Cierre algebraico - Algebraic closure

En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un cierre algebraico de un campo K es una extensión algebraica de K que está algebraicamente cerrado . Es uno de los muchos cierres en matemáticas.

Usando el Lema de Zorn o el más débil ultrafiltro lema , se puede demostrar que cada campo tiene una clausura algebraica , y que la clausura algebraica de un campo K es único hasta un isomorfismo que correcciones de todos los miembros de K . Debido a esta singularidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K , en lugar de una clausura algebraica de K .

La clausura algebraica de un campo K puede ser considerado como la mayor extensión algebraica de K . Para ver esto, nota que si L es cualquier extensión algebraica de K , entonces el cierre algebraica de L es también un cierre algebraica de K , y así L está contenido dentro del cierre algebraica de K . El cierre algebraica de K es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene K , porque si M es cualquier campo algebraicamente cerrado que contiene K , a continuación, los elementos de M que son algebraico sobre K forman un cierre algebraica de K .

El cierre algebraico de un campo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es numerablemente infinito si K es finito.

Ejemplos de

Existencia de un cierre algebraico y campos de división.

Sea el conjunto de todos los polinomios mónicos irreducibles en K [ x ]. Para cada uno , introduzca nuevas variables donde . Sea R el anillo polinomial sobre K generado por para todos y cada uno . Escribir

con . Sea I el ideal en R generado por . Dado que es estrictamente menor que R , lema de Zorn implica que existe un ideal maximal M en R que contiene I . El campo K 1 = R / M tiene la propiedad de que todo polinomio con coeficientes en K se divide como el producto de y, por lo tanto, tiene todas las raíces en K 1 . De la misma manera, se puede construir una extensión K 2 de K 1 , etc. La unión de todas estas extensiones es el cierre algebraico de K , porque cualquier polinomio con coeficientes en este nuevo campo tiene sus coeficientes en algún K n con n , y luego sus raíces están en K n + 1 , y por lo tanto en la unión misma.

Se puede demostrar a lo largo de las mismas líneas que para cualquier subconjunto S de K [ x ], existe un cuerpo de descomposición de S sobre K .

Cierre separable

Un cierre algebraico K alg de K contiene una extensión separable única K sep de K que contiene todas las extensiones separables (algebraicas) de K dentro de K alg . Este subextension se llama un cierre separable de K . Dado que una extensión separable de una extensión separable es de nuevo separable, no hay extensiones separables finitas de K sep , de grado> 1. Dicho esto de otra manera, K está contenido en un campo de extensión algebraico cerrado separablemente . Es único ( hasta isomorfismo).

El cierre separable es el cierre algebraico completo si y solo si K es un campo perfecto . Por ejemplo, si K es un campo de característica py si X es trascendental sobre K , es una extensión de campo algebraico no separable.

En general, el grupo de Galois absoluto de K es el grupo de Galois de K septiembre sobre K .

Ver también

Referencias