Compactación Stone – Čech - Stone–Čech compactification

En la disciplina matemática de la topología general , la compactación de Stone-Čech (o compactación de Čech-Stone ) es una técnica para construir un mapa universal desde un espacio topológico X a un espacio compacto de Hausdorff βX . La compactación de Stone-Čech βX de un espacio topológico X es el espacio de Hausdorff compacto más grande y más general "generado" por X , en el sentido de que cualquier mapa continuo de X a un espacio de Hausdorff compacto se factoriza a través de βX (de una manera única). Si X es un espacio de Tychonoff, entonces el mapa de X a su imagen en βX es un homeomorfismo , por lo que X puede considerarse un subespacio (denso) de βX ; todos los demás espacios compactos de Hausdorff que contienen densamente X es un cociente de βX . Para los espacios topológicos generales X , el mapa de X a βX no necesita ser inyectivo.

Se requiere una forma del axioma de elección para demostrar que cada espacio topológico tiene una compactación Stone-Čech. Incluso para espacios X bastante simples , una descripción concreta accesible de βX a menudo sigue siendo difícil de alcanzar. En particular, las pruebas que βX  \  X es no vacío no dan una descripción explícita de cualquier punto particular en βX  \  X .

La compactación de Stone-Čech ocurre implícitamente en un artículo de Andrey Nikolayevich Tychonoff  ( 1930 ) y fue dada explícitamente por Marshall Stone  ( 1937 ) y Eduard Čech  ( 1937 ).

Historia

Andrey Nikolayevich Tikhonov introdujo espacios completamente regulares en 1930 para evitar la situación patológica de los espacios de Hausdorff cuyas únicas funciones continuas de valor real son mapas constantes.

En el mismo artículo de 1930 donde Tychonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que cada espacio de Tychonoff (es decir, el espacio completamente regular de Hausdorff ) tiene una compactación de Hausdorff (en este mismo artículo, también demostró el teorema de Tychonoff ). En 1937, Čech amplió la técnica de Tychonoff e introdujo la notación β X para esta compactación. Stone también construyó β X en un artículo de 1937, aunque utilizando un método muy diferente. A pesar de artículo de Tychonoff ser la primera obra sobre el tema de la compactación de Stone-Cech y pesar el artículo de Tychonoff que se hace referencia por tanto Piedra y Cech, el nombre de Tychonoff rara vez se asocia con β X .

Propiedad universal y funcionalidad

La compactificación de Stone-Čech del espacio topológico X es un espacio compacto de Hausdorff βX junto con un mapa continuo i _X  : X → βX que tiene la siguiente propiedad universal : cualquier mapa continuo f  : X → K , donde K es un espacio compacto de Hausdorff , se extiende únicamente a un mapa continuo βf  : βX → K , es decir ( βf ) i _X = f .

Como es habitual en las propiedades universales, esta propiedad universal caracteriza a βX hasta el homeomorfismo .

Como se indica en § Construcciones , a continuación, se puede demostrar (utilizando el axioma de elección) de que una de Stone-Čech tales compactificación i _X  : X → βX existe para cada espacio topológico X . Además, la imagen i _X ( X ) es densa en βX .

Algunos autores añaden el supuesto de que el espacio inicial X sea ​​Tychonoff (o incluso Hausdorff localmente compacto ), por las siguientes razones:

• El mapa de X a su imagen en βX es un homeomorfismo si y solo si X es Tychonoff.
• El mapa de X a su imagen en βX es un homeomorfismo a un subespacio abierto si y solo si X es localmente compacto de Hausdorff.

La construcción de Stone-Čech se puede realizar para espacios más generales X , pero en ese caso el mapa X → βX no necesita ser un homeomorfismo de la imagen de X (ya veces ni siquiera es inyectivo).

Como es habitual en construcciones universales como esta, la propiedad de extensión convierte a β en un funtor de Top (la categoría de espacios topológicos ) a CHaus (la categoría de espacios compactos de Hausdorff). Además, si dejamos que U sea ​​el functor de inclusión de CHaus en Top , los mapas de βX a K (para K en CHaus ) corresponden biyectivamente a los mapas de X a UK (considerando su restricción a X y usando la propiedad universal de βX ). es decir

Hom ( βX , K ) ≅ Hom ( X , Reino Unido ),

lo que significa que β está adjunto izquierdo a U . Esto implica que CHaus es una subcategoría reflectante de Top con reflector β .

