Cubierta (topología) - Cover (topology)

En matemáticas , particularmente en topología , una cubierta de un conjunto es una colección de conjuntos cuya unión se incluye como un subconjunto . Formalmente, if es una familia indexada de conjuntos, entonces es una tapadera de if ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C = \ lbrace U _ {\ alpha}: \ alpha \ in A \ rbrace}$${\ Displaystyle U _ {\ alpha},}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle X \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} U _ {\ alpha}.}$

Cobertura en topología

Las cubiertas se utilizan comúnmente en el contexto de la topología . Si el conjunto X es un espacio topológico , a continuación, una cubierta C de X es una colección de subconjuntos U _α ( α ∈ A ) de X cuya unión es todo el espacio X . En este caso decimos que C cubre X , o que los conjuntos U _alfa cubre X . Además, si Y es un subconjunto de X , entonces una cobertura de Y es una colección de subconjuntos de X cuya unión contiene Y , es decir, C es una cobertura de Y si

${\ Displaystyle Y \ subseteq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} U _ {\ alpha}.}$

Deje que C sea una cubierta de un espacio topológico X . A subcover de C es un subconjunto de C que todavía cubre X .

Decimos que C es un cubierta abierta si cada uno de sus miembros es unconjunto abierto(es decir, cadaU _α está contenido enT, dondeTes la topología enX).

Se dice que una cobertura de X es localmente finita si cada punto de X tiene una vecindad que cruza sólo un número finito de conjuntos en la cobertura. Formalmente, C = { U _α } es localmente finito si para alguno existe alguna vecindad N ( x ) de x tal que el conjunto ${\ Displaystyle x \ in X,}$

${\ Displaystyle \ left \ {\ alpha \ in A: U _ {\ alpha} \ cap N (x) \ neq \ varnothing \ right \}}$

es finito. Se dice que una cubierta de X es un punto finito si cada punto de X está contenido en un número finito de conjuntos en la cubierta. Una cobertura es puntualmente finita si es localmente finita, aunque lo contrario no es necesariamente cierto.

Refinamiento

Un refinamiento de una cubierta de un espacio topológico es una nueva cubierta de tal manera que cada conjunto está contenido en algún conjunto . Formalmente, ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle D = \ {V _ {\ beta} \} _ {\ beta \ in B}}$es un refinamiento de si para todos existe tal que${\ Displaystyle C = \ {U _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ in A}}$${\ Displaystyle \ beta \ in B}$${\ Displaystyle \ alpha \ in A}$${\ Displaystyle V _ {\ beta} \ subseteq U _ {\ alpha}.}$

En otras palabras, hay un mapa de refinamiento satisfactorio para cada. Este mapa se usa, por ejemplo, en la cohomología Čech de . ${\ Displaystyle \ phi: B \ to A}$${\ Displaystyle V _ {\ beta} \ subseteq U _ {\ phi (\ beta)}}$${\ Displaystyle \ beta \ in B.}$${\ Displaystyle X}$

Cada subcubierta es también un refinamiento, pero lo contrario no siempre es cierto. Se hace una subcubierta a partir de los conjuntos que están en la portada, pero omitiendo algunos de ellos; mientras que se realiza un refinamiento a partir de cualquier conjunto que sea subconjunto de los conjuntos de la portada.

La relación de refinamiento es una preorden en el conjunto de portadas de . ${\ Displaystyle X}$

Generalmente hablando, un refinamiento de una estructura dada es otro que en cierto sentido la contiene. Se pueden encontrar ejemplos al dividir un intervalo (un refinamiento del ser ), considerando topologías (la topología estándar en el espacio euclidiano es un refinamiento de la topología trivial ). Cuando se subdividen complejos simpliciales (la primera subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial es un refinamiento), la situación es ligeramente diferente: cada simplex en el complejo más fino es una cara de algún simplex en el más grueso, y ambos tienen poliedros subyacentes iguales. ${\ Displaystyle a_ {0} <a_ {1} <... <a_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {0} <b_ {0} <a_ {1} <a_ {2} <... <a_ {n-1} <b_ {1} <a_ {n}}$

Sin embargo, otra noción de refinamiento es la de refinamiento de estrellas .

Subcubierta

Una forma sencilla de obtener una subcubierta es omitir los juegos contenidos en otro juego en la portada. Considere las cubiertas específicamente abiertas. Sea una base topológica de y sea ​​una cubierta abierta de First take Then es un refinamiento de . A continuación, para cada uno seleccionamos un contenedor (que requiere el axioma de elección). Entonces es una subcubierta de Por lo tanto, la cardinalidad de una subcubierta de una cubierta abierta puede ser tan pequeña como la de cualquier base topológica. Por tanto, en particular, la segunda contabilidad implica que un espacio es Lindelöf . ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle X.}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {A \ in {\ mathcal {B}}: {\ text {existe}} U \ in {\ mathcal {O}} {\ text {tal que}} A \ subseteq U \}.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {A}},}$${\ Displaystyle U_ {A} \ in {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} = \ {U_ {A} \ in {\ mathcal {O}}: A \ in {\ mathcal {A}} \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}.}$

Compacidad

El lenguaje de las cubiertas se utiliza a menudo para definir varias propiedades topológicas relacionadas con la compacidad . Se dice que un espacio topológico X es

Compacto

si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita (o, de manera equivalente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito);

Lindelöf

si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable (o, de manera equivalente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento contable);

Metacompacto

si cada tapa abierta tiene un refinamiento abierto puntual-finito;

Paracompacto

si cada tapa abierta admite un refinamiento abierto localmente finito.

Para ver algunas variaciones más, consulte los artículos anteriores.

Dimensión de cobertura

Un espacio topológico X se dice que es de cubriendo dimensión n si cada cubierta abierta de X tiene un refinamiento abierto punto finito de tal manera que ningún punto de X se incluye en más de n + 1 se pone en el refinamiento y si n es el valor mínimo por lo que esto es cierto. Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.

Ver también

• Atlas (topología)
• Cubriendo el espacio
• Partición de un conjunto
• Establecer problema de portada
• Refinamiento estrella
• Topología de Grothendieck

Notas

Referencias

1. Introducción a la topología, segunda edición , Theodore W. Gamelin y Robert Everist Greene. Publicaciones de Dover 1999. ISBN  0-486-40680-6
2. Topología general , John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, Nueva Jersey. 1955.

enlaces externos

• "Covering (of a set)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]