Segundo espacio contable - Second-countable space

En topología , un segundo espacio contable , también llamado espacio completamente separable , es un espacio topológico cuya topología tiene una base contable . Más explícitamente, un espacio topológico es contable en segundo lugar si existe alguna colección contable de subconjuntos abiertos de tal que cualquier subconjunto abierto de puede escribirse como una unión de elementos de alguna subfamilia de . Se dice que un segundo espacio contable satisface el segundo axioma de contabilidad . Al igual que otros axiomas de contabilidad , la propiedad de ser un segundo contable restringe el número de conjuntos abiertos que puede tener un espacio. ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i = 1} ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Muchos espacios de " buen comportamiento " en matemáticas son contables en segundo lugar. Por ejemplo, el espacio euclidiano ( R ⁿ ) con su topología habitual es contable en segundo lugar. Aunque la base habitual de bolas abiertas es incontable , se puede restringir a la colección de todas las bolas abiertas con radios racionales y cuyos centros tienen coordenadas racionales. Este conjunto restringido es contable y todavía forma una base.

Propiedades

La segunda contabilización es una noción más fuerte que la primera contabilización . Un espacio es contable primero si cada punto tiene una base local contable . Dada una base para una topología y un punto x , el conjunto de todos los conjuntos de bases que contienen x forma una base local en x . Por lo tanto, si uno tiene una base contable para una topología, entonces tiene una base local contable en cada punto y, por lo tanto, cada segundo espacio contable es también un primer espacio contable. Sin embargo, cualquier espacio discreto incontable es contable en primer lugar pero no en segundo lugar.

La segunda contabilidad implica otras propiedades topológicas. Específicamente, cada segundo espacio contable es separable (tiene un subconjunto denso contable ) y Lindelöf (cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable). Las implicaciones inversas no se sostienen. Por ejemplo, la topología del límite inferior en la línea real es primero contable, separable y Lindelöf, pero no segundo contable. Para espacios métricos , sin embargo, las propiedades de ser segundo-contable, separable, y Lindelöf son todos equivalentes. Por lo tanto, la topología del límite inferior en la línea real no es metrizable.

En segundo-contables espacios como en métrica espacios- compacidad , compacidad secuencial, y la compacidad numerable son todas las propiedades equivalentes.

El teorema de metrización de Urysohn establece que cada segundo espacio regular de Hausdorff contable es metrizable . De ello se deduce que cada uno de estos espacios es completamente normal y paracompacto . La segunda contabilidad es, por tanto, una propiedad bastante restrictiva en un espacio topológico, que requiere solo un axioma de separación para implicar la metrizabilidad.

Otras propiedades

• A continua, abierta imagen de un segundo-contable espacio es segundo-contable.
• Cada subespacio de un segundo espacio contable es un segundo espacio contable.
• Los cocientes de espacios de segundos contables no necesitan ser segundos contables; sin embargo, los cocientes abiertos siempre lo son.
• Cualquier producto contable de un segundo espacio contable es segundo contable, aunque no es necesario que los productos incontables lo sean.
• La topología de un segundo espacio contable tiene una cardinalidad menor o igual que c (la cardinalidad del continuo ).${\ Displaystyle T_ {1}}$
• Cualquier base para un segundo espacio contable tiene una subfamilia contable que sigue siendo una base.
• Cada colección de conjuntos abiertos disjuntos en un segundo espacio contable es contable.

Ejemplos y contraejemplos

• Considere la unión contable disjunta . Defina una relación de equivalencia y una topología de cociente identificando los extremos izquierdos de los intervalos, es decir, identifique 0 ~ 2 ~ 4 ~… ~ 2k y así sucesivamente. X es el segundo contable, como una unión contable de los segundos espacios contables. Sin embargo, X / ~ no es contable en primer lugar en la clase lateral de los puntos identificados y, por lo tanto, tampoco es contable en segundo lugar.${\ Displaystyle X = [0,1] \ cup [2,3] \ cup [4,5] \ cup \ dots \ cup [2k, 2k + 1] \ cup \ dotsb}$
• El espacio anterior no es homeomórfico para el mismo conjunto de clases de equivalencia dotadas de la métrica obvia: es decir, distancia euclidiana regular para dos puntos en el mismo intervalo, y la suma de las distancias al punto de la izquierda para puntos que no están en el mismo intervalo - - produciendo una topología estrictamente más débil que el espacio anterior. Es un espacio métrico separable (considere el conjunto de puntos racionales) y, por lo tanto, es contable en segundo lugar.
• La línea larga no es contable en segundo lugar, pero es contable primero.

Notas

Referencias

• Stephen Willard, Topología general , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• John G. Hocking y Gail S. Young (1961). Topología. Reimpresión corregida, Dover, 1988. ISBN  0-486-65676-4