Línea larga (topología) - Long line (topology)

En topología , la línea larga (o línea de Alexandroff ) es un espacio topológico algo similar a la línea real , pero en cierto modo "más largo". Se comporta localmente como la línea real, pero tiene diferentes propiedades a gran escala (por ejemplo, no es Lindelöf ni separable ). Por lo tanto, sirve como uno de los contraejemplos básicos de topología. Intuitivamente, la línea habitual de números reales consiste en un número contable de segmentos de línea colocados de extremo a extremo, mientras que la línea larga se construye a partir de un número incontable de tales segmentos. ${\ Displaystyle [0,1)}$

Definición

El rayo largo cerrado se define como el producto cartesiano del primer ordinal incontable con el intervalo semiabierto equipado con la topología de orden que surge del orden lexicográfico en adelante . El rayo largo abierto se obtiene del rayo largo cerrado quitando el elemento más pequeño${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ Displaystyle [0,1),}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} \ times [0,1)}$${\ Displaystyle (0,0).}$

La línea larga se obtiene juntando un rayo largo en cada dirección. Más rigurosamente, se puede definir como la topología de orden en la unión disjunta del rayo largo abierto invertido ("invertido" significa que el orden está invertido) y el rayo largo cerrado (no invertido), totalmente ordenado dejando los puntos de este último ser mayor que los puntos del primero. Alternativamente, tome dos copias del rayo largo abierto e identifique el intervalo abierto de uno con el mismo intervalo del otro pero invirtiendo el intervalo, es decir, identifique el punto (donde es un número real tal que ) del que tiene el punto del otro, y define la línea larga como el espacio topológico obtenido al pegar los dos rayos largos abiertos a lo largo del intervalo abierto identificado entre los dos. (La primera construcción es mejor en el sentido de que define el orden en la línea larga y muestra que la topología es la topología del orden; la segunda es mejor en el sentido de que utiliza encolado a lo largo de un conjunto abierto, que es más claro desde el punto de vista topológico. Punto de vista.) ${\ Displaystyle \ {0 \} \ times (0,1)}$${\ displaystyle (0, t)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle 0 <t <1}$${\ Displaystyle (0,1-t)}$

Intuitivamente, el rayo largo cerrado es como una media línea real (cerrada), excepto que es mucho más largo en una dirección: decimos que es largo en un extremo y cerrado en el otro. El rayo largo abierto es como la línea real (o equivalentemente una media línea abierta) excepto que es mucho más largo en una dirección: decimos que es largo en un extremo y corto (abierto) en el otro. La línea larga es más larga que las líneas reales en ambas direcciones: decimos que es larga en ambas direcciones.

Sin embargo, muchos autores hablan de la “línea larga” donde hemos hablado del rayo largo (cerrado o abierto), y hay mucha confusión entre los distintos espacios largos. En muchos usos o contraejemplos, sin embargo, la distinción no es esencial, porque la parte importante es el extremo "largo" de la línea, y no importa lo que suceda en el otro extremo (ya sea largo, corto o cerrado).

Un espacio relacionado, el rayo largo extendido (cerrado) , se obtiene como la compactificación de un punto de al unir un elemento adicional al extremo derecho de Uno puede definir de manera similar la línea larga extendida agregando dos elementos a la línea larga, uno en cada final. ${\ Displaystyle L ^ {*},}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L.}$

Propiedades

El rayo largo cerrado consiste en un número incontable de copias de 'pegadas juntas' de un extremo a otro. Compare esto con el hecho de que, para cualquier ordinal contable, el pegado de copias de da un espacio que todavía es homeomórfico (y orden-isomórfico) a (Y si intentáramos unir más de lo que las copias del espacio resultante ya no serían localmente homeomórficas para ) ${\ Displaystyle L = \ omega _ {1} \ times [0,1)}$${\ Displaystyle [0,1)}$ ${\ Displaystyle \ alpha.}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle [0,1)}$${\ Displaystyle [0,1).}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle [0,1),}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$

Cada secuencia creciente en converge a un límite en ; esto es una consecuencia del hecho de que (1) los elementos de son los ordinales contables , (2) el supremo de cada familia contable de ordinales contables es un ordinal contable, y (3) toda secuencia creciente y acotada de números reales converge. En consecuencia, no puede haber una función estrictamente creciente. De hecho, toda función continua es eventualmente constante. ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle L \ to \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle L \ to \ mathbb {R}}$

Como topologías de orden, los rayos y líneas largos (posiblemente extendidos) son espacios de Hausdorff normales . Todos ellos tienen la misma cardinalidad que la línea real, pero son "mucho más largos". Todos ellos son localmente compactos . Ninguno de ellos es metrizable ; esto se puede ver como el rayo largo es secuencialmente compacto pero no compacto , ni siquiera Lindelöf .

