Cierre (topología) - Closure (topology)

En matemáticas , el cierre de un subconjunto S de puntos en un espacio topológico consta de todos los puntos en S junto con todos los puntos límite de S . El cierre de S puede equivalentemente ser definida como la unión de S y su límite , y también como la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen S . Intuitivamente, el cierre puede ser pensado como todos los puntos que se encuentren en S o "cerca" S . Un punto que está en el cierre de S es un punto de cierre de S . La noción de cierre es en muchos sentidos dual con la noción de interior .

Definiciones

Punto de cierre

Para un subconjunto de un espacio euclidiano , es un punto de cierre de si cada bola abierta centrada en contiene un punto de (este punto puede ser él mismo). ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$

Esta definición se generaliza a cualquier subconjunto de un espacio métrico Totalmente expresado, para un espacio métrico con métrica es un punto de cierre de si para cada existe algo tal que la distancia (nuevamente, está permitida). Otra forma de expresar esto es decir que es un punto de cierre de si la distancia${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle d,}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle s \ in S}$${\ Displaystyle d (x, s) <r}$${\ Displaystyle x = s}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle d (x, S): = \ inf _ {s \ in S} d (x, s) = 0.}$

Esta definición se generaliza a los espacios topológicos reemplazando "bola abierta" o "bola" por " vecindad ". Sea un subconjunto de un espacio topológico. Entonces es un punto de cierre o punto de adherencia de si cada vecindario de contiene un punto de. Tenga en cuenta que esta definición no depende de si los vecindarios deben estar abiertos. ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S.}$

Punto límite

La definición de un punto de cierre está estrechamente relacionada con la definición de un punto límite . La diferencia entre las dos definiciones es sutil pero importante, es decir, en la definición de punto límite, cada vecindad del punto en cuestión debe contener un punto del conjunto distinto de sí mismo . El conjunto de todos los puntos límite de un conjunto se denomina conjunto derivado de${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S.}$

Por tanto, cada punto límite es un punto de cierre, pero no todo punto de cierre es un punto límite. Un punto de cierre que no es un punto límite es un punto aislado . En otras palabras, un punto es un punto aislado de si es un elemento de y si hay una vecindad del cual no contiene otros puntos de otro que él mismo. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$

Para un conjunto y punto dado es un punto de cierre de si y solo si es un elemento de o es un punto límite de (o ambos). ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x,}$ ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S}$

Cierre de un set

El cierre de un subconjunto de un espacio topológico denotado por o posiblemente por (si se entiende), donde si ambos y están claros del contexto, entonces también puede ser denotado por o (además, a veces se escribe en mayúscula ) puede definirse usando cualquiera de las siguientes definiciones equivalentes: ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (X, \ tau),}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {(X, \ tau)} S}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S,}$ ${\ Displaystyle {\ overline {S}},}$${\ Displaystyle S {} ^ {-}}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Cl}}$

1. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$es el conjunto de todos los puntos de cierre de${\ Displaystyle S.}$
2. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$es el conjunto junto con todos sus puntos límite .${\ Displaystyle S}$
3. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen${\ Displaystyle S.}$
4. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ${\ Displaystyle S.}$
5. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$es la unión de y su límite${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ parcial (S).}$
6. ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$es el conjunto de todos para los que existe una red (valorada) en que converge en${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle (X, \ tau).}$

El cierre de un conjunto tiene las siguientes propiedades.

• ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$es un superconjunto cerrado de${\ Displaystyle S}$
• El set se cierra si y solo si${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S = \ operatorname {cl} S}$
• Si entonces es un subconjunto de${\ Displaystyle S \ subseteq T}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} T.}$
• Si es un conjunto cerrado, contiene si y solo si contiene${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S.}$

A veces, la segunda o tercera propiedad anterior se toma como la definición del cierre topológico, que todavía tiene sentido cuando se aplica a otros tipos de cierres (ver más abajo).

En un primer espacio contable (como un espacio métrico ), es el conjunto de todos los límites de todas las secuencias convergentes de puntos en Para un espacio topológico general, esta afirmación permanece verdadera si se reemplaza "secuencia" por " red " o " filtro ". ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} S}$${\ Displaystyle S.}$

Tenga en cuenta que estas propiedades también se satisfacen si "cierre", "superconjunto", "intersección", "contiene / contiene", "más pequeño" y "cerrado" se reemplazan por "interior", "subconjunto", "unión", "contenido en "," más grande "y" abierto ". Para obtener más información sobre este asunto, consulte el operador de cierre a continuación.