Ejemplos de

Si X es un espacio compacto de Hausdorff, entonces coincide con su compactación Stone-Čech. La mayoría de las otras compactaciones de Stone-Čech carecen de descripciones concretas y son extremadamente difíciles de manejar. Las excepciones incluyen:

La compactación de Stone-Čech del primer ordinal incontable , con la topología de orden , es el ordinal . La compactación Stone-Čech de la tabla de Tychonoff eliminada es la tabla de Tychonoff. ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega _ {1} +1}$

Construcciones

Construcción con productos

Un intento de construir la compactificación Stone-Čech de X es tomar el cierre de la imagen de X en

${\ Displaystyle \ prod \ nolimits _ {f: X \ to K} K}$

donde el producto es más de todos los mapas de X para compactar los espacios de Hausdorff K . Según el teorema de Tychonoff, este producto de espacios compactos es compacto y, por tanto, el cierre de X en este espacio también es compacto. Esto funciona intuitivamente pero falla por la razón técnica de que la colección de todos estos mapas es una clase adecuada en lugar de un conjunto. Hay varias formas de modificar esta idea para que funcione; por ejemplo, uno puede restringir los espacios compactos de Hausdorff K para que tengan el conjunto subyacente P ( P ( X )) (el conjunto de potencias del conjunto de potencias de X ), que es lo suficientemente grande como para que tenga una cardinalidad al menos igual a la de cada compacto Espacio de Hausdorff al que se puede asignar X con una imagen densa.

Construcción usando el intervalo unitario

Una forma de construir βX es dejar que C sea ​​el conjunto de todas las funciones continuas desde X en [0, 1] y considerar el mapa donde ${\ Displaystyle e: X \ a [0,1] ^ {C}}$

${\ Displaystyle e (x): f \ mapsto f (x)}$

Esto puede verse como un mapa continuo sobre su imagen, si se le da a [0, 1] ^C la topología del producto . Por el teorema de Tychonoff tenemos que [0, 1] ^C es compacto ya que [0, 1] lo es. En consecuencia, el cierre de X en [0, 1] ^C es un compactificación de X .

De hecho, este cierre es la compactificación Stone-Čech. Para verificar esto, solo necesitamos verificar que el cierre satisface la propiedad universal apropiada. Hacemos esto primero para K = [0, 1], donde la extensión deseada de f  : X → [0, 1] es sólo la proyección sobre el f de coordenadas en [0, 1] ^C . Para luego obtener esto para Hausdorff K compacto general , usamos lo anterior para notar que K se puede incrustar en algún cubo, extender cada una de las funciones de coordenadas y luego tomar el producto de estas extensiones.

La propiedad especial de la unidad de intervalo necesario para esta construcción de trabajo es que es un cogenerador de la categoría de los espacios de Hausdorff compactos: significa esto que si A y B son los espacios de Hausdorff compactos, y f y g son distintos mapas desde A a B , entonces hay un mapa h  : B → [0, 1] tal que hf y hg son distintos. En esta construcción se puede utilizar cualquier otro cogenerador (o grupo de cogeneración).

Construcción con ultrafiltros

Alternativamente, si es discreta , entonces es posible construir como el conjunto de todos los ultrafiltros en con los elementos de correspondiente a las principales ultrafiltros . La topología del conjunto de ultrafiltros, conocida como${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ beta X}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$ La topología de piedra , se genera mediante conjuntos de la formadeun subconjunto de${\ Displaystyle \ {F: U \ in F \}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X.}$

Nuevamente verificamos la propiedad universal: porque con Hausdorff compacto y un ultrafiltro encendido tenemos una base de ultrafiltro en el empuje hacia adelante de Esto tiene un límite único porque es Hausdorff compacto, digamos y definimos Esto puede verificarse como una extensión continua de${\ Displaystyle f: X \ to K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f (F)}$${\ Displaystyle K,}$${\ Displaystyle F.}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle x,}$${\ Displaystyle \ beta f (F) = x.}$${\ Displaystyle f.}$

De manera equivalente, se puede tomar el espacio de Stone del álgebra booleana completa de todos los subconjuntos de como la compactación de Stone-Čech. Esta es realmente la misma construcción, ya que el espacio de Stone de este álgebra booleana es el conjunto de ultrafiltros (o equivalentes ideales primos , u homomorfismos al álgebra booleana de 2 elementos) del álgebra booleana, que es el mismo que el conjunto de ultrafiltros en${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$

La construcción se puede generalizar a espacios de Tychonoff arbitrarios mediante el uso de filtros máximos de conjuntos cero en lugar de ultrafiltros. (Los filtros de conjuntos cerrados son suficientes si el espacio es normal ).

