Isomorfismo de grupo - Group isomorphism

En álgebra abstracta , un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se denominan isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomórficos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.

Definición y notación

Dados dos grupos y un isomorfismo de grupo de a es un homomorfismo de grupo biyectivo de a Enunciado, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función biyectiva tal que para todos y en él se sostiene que

Los dos grupos y son isomorfos si existe un isomorfismo de uno a otro. Esto está escrito:

A menudo, se pueden utilizar notaciones más breves y sencillas. Cuando las operaciones de grupo relevantes no son ambiguas, se omiten y se escribe:

A veces, incluso se puede simplemente escribir = Si tal notación es posible sin confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo igual no es muy adecuado cuando los grupos son ambos subgrupos del mismo grupo. Vea también los ejemplos.

Por el contrario, dado a un grupo un conjunto y una biyección , podemos hacer un grupo definiendo

Si = y entonces la biyección es un automorfismo ( qv ).

Intuitivamente, los teóricos de grupos ven dos grupos isomórficos de la siguiente manera: Para cada elemento de un grupo existe un elemento de tal que 'se comporta de la misma manera' que (opera con otros elementos del grupo de la misma manera que ). Por ejemplo, si genera entonces también lo hace. Esto implica en particular que y están en correspondencia biyectiva. Por tanto, la definición de isomorfismo es bastante natural.

Un isomorfismo de grupos puede definirse de manera equivalente como un morfismo invertible en la categoría de grupos , donde invertible aquí significa que tiene una inversa de dos lados.

Ejemplos de

En esta sección se enumeran algunos ejemplos notables de grupos isomorfos.

  • El grupo de todos los números reales con suma, es isomorfo al grupo de números reales positivos con multiplicación :
    a través del isomorfismo
    (ver función exponencial ).
  • El grupo de números enteros (con suma) es un subgrupo de y el grupo de factores es isomorfo al grupo de números complejos de valor absoluto 1 (con multiplicación):
  • El grupo de cuatro de Klein es isomorfo al producto directo de dos copias de (ver aritmética modular ) y, por lo tanto, se puede escribir. Otra notación es porque es un grupo diedro .
  • Generalizando esto, para todos los impares es isomorfo con el producto directo de y
  • Si es un grupo cíclico infinito , entonces es isomorfo a los números enteros (con la operación de suma). Desde un punto de vista algebraico, esto significa que el conjunto de todos los enteros (con la operación de suma) es el "único" grupo cíclico infinito.

Se puede probar que algunos grupos son isomorfos, basándose en el axioma de elección , pero la prueba no indica cómo construir un isomorfismo concreto. Ejemplos:

  • El grupo es isomorfo al grupo de todos los números complejos con suma.
  • El grupo de números complejos distintos de cero con la multiplicación como operación es isomorfo al grupo mencionado anteriormente.

Propiedades

El núcleo de un isomorfismo de a es siempre {e G } donde e G es la identidad del grupo

Si y son isomorfos, entonces es abeliano si y solo si es abeliano.

Si es un isomorfismo de a entonces para cualquiera el orden de es igual al orden de

Si y son isomorfos, entonces es un grupo localmente finito si y solo si es localmente finito.

El número de grupos distintos (hasta el isomorfismo) de orden viene dado por la secuencia A000001 en OEIS . Los primeros números son 0, 1, 1, 1 y 2, lo que significa que 4 es el orden más bajo con más de un grupo.

Grupos cíclicos

Todos los grupos cíclicos de un orden dado son isomorfos a donde denota módulo de adición

Sea un grupo cíclico y sea ​​el orden de es entonces el grupo generado por Mostraremos que

Definir

de modo que Claramente, es biyectiva. Luego
lo que prueba que

Consecuencias

De la definición, se deduce que cualquier isomorfismo mapeará el elemento de identidad de al elemento de identidad de

que mapeará inversos a inversos,
y más generalmente, los poderes a los poderes,
y que el mapa inverso también es un isomorfismo de grupo.

La relación "ser isomórfica" satisface todos los axiomas de una relación de equivalencia . Si es un isomorfismo entre dos grupos y entonces todo lo que es cierto acerca de que solo está relacionado con la estructura del grupo se puede traducir a través de una declaración ídem verdadera sobre y viceversa.

Automorfismos

Un isomorfismo de un grupo a sí mismo se denomina

automorfismo de este grupo. Por tanto, es una biyección tal que

Un automorfismo siempre mapea la identidad a sí mismo. La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra). La imagen de un elemento tiene el mismo orden que ese elemento.

La composición de dos automorfismos es nuevamente un automorfismo, y con esta operación el conjunto de todos los automorfismos de un grupo denotado por forma en sí mismo un grupo, el

grupo de automorfismos de

Para todos los grupos abelianos existe al menos el automorfismo que reemplaza los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en grupos donde todos los elementos son iguales a su inverso, este es el automorfismo trivial, por ejemplo, en el grupo de cuatro de Klein . Para ese grupo de todas las permutaciones de los tres elementos no identidad son automorfismos, por lo que el grupo de automorfismos es isomorfo a y

En para un número primo, un elemento no identitario puede ser reemplazado por cualquier otro, con los cambios correspondientes en los otros elementos. El grupo de automorfismo es isomorfo a Por ejemplo, para multiplicar todos los elementos de por 3, módulo 7, es un automorfismo de orden 6 en el grupo de automorfismo, porque mientras las potencias inferiores no dan 1. Por lo tanto este automorfismo genera Hay un automorfismo más con esta propiedad: multiplicar todos los elementos de por 5, módulo 7. Por lo tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de en ese orden o viceversa.

El grupo de automorfismos de es isomorfo a porque solo cada uno de los dos elementos 1 y 5 se generan, por lo que, aparte de la identidad, solo podemos intercambiar estos.

El grupo de automorfismos de tiene el orden 168, como se puede encontrar a continuación. Los 7 elementos que no son de identidad desempeñan el mismo papel, por lo que podemos elegir cuál desempeña el papel. Cualquiera de los 6 restantes se puede elegir para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina cuál corresponde a Para podemos elegir entre 4, que determina el resto. Por tanto, tenemos automorfismos. Corresponden a los del

plano de Fano , de los cuales los 7 puntos corresponden a los 7 elementos no identitarios. Las líneas que conectan tres puntos corresponden a la operación de grupo: en una línea significa y Ver también grupo lineal general sobre campos finitos .

Para los grupos abelianos, todos los automorfismos excepto el trivial se denominan automorfismos externos .

Los grupos no abelianos tienen un grupo de automorfismos internos no trivial y posiblemente también automorfismos externos.

Ver también

  • Biyección  : función que es uno a uno y sobre (matemáticas)

Referencias

  • Herstein, IN, Temas de Álgebra , Wiley; 2a edición (20 de junio de 1975), ISBN  0-471-01090-1 .