La línea o raya larga (no extendida) no es paracompacta . Es camino conectados , localmente trayectoria-conectado y simplemente conexo , pero no contráctil . Es una variedad topológica unidimensional , con límite en el caso del rayo cerrado. Es contable en primer lugar pero no en segundo lugar y no separable , por lo que los autores que requieren las últimas propiedades en sus variedades no llaman a la línea larga una variedad.

Tiene sentido considerar todos los espacios largos a la vez porque cada variedad topológica unidimensional (no necesariamente separable ) conectada (no vacía) posiblemente con límite, es homeomórfica para el círculo, el intervalo cerrado, el intervalo abierto (línea real ), el intervalo semiabierto, el rayo largo cerrado, el rayo largo abierto o la línea larga.

La línea larga o rayo puede equiparse con la estructura de una variedad diferenciable (no separable) (con límite en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, contrariamente a la estructura topológica que es única (topológicamente, solo hay una forma de hacer que la línea real sea "más larga" en cada extremo), la estructura diferenciable no es única: de hecho, hay incontables ( para ser precisos) estructuras lisas no difeomórficas por pares sobre él. Esto contrasta fuertemente con la línea real, donde también hay diferentes estructuras lisas, pero todas son difeomórficas a la estándar. ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {1}}}$

La línea larga o rayo puede incluso equiparse con la estructura de una variedad analítica (real) (con límite en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, esto es mucho más difícil que para el caso diferenciable (depende de la clasificación de variedades analíticas unidimensionales (separables), que es más difícil que para las variedades diferenciables). Una vez más, cualquier estructura dada puede extenderse de infinitas formas a estructuras diferentes (= analíticas) (que no son difeomórficas por pares como variedades analíticas). ${\ Displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ Displaystyle C ^ {\ omega}}$

La línea larga o rayo no puede equiparse con una métrica de Riemann que induzca su topología. La razón es que se puede demostrar que las variedades de Riemann, incluso sin el supuesto de paracompactancia, son metrizables.

El rayo largo extendido es compacto . Es la compactación de un punto del rayo de largo cerrado , pero es también la compactación de Stone-Čech , ya que cualquier función continua de la larga rayos (cerrado o abierto) a la recta real es el tiempo constante. también está conectado , pero no conectado a una ruta porque la línea larga es 'demasiado larga' para ser cubierta por una ruta, que es una imagen continua de un intervalo. no es una variedad y no es contable primero. ${\ Displaystyle L ^ {*}}$${\ Displaystyle L,}$${\ Displaystyle L ^ {*}}$${\ Displaystyle L ^ {*}}$

análogo p -ádico

Existe un análogo p -ádico de la línea larga, que se debe a George Bergman .

Este espacio se construye como la unión creciente de un conjunto dirigido incontable de copias del anillo de enteros p -ádicos, indexados por un ordinal contable Defina un mapa de a siempre de la siguiente manera: ${\ Displaystyle X _ {\ gamma}}$${\ Displaystyle \ gamma.}$${\ Displaystyle X _ {\ delta}}$${\ Displaystyle X _ {\ gamma}}$${\ Displaystyle \ delta <\ gamma}$

• Si es un sucesor, entonces el mapa de a es solo una multiplicación por Para otros, el mapa de a es la composición del mapa de a y el mapa de a${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ varepsilon +1}$${\ Displaystyle X _ {\ varepsilon}}$${\ Displaystyle X _ {\ gamma}}$${\ Displaystyle p.}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle X _ {\ delta}}$${\ Displaystyle X _ {\ gamma}}$${\ Displaystyle X _ {\ delta}}$${\ Displaystyle X _ {\ varepsilon}}$${\ Displaystyle X _ {\ varepsilon}}$${\ Displaystyle X _ {\ gamma}.}$
• Si es un ordinal límite, entonces el límite directo de los conjuntos para es una unión contable de bolas p -ádicas, por lo que se puede incrustar, ya que con un punto eliminado también es una unión contable de bolas p -ádicas. Esto define incrustaciones compatibles de into para todos${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle X _ {\ delta}}$${\ Displaystyle \ delta <\ gamma}$${\ Displaystyle X _ {\ gamma},}$${\ Displaystyle X _ {\ gamma}}$${\ Displaystyle X _ {\ delta}}$${\ Displaystyle X _ {\ gamma}}$${\ Displaystyle \ delta <\ gamma.}$

Este espacio no es compacto, pero la unión de cualquier conjunto contable de subespacios compactos tiene cierre compacto.

Mayores dimensiones

Algunos ejemplos de colectores no paracompactos en dimensiones más altas incluyen el colector Prüfer , productos de cualquier colector no paracompacto con cualquier colector no vacío, la bola de radio largo, etc. El teorema de la gaita muestra que existen clases de isomorfismos de superficies no paracompactas. ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {1}}}$

No hay análogos complejos de la línea larga ya que cada superficie de Riemann es paracompacta, pero Calabi y Rosenlicht dieron un ejemplo de una variedad compleja no paracompacta de dimensión compleja 2.

Ver también

• Topología de orden lexicográfico en el cuadrado unitario
• Lista de topologías

Referencias