Construcción con C * -algebras

La compactificación de Stone-Čech es naturalmente homeomórfica al espectro de C _b ( X ). Aquí C _b ( X ) denota el C * -álgebra de todas las funciones continuas acotadas de valores complejos en X con sup-norma. Observe que C _b ( X ) es canónicamente isomórfico al álgebra del multiplicador de C ₀ ( X ).

La compactación Stone-Čech de los números naturales

En el caso donde X es localmente compacto , por ejemplo, N o R , la imagen de X forma un subconjunto abierto de βX , o de hecho de cualquier compactificación, (esta es también una condición necesaria, ya que un subconjunto abierto de un espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto). En este caso, a menudo se estudia el resto del espacio, βX  \  X . Este es un subconjunto cerrado de βX , por lo que es compacto. Consideramos N con su topología discreta y escribimos β N  \  N = N * (pero esto no parece ser una notación estándar para X general ).

Como se explicó anteriormente, uno puede ver β N como el conjunto de los ultrafiltros en N , con la topología generada por conjuntos de la forma de U un subconjunto de N . El conjunto N corresponde al conjunto de ultrafiltros principales y el conjunto N * al conjunto de ultrafiltros libres . ${\ Displaystyle \ {F: U \ in F \}}$

El estudio de β N , y en particular de N *, es un área importante de la topología de la teoría de conjuntos moderna . Los principales resultados que motivan esto son los teoremas de Parovicenko , que caracterizan esencialmente su comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo .

Estos establecen:

• Cada espacio compacto de Hausdorff de peso como máximo (ver número de Aleph ) es la imagen continua de N * (esto no necesita la hipótesis del continuo, pero es menos interesante en su ausencia).${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$
• Si se cumple la hipótesis del continuo, N * es el espacio único de Parovicenko , hasta el isomorfismo.

Estos se probaron originalmente considerando álgebras de Boole y aplicando la dualidad de Stone .

Jan van Mill ha descrito a β N como un "monstruo de tres cabezas": las tres cabezas son una cabeza sonriente y amistosa (el comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo), la fea cabeza de la independencia que constantemente trata de confundirte (determinando qué el comportamiento es posible en diferentes modelos de teoría de conjuntos), y el tercer encabezado es el más pequeño de todos (lo que puede probar al respecto en ZFC ). Se ha observado relativamente recientemente que esta caracterización no es del todo correcta; de hecho, hay un cuarto encabezado de β N , en el que los axiomas de forzamiento y los axiomas de tipo Ramsey dan propiedades de β N casi diametralmente opuestas a las de la hipótesis del continuo, dando muy pocos mapas de N * de hecho. Ejemplos de estos axiomas incluyen la combinación del axioma de Martin y el axioma de coloración abierta que, por ejemplo, prueban que ( N *) ² ≠ N *, mientras que la hipótesis del continuo implica lo contrario.

Una aplicación: el espacio dual del espacio de secuencias acotadas de reales

La compactificación de Stone-Čech β N se puede utilizar para caracterizar (el espacio de Banach de todas las secuencias acotadas en el campo escalar R o C , con norma supremum ) y su espacio dual . ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Dada una secuencia acotada, existe una bola cerrada B en el campo escalar que contiene la imagen de a . una es entonces una función de N a B . Dado que N es discreto y B es compacto y Hausdorff, a es continuo. De acuerdo con la propiedad universal, existe una única extensión ßa  : β N → B . Esta extensión no depende de la bola B que consideremos. ${\ Displaystyle a \ in \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Hemos definido un mapa de extensión del espacio de secuencias valoradas escalares limitada al espacio de funciones continuas sobre β N .