Ejemplos de

Considere una esfera en 3 dimensiones. Implícitamente hay dos regiones de interés creadas por esta esfera; la esfera misma y su interior (que se llama una bola 3 abierta). Es útil poder distinguir entre el interior de la bola 3 y la superficie, por lo que distinguimos entre la bola 3 abierta y la bola 3 cerrada: el cierre de la bola 3. El cierre de la bola 3 abierta es la bola 3 abierta más la superficie.

En espacio topológico :

• En cualquier espacio ${\ Displaystyle \ varnothing = \ operatorname {cl} \ varnothing.}$
• En cualquier espacio ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle X = \ operatorname {cl} X.}$

Dando y la topología estándar (métrica) : ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

• Si es el espacio euclidiano de números reales , entonces${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = [0,1].}$
• Si es el espacio euclidiano, entonces el cierre del conjunto de números racionales es todo el espacio Decimos que es denso en${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$
• Si es el plano complejo, entonces${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} ^ {2},}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ left (\ {z \ in \ mathbb {C}: | z |> 1 \} \ right) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | \ geq 1 \}.}$
• Si es un subconjunto finito de un espacio euclidiano, entonces (para un espacio topológico general, esta propiedad es equivalente al axioma T ₁ ).${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = S.}$

En el conjunto de números reales se pueden colocar otras topologías en lugar de la estándar.

• Si está dotado de la topología de límite inferior , entonces${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = [0,1).}$
• Si se considera la topología discreta en la que cada conjunto está cerrado (abierto), entonces${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = (0,1).}$
• Si se considera la topología trivial en la que los únicos conjuntos cerrados (abiertos) son el conjunto vacío y él mismo, entonces${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} ((0,1)) = \ mathbb {R}.}$

Estos ejemplos muestran que el cierre de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto , dado que todo conjunto es cerrado (y también abierto), todo conjunto es igual a su cierre.
• En cualquier espacio indiscreto, dado que los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y él mismo, tenemos que el cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío, y para cada subconjunto no vacío de En otras palabras, cada subconjunto no vacío de un indiscreto el espacio es denso .${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} A = X.}$

El cierre de un conjunto también depende de en qué espacio estemos llevando el cierre. Por ejemplo, si es el conjunto de los números racionales, con el habitual topología relativa inducida por el espacio euclidiano y si a continuación, es tanto cerrado y abierto en porque ni ni su complemento puede contener , lo que sería el límite inferior de , pero no puede ser en porque es irracional. Por lo tanto, no tiene un cierre bien definido debido a que los elementos de límite no están incluidos . Sin embargo, si en cambio definimos que es el conjunto de números reales y definimos el intervalo de la misma manera, entonces el cierre de ese intervalo está bien definido y sería el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {R},}$${\ Displaystyle S = \ {q \ in \ mathbb {Q}: q ^ {2}> 2, q> 0 \},}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Operador de cierre

Un operador de cierre en un conjunto es un mapeo del conjunto de poder de , en sí mismo, que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Dado un espacio topológico , el cierre topológico induce una función que se define enviando un subconjunto a donde se puede usar la notación o en su lugar. Por el contrario, si es un operador de cierre en un conjunto, entonces se obtiene un espacio topológico definiendo los conjuntos cerrados como exactamente aquellos subconjuntos que satisfacen (por lo que los complementos de estos subconjuntos forman los conjuntos abiertos de la topología). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X}: \ wp (X) \ to \ wp (X)}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S,}$${\ Displaystyle {\ overline {S}}}$${\ Displaystyle S ^ {-}}$${\ Displaystyle \ mathbb {c}}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ Displaystyle \ mathbb {c} (S) = S}$${\ Displaystyle X}$

El operador de cierre es dual para el operador interior , que se denota en el sentido de que ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X}}$${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X},}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = X \ setminus \ operatorname {int} _ {X} (X \ setminus S),}$

y también

${\ Displaystyle \ operatorname {int} _ {X} S = X \ setminus \ operatorname {cl} _ {X} (X \ setminus S).}$

Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores reemplazando conjuntos con sus complementos en${\ Displaystyle X.}$

En general, el operador de cierre no se desplaza con las intersecciones. Sin embargo, en un espacio métrico completo , se cumple el siguiente resultado:

Hechos sobre cierres

Un subconjunto está cerrada en si y sólo si , en particular: ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = S.}$

• El cierre del conjunto vacío es el conjunto vacío;
• El cierre de sí mismo es${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$
• El cierre de una intersección de conjuntos es siempre un subconjunto de (pero no necesita ser igual a) la intersección de los cierres de los conjuntos.
• En una unión de un número finito de conjuntos, el cierre de la unión y la unión de los cierres son iguales; la unión de conjuntos de ceros es el conjunto vacío, por lo que esta declaración contiene la declaración anterior sobre el cierre del conjunto vacío como un caso especial.
• El cierre de la unión de infinitos conjuntos no tiene por qué ser igual a la unión de los cierres, pero siempre es un superconjunto de la unión de los cierres.

