Topología trivial - Trivial topology
En topología , un espacio topológico con la topología trivial es uno donde los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y todo el espacio. Tales espacios son comúnmente llamados indiscreto , anti-discreto , o codiscrete . Intuitivamente, esto tiene la consecuencia de que todos los puntos del espacio están "agrupados" y no pueden distinguirse por medios topológicos. Todo espacio indiscreto es un espacio pseudométrico en el que la distancia entre dos puntos cualesquiera es cero .
Detalles
La topología trivial es la topología con el menor número posible de conjuntos abiertos , es decir, el conjunto vacío y el espacio completo, ya que la definición de una topología requiere que estos dos conjuntos estén abiertos. A pesar de su simplicidad, un espacio X con más de un elemento y la topología trivial carece de una propiedad deseable clave: no es un espacio T 0 .
Otras propiedades de un espacio indiscreto X, muchas de las cuales son bastante inusuales, incluyen:
- Los únicos conjuntos cerrados son el conjunto vacío y X .
- La única base posible de X es { X }.
- Si X tiene más de un punto, dado que no es T 0 , tampoco satisface ninguno de los axiomas de T superiores . En particular, no es un espacio de Hausdorff . Al no ser Hausdorff, X no es una topología de orden ni es metrizable .
- Sin embargo, X es regular , completamente regular , normal y completamente normal ; todo de una manera bastante vacua, sin embargo, ya que los conjuntos cerrados son solamente ∅ y X .
- X es compacto y, por lo tanto , paracompacto , Lindelöf y localmente compacto .
- Toda función cuyo dominio es un espacio topológico y codominio X es continua .
- X está conectado con la ruta y así conectado .
- X es el segundo contable y, por lo tanto, es el primero , separable y Lindelöf .
- Todos los subespacios de X tienen la topología trivial.
- Todos los espacios de cociente de X tienen la topología trivial
- Los productos arbitrarios de espacios topológicos triviales, ya sea con topología de producto o topología de caja , tienen la topología trivial.
- Todas las secuencias en X convergen a cada punto de X . En particular, cada secuencia tiene una subsecuencia convergente (la secuencia completa o cualquier otra subsecuencia), por lo que X es secuencialmente compacta .
- El interior de todos los conjuntos excepto X está vacío.
- El cierre de cada subconjunto no vacío de X es X . Dicho de otra manera: todo subconjunto no vacío de X es denso , una propiedad que caracteriza a los espacios topológicos triviales.
- Como resultado de esto, el cierre de cada subconjunto abierto U de X es ∅ (si U = ∅) o X (en caso contrario). En particular, el cierre de cada subconjunto abierto de X es nuevamente un conjunto abierto y, por lo tanto, X está extremadamente desconectado .
- Si S es cualquier subconjunto de X con más de un elemento, a continuación, todos los elementos de X son puntos límite de S . Si S es un producto único , entonces cada punto de X \ S sigue siendo un punto límite de S .
- X es un espacio de Baire .
- Dos espacios topológicos que llevan la topología trivial son homeomorfos si tienen la misma cardinalidad .
En cierto sentido, lo opuesto a la topología trivial es la topología discreta , en la que cada subconjunto está abierto.
La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano X × X es el único entorno .
Sea Top la categoría de espacios topológicos con mapas continuos y Set sea la categoría de conjuntos con funciones. Si G : Top → Set es el functor que asigna a cada espacio topológico su conjunto subyacente (el llamado functor olvidadizo ), y H : Set → Top es el functor que pone la topología trivial en un conjunto dado, entonces H (el llamado funtor colibre ) es adjunto derecho a G . (El llamado functor libre F : Set → Top que coloca la topología discreta en un conjunto dado se deja adjunto a G ).
Ver también
Notas
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446