Cierre algebraico - Algebraic closure
En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un cierre algebraico de un campo K es una extensión algebraica de K que está algebraicamente cerrado . Es uno de los muchos cierres en matemáticas.
Usando el Lema de Zorn o el más débil ultrafiltro lema , se puede demostrar que cada campo tiene una clausura algebraica , y que la clausura algebraica de un campo K es único hasta un isomorfismo que correcciones de todos los miembros de K . Debido a esta singularidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K , en lugar de una clausura algebraica de K .
La clausura algebraica de un campo K puede ser considerado como la mayor extensión algebraica de K . Para ver esto, nota que si L es cualquier extensión algebraica de K , entonces el cierre algebraica de L es también un cierre algebraica de K , y así L está contenido dentro del cierre algebraica de K . El cierre algebraica de K es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene K , porque si M es cualquier campo algebraicamente cerrado que contiene K , a continuación, los elementos de M que son algebraico sobre K forman un cierre algebraica de K .
El cierre algebraico de un campo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es numerablemente infinito si K es finito.
Ejemplos de
- El teorema fundamental del álgebra establece que el cierre algebraico del campo de los números reales es el campo de los números complejos .
- El cierre algebraico del campo de los números racionales es el campo de los números algebraicos .
- Hay muchos campos contables cerrados algebraicamente dentro de los números complejos y que contienen estrictamente el campo de los números algebraicos; estos son los cierres algebraicos de extensiones trascendentales de los números racionales, por ejemplo, el cierre algebraico de Q (π).
- Para un campo finito de orden de potencia prima q , el cierre algebraico es un campo infinito numerable que contiene una copia del campo de orden q n para cada entero positivo n (y de hecho es la unión de estas copias).
Existencia de un cierre algebraico y campos de división.
Sea el conjunto de todos los polinomios mónicos irreducibles en K [ x ]. Para cada uno , introduzca nuevas variables donde . Sea R el anillo polinomial sobre K generado por para todos y cada uno . Escribir
con . Sea I el ideal en R generado por . Dado que es estrictamente menor que R , lema de Zorn implica que existe un ideal maximal M en R que contiene I . El campo K 1 = R / M tiene la propiedad de que todo polinomio con coeficientes en K se divide como el producto de y, por lo tanto, tiene todas las raíces en K 1 . De la misma manera, se puede construir una extensión K 2 de K 1 , etc. La unión de todas estas extensiones es el cierre algebraico de K , porque cualquier polinomio con coeficientes en este nuevo campo tiene sus coeficientes en algún K n con n , y luego sus raíces están en K n + 1 , y por lo tanto en la unión misma.
Se puede demostrar a lo largo de las mismas líneas que para cualquier subconjunto S de K [ x ], existe un cuerpo de descomposición de S sobre K .
Cierre separable
Un cierre algebraico K alg de K contiene una extensión separable única K sep de K que contiene todas las extensiones separables (algebraicas) de K dentro de K alg . Este subextension se llama un cierre separable de K . Dado que una extensión separable de una extensión separable es de nuevo separable, no hay extensiones separables finitas de K sep , de grado> 1. Dicho esto de otra manera, K está contenido en un campo de extensión algebraico cerrado separablemente . Es único ( hasta isomorfismo).
El cierre separable es el cierre algebraico completo si y solo si K es un campo perfecto . Por ejemplo, si K es un campo de característica py si X es trascendental sobre K , es una extensión de campo algebraico no separable.
En general, el grupo de Galois absoluto de K es el grupo de Galois de K septiembre sobre K .
Ver también
Referencias
- Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de Chicago en matemáticas (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-42451-0 . Zbl 1001.16500 .
- McCarthy, Paul J. (1991). Extensiones algebraicas de campos (Reimpresión corregida de la 2ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. Zbl 0768.12001 .