${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N}) \ to C (\ beta \ mathbf {N})}$

Este mapa es biyectivo ya que cada función en C ( β N ) debe estar acotada y luego puede restringirse a una secuencia escalar acotada.

Si consideramos además ambos espacios con la norma sup, el mapa de extensión se convierte en una isometría. De hecho, si en la construcción anterior tomamos la bola B más pequeña posible , vemos que la norma sup de la secuencia extendida no crece (aunque la imagen de la función extendida puede ser más grande).

Por tanto, se puede identificar con C ( β N ). Esto nos permite utilizar el teorema de representación de Riesz y encontramos que el espacio dual de se pueden identificar con el espacio de finitos medidas de Borel sobre β N . ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbf {N})}$

Por último, hay que hacer notar que esta técnica se generaliza a la L ^∞ espacio de una arbitraria espacio de medida X . Sin embargo, en lugar de considerar simplemente el espacio βX de los ultrafiltros en X , la forma correcta de generalizar esta construcción es considerar el espacio de piedra Y del álgebra de medidas de X : los espacios C ( Y ) y L ^∞ ( X ) son isomorfos como C * -álgebras siempre que X satisfaga una condición de finitud razonable (que cualquier conjunto de medidas positivas contenga un subconjunto de medidas positivas finitas).

Una operación monoide sobre la compactación Stone-Čech de los naturales

Los números naturales forman un monoide bajo adición . Resulta que esta operación puede extenderse (generalmente en más de una forma, pero únicamente bajo una condición adicional) a β N , convirtiendo este espacio también en un monoide, aunque sorprendentemente no conmutativo.

Para cualquier subconjunto, A , de N y un entero positivo n en N , definimos

${\ Displaystyle An = \ {k \ in \ mathbf {N} \ mid k + n \ in A \}.}$

Dados dos ultrafiltros F y G en N , definimos su suma por

${\ Displaystyle F + G = {\ Big \ {} A \ subseteq \ mathbf {N} \ mid \ {n \ in \ mathbf {N} \ mid An \ in F \} \ in G {\ Big \}} ;}$

se puede comprobar que se trata de nuevo de un ultrafiltro, y que la operación + es asociativa (pero no conmutativa) sobre β N y extiende la adición sobre N ; 0 sirve como un elemento neutro para la operación + en β N . La operación también es continua a la derecha, en el sentido de que para cada ultrafiltro F , el mapa

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ beta \ mathbf {N} \ to \ beta \ mathbf {N} \\ G \ mapsto F + G \ end {cases}}}$

es continuo.

De manera más general, si S es un semigrupo con la topología discreta, la operación de S puede extenderse a βS , obteniendo una operación asociativa continua a la derecha.

Ver también

• Compactificación (matemáticas)  : incrustación de un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
• Corona conjunto de un espacio, el complemento de su imagen en la compactación Stone-Čech.
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Compactificación de un punto
• Compactación de Wallman

Notas

Referencias

• Čech, Eduard (1937), "On bicompact spaces", Annals of Mathematics , 38 (4): 823–844, doi : 10.2307 / 1968839 , hdl : 10338.dmlcz / 100420 , JSTOR  1968839
• Dunford, Nelson ; Schwarz, Jacob T. (1988). Operadores lineales parte I: teoría general (Wiley Classics ed.). John Wiley e hijos. pag. 276.
• Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998), Álgebra en la compactación Stone-Cech. Teoría y aplicaciones , de Gruyter Expositions in Mathematics, 27 (segunda edición revisada y ampliada de 2012), Berlín: Walter de Gruyter & Co., págs. Xiv + 485 págs., Doi : 10.1515 / 9783110809220 , ISBN 978-3-11-015420-7, Señor  1642231
• Koshevnikova, IG (2001) [1994], "Compactación de Stone-Čech" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
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• Stone, Marshall H. (1937), "Aplicaciones de la teoría de los anillos booleanos a la topología general", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307 / 1989788 , JSTOR  1989788
• Tychonoff, Andrey (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen , 102 : 544–561, doi : 10.1007 / BF01782364 , ISSN  0025-5831 , S2CID  124737286

enlaces externos

• Compactación Stone-Čech en Planet Math
• Dror Bar-Natan, ultrafiltros, compacidad y compactación Stone-Čech