Cardinalidad - Cardinality

El conjunto de todos los sólidos platónicos tiene 5 elementos. Así .

En matemáticas , la cardinalidad de un conjunto es una medida del "número de elementos " del conjunto. Por ejemplo, el conjunto contiene 3 elementos, y por lo tanto tiene una cardinalidad de 3. A partir de finales del siglo XIX, este concepto se generalizó a conjuntos infinitos , lo que permite distinguir entre los diferentes tipos de infinito y realizar aritmética sobre ellos. . Hay dos enfoques de la cardinalidad: uno que compara conjuntos directamente usando biyecciones e inyecciones , y otro que usa números cardinales . La cardinalidad de un conjunto también se denomina tamaño , cuando no es posible confusión con otras nociones de tamaño.

La cardinalidad de un conjunto se suele denotar con una barra vertical a cada lado; esta es la misma notación que el valor absoluto , y el significado depende del contexto . La cardinalidad de un conjunto puede ser alternativamente denotado por , , , o .

Historia

A partir de finales del siglo XIX, este concepto se generalizó a conjuntos infinitos, lo que permite distinguir entre los diferentes tipos de infinito y realizar operaciones aritméticas sobre ellos.

Comparación de conjuntos

Función biyectiva de N al conjunto E de números pares . Aunque E es un subconjunto propio de N , ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad.
N no tiene la misma cardinalidad que su conjunto de potencias P ( N ): Para cada función f de N a P ( N ), el conjunto T = { nN : nf ( n )} no está de acuerdo con cada conjunto en el rango de f , por lo tanto, f no puede ser sobreyectiva. La imagen muestra un ejemplo fy la T correspondiente ; rojo : nortef ( n ) \ T , azul : norteT \ f ( n ).

Si bien la cardinalidad de un conjunto finito es solo el número de sus elementos, extender la noción a conjuntos infinitos generalmente comienza con la definición de la noción de comparación de conjuntos arbitrarios (algunos de los cuales son posiblemente infinitos).

Definición 1: | A | = | B |

Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una biyección (también conocida como correspondencia uno a uno) de A a B , es decir, una función de A a B que sea tanto inyectiva como sobreyectiva . Se dice que tales conjuntos son equipotentes , equipollentes o equinumeros . Esta relación también se puede denotar unB o A ~ B .
Por ejemplo, el conjunto E = {0, 2, 4, 6, ...} de no negativos números pares tiene la misma cardinalidad que el conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} de naturales números , ya que la función f ( n ) = 2 n es una biyección de N a E (ver imagen).

Definición 2: | A | ≤ | B |

A tiene cardinalidad menos de o igual a la cardinalidad de B , si existe una función inyectiva de A en B .

Definición 3: | A | <| B |

Una tiene cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad de B , si existe una función inyectiva, pero ninguna función biyectiva, desde una a B .
Por ejemplo, el conjunto N de todos los números naturales tiene una cardinalidad estrictamente menor que su conjunto de potencias P ( N ), porque g ( n ) = { n } es una función inyectiva de N a P ( N ), y se puede demostrar que ninguna función de N a P ( N ) puede ser biyectiva (ver imagen). Por un argumento similar, N tiene cardinalidad estrictamente menor que la cardinalidad del conjunto R de todos los números reales . Para ver las pruebas, consulte el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontablecimiento de Cantor .

Si | A | ≤ | B | y | B | ≤ | A |, luego | A | = | B | (hecho conocido como teorema de Schröder-Bernstein ). El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que | A | ≤ | B | o | B | ≤ | A | para cada una , B .

Numeros cardinales

En la sección anterior, la "cardinalidad" de un conjunto se definió funcionalmente. En otras palabras, no se definió como un objeto específico en sí mismo. Sin embargo, dicho objeto se puede definir de la siguiente manera.

La relación de tener la misma cardinalidad se llama equinumerosidad , y esta es una relación de equivalencia en la clase de todos los conjuntos. La clase de equivalencia de un conjunto A bajo esta relación, entonces, consiste en todos aquellos conjuntos que tienen la misma cardinalidad que A . Hay dos formas de definir la "cardinalidad de un conjunto":

  1. La cardinalidad de un conjunto A se define como su clase de equivalencia en equinumerosidad.
  2. Se designa un conjunto representativo para cada clase de equivalencia. La opción más común es el ordinal inicial en esa clase . Esto generalmente se toma como la definición de número cardinal en la teoría de conjuntos axiomáticos .

Suponiendo el axioma de elección , las cardinalidades de los conjuntos infinitos se denotan

Para cada ordinal , es el menor número cardinal mayor que .

La cardinalidad de los números naturales se denota aleph-null ( ), mientras que la cardinalidad de los números reales se denota con " " (una escritura de fraktur minúscula "c"), y también se conoce como la cardinalidad del continuo . Cantor demostró, usando el argumento diagonal , eso . Podemos mostrar eso , siendo esta también la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales.

