Conjunto denso - Dense set

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un subconjunto A de un espacio topológico X se llama denso (en X ) si cada punto x en X pertenece a A o es un punto límite de A ; es decir, el cierre de una constituye la totalidad del conjunto X . De manera informal, para cada punto en X , el punto está en A o arbitrariamente "cerca" de un miembro de A ; por ejemplo, los números racionales son un subconjunto denso de los números reales porque cada número real es un número racional o tiene un número racional arbitrariamente cercano a él (ver Aproximación diofántica ).

Formalmente, un subconjunto A de un espacio topológico X es denso en X si para cualquier punto x en X , cualquier vecindario de x contiene al menos un punto de A (es decir, A tiene una intersección no vacía con cada subconjunto abierto no vacío de X ). De manera equivalente, A es denso en X si y solo si el subconjunto cerrado más pequeño de X que contiene A es X mismo. Esto también se puede expresar diciendo que el cierre de A es X , o que el interior del complemento de A está vacío.

La densidad de un espacio topológico X es el menos cardinalidad de un subconjunto denso de X .

Densidad en espacios métricos

Una definición alternativa de conjunto denso en el caso de espacios métricos es la siguiente. Cuando la topología de X está dada por una métrica , el cierre de A en X es la unión de A y el conjunto de todos los límites de secuencias de elementos en A (sus puntos límite ), ${\ Displaystyle {\ overline {A}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {A}} = A \ cup \ left \ {\ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ mid a_ {n} \ in A {\ text {para todos}} n \ in \ mathbb {N} \ right \}}$

Entonces A es denso en X si

${\ Displaystyle {\ overline {A}} = X.}$

Si es una secuencia de densos abiertos conjuntos en un espacio métrico completo, X , entonces también es denso en X . Este hecho es una de las formas equivalentes del teorema de la categoría de Baire . ${\ Displaystyle \ left \ {U_ {n} \ right \}}$${\ textstyle \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} U_ {n}}$

Ejemplos de

Los números reales con la topología habitual tienen los números racionales como un subconjunto denso contable que muestra que la cardinalidad de un subconjunto denso de un espacio topológico puede ser estrictamente menor que la cardinalidad del espacio mismo. Los números irracionales son otro subconjunto denso que muestra que un espacio topológico puede tener varios subconjuntos densos disjuntos (en particular, dos subconjuntos densos pueden ser complementos entre sí), y ni siquiera necesitan ser de la misma cardinalidad. Quizás aún más sorprendente, tanto los racionales como los irracionales tienen interiores vacíos, lo que demuestra que los conjuntos densos no necesitan contener ningún conjunto abierto no vacío. La intersección de dos densos subconjuntos abiertos de un espacio topológico es nuevamente densa y abierta.

Según el teorema de aproximación de Weierstrass , cualquier función continua de valores complejos definida en un intervalo cerrado [ a ,  b ] puede aproximarse uniformemente con tanta precisión como se desee mediante una función polinomial . En otras palabras, las funciones polinomiales son densas en el espacio C [ a ,  b ] de funciones continuas de valores complejos en el intervalo [ a ,  b ], equipadas con la norma suprema .

Cada espacio métrico es denso en su terminación .

Propiedades

Cada espacio topológico es un subconjunto denso de sí mismo. Para un conjunto X equipado con la topología discreta , todo el espacio es el único subconjunto denso. Cada subconjunto no vacío de un conjunto X equipado con la topología trivial es denso, y cada topología para la que cada subconjunto no vacío es denso debe ser trivial.

La densidad es transitiva : Dados tres subconjuntos A , B y C de un espacio topológico X con A ⊆ B ⊆ C ⊆ X tal que A es denso en B y B es denso en C (en la topología del subespacio respectivo ) entonces A también es denso en C .

La imagen de un subconjunto denso bajo una función continua sobreyectiva es nuevamente densa. La densidad de un espacio topológico (la menor de las cardinalidades de sus subconjuntos densos) es una invariante topológica .

Un espacio topológico con un subconjunto denso conectado está necesariamente conectado a sí mismo.

Funciones continuas en los espacios de Hausdorff son determinadas por sus valores en subconjuntos densos: si dos funciones continuas f , g  : X → Y en un espacio de Hausdorff Y están de acuerdo en una densa subconjunto de X entonces ellos están de acuerdo en todos X .

Para los espacios métricos hay espacios universales, en los que se pueden incrustar todos los espacios de densidad dada : un espacio métrico de densidad α es isométrico a un subespacio de C ([0, 1] ^α , R ) , el espacio de funciones continuas reales en el producto de α copias del intervalo unitario .

Nociones relacionadas

Un punto x de un subconjunto A de un espacio topológico X se llama punto límite de A (en X ) si cada vecindario de x también contiene un punto de A distinto de x mismo, y un punto aislado de A en caso contrario. Se dice que un subconjunto sin puntos aislados es denso en sí mismo .

Un subconjunto A de un espacio topológico X no se denomina denso en ninguna parte (en X ) si no hay un vecindario en X en el que A sea ​​denso. De manera equivalente, un subconjunto de un espacio topológico no es denso en ninguna parte si y solo si el interior de su cierre está vacío. El interior del complemento de un conjunto denso en ninguna parte es siempre denso. El complemento de un conjunto denso cerrado en ninguna parte es un conjunto abierto denso. Dado un espacio topológico X , un subconjunto A de X que se puede expresar como la unión de innumerables subconjuntos densos de X en ninguna parte se llama magro . Los números racionales, aunque densos en los números reales, son escasos como un subconjunto de los reales.

Un espacio topológico con un subconjunto denso contable se llama separable . Un espacio topológico es un espacio de Baire si y solo si la intersección de innumerables conjuntos abiertos densos es siempre densa. Un espacio topológico se llama resolvable si es la unión de dos subconjuntos densos disjuntos. De manera más general, un espacio topológico se denomina κ-resolvable para un κ cardinal si contiene κ conjuntos densos disjuntos por pares.

Una incrustación de un espacio topológico X como un subconjunto denso de un espacio compacto se denomina compactación de X .

Un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos X y Y se dice que está definido densamente si su dominio es un subconjunto denso de X y si su rango está contenida dentro de Y . Véase también extensión lineal continua .

Un espacio topológico X se hiperconectado si y sólo si cada conjunto abierto no vacío es denso en X . Un espacio topológico es submáximo si y solo si cada subconjunto denso está abierto.

Si es un espacio métrico, entonces se dice que un subconjunto Y no vacío es ε-denso si ${\ Displaystyle \ left (X, d_ {X} \ right)}$

${\ Displaystyle (\ forall x \ in X) \, (\ existe y \ en Y) \, d_ {X} (x, y) \ leq \ varepsilon.}$

Entonces se puede demostrar que D es denso en si y solo si es ε-denso para cada${\ Displaystyle \ left (X, d_ {X} \ right)}$${\ Displaystyle \ varepsilon> 0.}$

Ver también

• Teorema de Blumberg
• Orden denso
• Denso (teoría de celosía)

Referencias

Notas

Referencias generales