Si y si es un subespacio de (es decir, que está dotado de la topología del subespacio que lo induce), entonces y el cierre de calculado en es igual a la intersección de y el cierre de calculado en : ${\ Displaystyle S \ subseteq T \ subseteq X}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} S \ subseteq \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} S ~ = ~ T \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S.}$

En particular, es denso en si y solo si es un subconjunto de${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S.}$

Si pero no es necesariamente un subconjunto de entonces solo ${\ Displaystyle S, T \ subseteq X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} (S \ cap T) ~ \ subseteq ~ T \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S}$

está garantizado en general, donde esta contención podría ser estricta (considérese, por ejemplo, con la topología habitual, y ) aunque si es un subconjunto abierto de, entonces se mantendrá la igualdad (sin importar la relación entre y ). En consecuencia, si hay una cubierta abierta de y si es un subconjunto, entonces: ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle T = (- \ infty, 0],}$${\ Displaystyle S = (0, \ infty)}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {T} (S \ cap T) = T \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = \ bigcup _ {U \ in {\ mathcal {U}}} \ operatorname {cl} _ {U} (U \ cap S)}$

porque para cada (donde cada está dotado de la topología subespacial inducida por ). Esta igualdad es particularmente útil cuando es una variedad y los conjuntos en la cubierta abierta son dominios de gráficos de coordenadas . En palabras, este resultado muestra que el cierre de cualquier subconjunto se puede calcular "localmente" en los conjuntos de cualquier cubierta abierta y luego unir. De esta manera, este resultado puede ser vista como el análogo del hecho bien conocido que un subconjunto está cerrada en si y sólo si se " cierra localmente en ", lo que significa que si es cualquier cubierta abierta de entonces se cierra en si, y solo si está cerrado para cada${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {U} (S \ cap U) = U \ cap \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ cap U}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {U}}.}$

Interpretación categórica

Se puede definir elegantemente el operador de cierre en términos de flechas universales, como sigue.

El conjunto de potencias de un conjunto se puede realizar como una categoría de orden parcial en la que los objetos son subconjuntos y los morfismos son mapas de inclusión siempre que sea ​​un subconjunto de Además, una topología en es una subcategoría de con functor de inclusión El conjunto de subconjuntos cerrados que contienen un El subconjunto se puede identificar con la categoría de coma. Esta categoría, también un orden parcial, tiene un objeto inicial. Por lo tanto, hay una flecha universal de a dada por la inclusión.${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle A \ to B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle I: T \ a P.}$${\ Displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle (A \ flecha hacia abajo I).}$${\ Displaystyle \ operatorname {cl} A.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle I,}$${\ Displaystyle A \ to \ operatorname {cl} A.}$

De manera similar, dado que cada conjunto cerrado que contiene se corresponde con un conjunto abierto contenido en , podemos interpretar la categoría como el conjunto de subconjuntos abiertos contenidos en con objeto terminal el interior de${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (I \ downarrow X \ setminus A)}$${\ Displaystyle A,}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {int} (A),}$${\ Displaystyle A.}$

Todas las propiedades del cierre se pueden derivar de esta definición y algunas propiedades de las categorías anteriores. Además, esta definición precisa la analogía entre el cierre topológico y otros tipos de cierres (por ejemplo cierre algebraico ), ya que todos son ejemplos de flechas universales .

Ver también

• Punto adherente  : un punto que pertenece al cierre de un subconjunto dado de un espacio topológico.
• Álgebra de cierre
• Conjunto derivado (matemáticas)
• Interior (topología)
• Punto límite  : un punto x en un espacio topológico, todos cuyos vecindarios contienen algún otro punto en un subconjunto dado que es diferente de x

Notas

Referencias

Bibliografía

• Baker, Crump W. (1991), Introducción a la topología , Wm. C. Brown Publisher, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principios de topología , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topología elemental (2ª ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología , Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topología , I , Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Fundamentos de la topología general , Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topología , Allyn y Bacon
• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Señor  1921556 . OCLC  285163112 .

enlaces externos

• "Cierre de un conjunto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]