La hipótesis del continuo dice que , es decir, es el número cardinal más pequeño mayor que , es decir, no hay ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y la de los números reales. La hipótesis del continuo es independiente de ZFC , una axiomatización estándar de la teoría de conjuntos; es decir, es imposible probar la hipótesis del continuo o su negación a partir de ZFC, siempre que ZFC sea consistente. Para obtener más detalles, consulte § Cardinalidad del continuo a continuación.

Conjuntos finitos, contables e incontables

Si se cumple el axioma de elección , la ley de la tricotomía se aplica a la cardinalidad. Así podemos hacer las siguientes definiciones:

  • Cualquier conjunto X con cardinalidad menor que la de los números naturales , o | X  | <| N  |, se dice que es un conjunto finito .
  • Cualquier conjunto X que tenga la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales, o | X  | = | N  | = , se dice que es un conjunto infinito numerable .
  • Cualquier conjunto X con cardinalidad mayor que la de los números naturales, o | X  | > | N  |, por ejemplo | R  | = > | N  |, se dice que es incontable .

Conjuntos infinitos

Nuestra intuición obtenida de conjuntos finitos se rompe cuando se trata de conjuntos infinitos . A finales del siglo XIX, Georg Cantor , Gottlob Frege , Richard Dedekind y otros rechazaron la opinión de que el todo no puede tener el mismo tamaño que la parte. Un ejemplo de esto es la paradoja de Hilbert del Grand Hotel . De hecho, Dedekind definió un conjunto infinito como uno que puede colocarse en una correspondencia uno a uno con un subconjunto estricto (es decir, que tiene el mismo tamaño en el sentido de Cantor); esta noción de infinito se llama Dedekind infinito . Cantor introdujo los números cardinales y demostró, de acuerdo con su definición de tamaño basada en la biyección, que algunos conjuntos infinitos son mayores que otros. La cardinalidad infinita más pequeña es la de los números naturales ( ).

Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuo ( ) es mayor que la de los números naturales ( ); es decir, hay más números reales R de números naturales N . Es decir, Cantor mostró que (ver Beth uno ) satisface:

(ver el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontablecimiento de Cantor ).

La hipótesis del continuo establece que no existe un número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir,

Sin embargo, esta hipótesis no puede ser probada ni refutada dentro de la teoría de conjuntos axiomáticos de ZFC ampliamente aceptada , si ZFC es consistente.

La aritmética cardinal se puede usar para mostrar no solo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa recta, sino que esto es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio de dimensión finita. Estos resultados son altamente contradictorios, porque implican que existen subconjuntos propios y superconjuntos propios de un conjunto infinito S que tienen el mismo tamaño que S , aunque S contiene elementos que no pertenecen a sus subconjuntos, y los superconjuntos de S contienen elementos que no están incluidos en él.

El primero de estos resultados es evidente al considerar, por ejemplo, la función tangente , que proporciona una correspondencia uno a uno entre el intervalo (−½π, ½π) y R (ver también la paradoja de Hilbert del Grand Hotel ).

El segundo resultado fue demostrado por primera vez por Cantor en 1878, pero se hizo más evidente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio , líneas curvas que se retuercen y giran lo suficiente como para llenar la totalidad de cualquier cuadrado, cubo o hipercubo . o espacio de dimensión finita. Estas curvas no son una prueba directa de que una línea tenga el mismo número de puntos que un espacio de dimensión finita, pero pueden usarse para obtener dicha prueba .

Cantor también mostró que los conjuntos con cardinalidad estrictamente mayores que existen (ver su argumento y teorema diagonal generalizados ). Incluyen, por ejemplo:

  • el conjunto de todos los subconjuntos de R , es decir, el conjunto de potencias de R , escrito P ( R ) o 2 R
  • el conjunto R R de todas las funciones de R a R

Ambos tienen cardinalidad

(ver Beth dos ).

Las igualdades cardinales y se pueden demostrar usando aritmética cardinal :

Ejemplos y propiedades

  • Si X = { a , b , c } e Y = {manzanas, naranjas, melocotones}, entonces | X  | = | Y  | porque {( a , manzanas), ( b , naranjas), ( c , melocotones)} es una biyección entre los conjuntos de X y de Y . La cardinalidad de cada uno de X e Y es 3.
  • Si | X  | ≤ | Y  |, entonces existe Z tal que | X  | = | Z  | y ZY .
  • Si | X  | ≤ | Y  | y | Y  | ≤ | X  |, luego | X  | = | Y  |. Esto es válido incluso para infinitos cardinales y se conoce como teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder .
  • Los conjuntos con cardinalidad del continuo incluyen el conjunto de todos los números reales, el conjunto de todos los números irracionales y el intervalo .

Unión e intersección

Si A y B son conjuntos disjuntos , entonces

A partir de esto, se puede demostrar que, en general, las cardinalidades de uniones e intersecciones están relacionadas por la siguiente ecuación:

Ver también

Referencias