entonces, los primeros polinomios ciclotómicos son

Φ 1 ( z ) = z - 1
Φ 2 ( z ) = ( z 2 - 1) ⋅ ( z - 1) -1 = z + 1
Φ 3 ( z ) = ( z 3 - 1) ⋅ ( z - 1) −1 = z 2 + z + 1
Φ 4 ( z ) = ( z 4 - 1) ⋅ ( z 2 - 1) −1 = z 2 + 1
Φ 5 ( z ) = ( z 5 - 1) ⋅ ( z - 1) −1 = z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
Φ 6 ( z ) = ( z 6 - 1) ⋅ ( z 3 - 1) −1 ⋅ ( z 2 - 1) −1 ⋅ ( z - 1) = z 2 - z + 1
Φ 7 ( z ) = ( z 7 - 1) ⋅ ( z - 1) −1 = z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1
Φ 8 ( z ) = ( z 8 - 1) ⋅ ( z 4 - 1) −1 = z 4 + 1

Si p es un número primo , entonces todas las raíces p -ésimas de la unidad excepto 1 son raíces p- ésimas primitivas , y tenemos

Sustituyendo z cualquier entero positivo ≥ 2 , esta suma se convierte en una repunidad base z . Por tanto, una condición necesaria (pero no suficiente) para que un repunit sea primo es que su longitud sea primo.

Tenga en cuenta que, contrariamente a las primeras apariencias, no todos los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos son 0, 1 o -1. La primera excepción es Φ 105 . No es de extrañar que se tarde tanto en obtener un ejemplo, porque el comportamiento de los coeficientes depende no tanto de n como de cuántos factores primos impares aparecen en n . Más precisamente, se puede demostrar que si n tiene 1 o 2 factores primos impares (por ejemplo, n = 150 ), entonces el n -ésimo polinomio ciclotómico solo tiene coeficientes 0, 1 o -1. Por lo tanto, el primer n concebible para el que podría haber un coeficiente además de 0, 1 o -1 es un producto de los tres primos impares más pequeños, y eso es 3⋅5⋅7 = 105 . Esto por sí solo no prueba que el polinomio 105 tenga otro coeficiente, pero sí muestra que es el primero que incluso tiene la posibilidad de funcionar (y luego un cálculo de los coeficientes muestra que sí). Un teorema de Schur dice que hay polinomios ciclotómicos con coeficientes arbitrariamente grandes en valor absoluto. En particular, si donde son primos impares y t es impar, entonces 1 - t ocurre como un coeficiente en el n -ésimo polinomio ciclotómico.

Se conocen muchas restricciones sobre los valores que los polinomios ciclotómicos pueden asumir en valores enteros. Por ejemplo, si p es primo, entonces d  ∣ Φ p ( d ) si y solo d ≡ 1 (mod p ) .

Los polinomios ciclotómicos se pueden resolver en radicales , ya que las raíces de la unidad son radicales en sí mismas. Además, existen expresiones radicales más informativas para las raíces n -ésimas de la unidad con la propiedad adicional de que cada valor de la expresión obtenido al elegir valores de los radicales (por ejemplo, signos de raíces cuadradas) es una raíz n- ésima primitiva de la unidad. Esto ya lo demostró Gauss en 1797. Existen algoritmos eficientes para calcular tales expresiones.

Grupos cíclicos

Las raíces n -ésimas de la unidad forman bajo la multiplicación un grupo cíclico de orden n , y de hecho estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos del grupo multiplicativo del campo de números complejos. Un generador de este grupo cíclico es una raíz n- ésima primitiva de la unidad.

Las raíces n -ésimas de la unidad forman una representación irreductible de cualquier grupo cíclico de orden n . La relación de ortogonalidad también se deriva de los principios de la teoría de grupos como se describe en el grupo de caracteres .

Las raíces de la unidad aparecen como entradas de los autovectores de cualquier matriz circulante , es decir, matrices que son invariantes bajo desplazamientos cíclicos, un hecho que también se sigue de la teoría de la representación de grupos como una variante del teorema de Bloch . En particular, si se considera una matriz hermitiana circulante (por ejemplo, un laplaciano unidimensional discretizado con límites periódicos), la propiedad de ortogonalidad se sigue inmediatamente de la ortogonalidad habitual de los vectores propios de las matrices hermitianas.

Campos ciclotómicos

Al unir una raíz primitiva n -ésima de la unidad a uno se obtiene el n - ésimo campo ciclotómico Este campo contiene todas las n- ésimas raíces de la unidad y es el campo de división del n -ésimo polinomio ciclotómico sobre La extensión del campo tiene grado φ ( n ) y su Galois El grupo es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo de unidades del anillo.

Como el grupo de Galois es abeliano, esta es una extensión abeliana . Cada subcampo de un campo ciclotómico es una extensión abeliana de los racionales. De ello se deduce que cada raíz n -ésima de la unidad puede expresarse en términos de k -raíces, con varios k que no excedan de φ (n) . En estos casos, la teoría de Galois puede escribirse explícitamente en términos de períodos gaussianos : esta teoría de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss se publicó muchos años antes que Galois.

A la inversa, cada extensión abeliana de los racionales es un subcampo de un campo ciclotómico; este es el contenido de un teorema de Kronecker , generalmente llamado teorema de Kronecker-Weber sobre la base de que Weber completó la demostración.

Relación con los números enteros cuadráticos

En el plano complejo , los puntos rojos son las quintas raíces de la unidad y los puntos negros son las sumas de una quinta raíz de la unidad y su conjugado complejo.
En el plano complejo , las esquinas de los dos cuadrados son las octavas raíces de la unidad.

Para n = 1, 2 , ambas raíces de la unidad 1 y −1 son números enteros .

Para tres valores de n , las raíces de la unidad son enteros cuadráticos :

Para otros cuatro valores de n , las raíces primitivas de la unidad no son enteros cuadráticos, pero la suma de cualquier raíz de la unidad con su conjugado complejo (también una raíz n -ésima de la unidad) es un entero cuadrático.

Para n = 5, 10 , ninguna de las raíces no reales de la unidad (que satisfacen una ecuación cuártica ) es un número entero cuadrático, pero la suma z + z = 2  Re z de cada raíz con su conjugado complejo (también una quinta raíz de unidad) es un elemento del anillo Z [1 + 5/2] ( D = 5 ). Para dos pares de quintas raíces de unidad no reales, estas sumas son la proporción áurea inversa y la proporción áurea menos .

Para n = 8 , para cualquier raíz de unidad z + z es igual a 0, ± 2 o ± 2 ( D = 2 ).

Para n = 12 , para cualquier raíz de la unidad, z + z es igual a 0, ± 1, ± 2 o ± 3 ( D = 3 ).

Ver también

Notas

Referencias