Teorema de la categoría de Baire - Baire category theorem

El teorema de la categoría de Baire (BCT) es un resultado importante en la topología general y el análisis funcional . El teorema tiene dos formas, cada uno de lo que da condiciones suficientes para un espacio topológico ser un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de numerable muchos densos conjuntos abiertos es todavía denso).

Las versiones del teorema de la categoría de Baire fueron probadas por primera vez de forma independiente en 1897 y 1899 por Osgood y Baire, respectivamente. Este teorema dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire .

Declaración

Un espacio de Baire es un espacio topológico con la propiedad de que para cada colección contable de conjuntos densos abiertos $($ $U$ $n$ $)$ $\infty n = 1$ , su intersección es densa. ${\ textstyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} U_ {n}}$

( BCT1 ) Todo espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. Así, todo espacio topológico completamente metrizable es un espacio de Baire. De manera más general, cada espacio topológico que es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire.
( BCT2 ) Cada espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire. La prueba es similar a la declaración anterior; la propiedad de intersección finita asume el papel que juega la completitud.

Ninguna de estas afirmaciones implica directamente a la otra, ya que hay espacios métricos completos que no son localmente compactos (los números irracionales con la métrica definida a continuación; también, cualquier espacio de Banach de dimensión infinita), y hay espacios localmente compactos de Hausdorff que no son metrizable (por ejemplo, cualquier producto incontable de espacios de Hausdorff compactos no triviales es tal; también, varios espacios funcionales usados en el análisis funcional; el incontable espacio Fort ). Consulte Steen y Seebach en las referencias siguientes.

( BCT3 ) Un espacio métrico completo no vacío con interior no vacío, o cualquiera de sus subconjuntos con interior no vacío, no es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte.

Esta formulación es equivalente a BCT1 y, a veces, es más útil en aplicaciones. Además: si un espacio métrico completo no vacío es la unión contable de conjuntos cerrados, entonces uno de estos conjuntos cerrados tiene un interior no vacío .

Relación con el axioma de elección

La prueba de BCT1 para espacios métricos completos arbitrarios requiere alguna forma del axioma de elección ; y de hecho BCT1 es equivalente sobre ZF al axioma de elección dependiente , una forma débil del axioma de elección.

Una forma restringida del teorema de la categoría de Baire, en la que también se supone que el espacio métrico completo es separable , se puede demostrar en ZF sin principios de elección adicionales. Esta forma restringida se aplica en particular a la línea real , el espacio de Baire ω ^ω , el espacio de Cantor 2 ^ω y un espacio de Hilbert separable como $L 2 (ℝ n)$ .

Usos

BCT1 se utiliza en análisis funcional para demostrar el teorema de mapeo abierto , el teorema de grafo cerrado y el principio de acotación uniforme .

BCT1 también muestra que todo espacio métrico completo sin puntos aislados es incontable . (Si $X$ es un espacio métrico completo contable sin puntos aislados, entonces cada singleton ${x$ } en $X$ no es denso en ninguna parte , por lo que $X$ es de primera categoría en sí mismo). En particular, esto prueba que el conjunto de todos los números reales es incontable.

BCT1 muestra que cada uno de los siguientes es un espacio de Baire:

El espacio $ℝ$ de los números reales
Los números irracionales , con la métrica definida por $d ( x , y ) =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/n + 1$ , Donde $n$ es el primer índice para los que las fracciones continuas expansiones de $x$ y $y$ difieren (este es un espacio métrico completo)
El conjunto Cantor

Según BCT2 , cada variedad de Hausdorff de dimensión finita es un espacio de Baire, ya que es localmente compacto y de Hausdorff. Esto es así incluso para variedades no paracompactas (por lo tanto, no metrizables) como la línea larga .

BCT se utiliza para probar el teorema de Hartogs , un resultado fundamental en la teoría de varias variables complejas.

BCT3 se utiliza para demostrar que un espacio de Banach no puede tener una dimensión infinita numerable.

Prueba

La siguiente es una prueba estándar de que un espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. ${\ Displaystyle \ scriptstyle X}$

Sea $U n$ una colección contable de subconjuntos densos abiertos. Queremos mostrar que la intersección $\cap U n$ es densa. Un subconjunto es denso si y solo si cada subconjunto abierto no vacío lo cruza. Por lo tanto, para mostrar que la intersección es densa, es suficiente mostrar que cualquier conjunto abierto no vacío $W$ en $X$ tiene un punto $x$ en común con todas las $U n$ . Como $U 1$ es denso, $W se$ cruza con $U 1$ ; por tanto, hay un punto $x 1$ y $0 < r 1 <1$ tal que:

B (x 1, r 1) \subseteq W \cap U 1

donde $B (x, r)$ y $B (x, r)$ denotan una bola abierta y cerrada, respectivamente, centradas en $x$ con radio $r$ . Dado que cada $U n$ es densa, podemos continuar recursivamente para encontrar un par de secuencias $x n$ y $0 < r n < 1 / norte$ tal que:

B (x n, r n) \subseteq B (x n -1, r n -1) \cap U n

.

(Este paso se basa en el axioma de elección y en el hecho de que una intersección finita de conjuntos abiertos está abierta y, por lo tanto, se puede encontrar una bola abierta dentro de ella centrada en $x n$ .) Dado que $x n \in B (x m, r m)$ cuando $n > m$ , tenemos que $x n$ es Cauchy , y por lo tanto $x n$ converge a algún límite $x$ por completitud. Para cualquier $n$ , por cerrado, $x \in B (x n, r n)$ .

Por lo tanto, $x \in W$ y $x \in U n$ para todo $n$ .

Hay una demostración alternativa de M. Baker para la demostración del teorema usando el juego de Choquet .

Ver también

Citas

Referencias

Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles" . Ana. Di Mat . 3 : 1–123.
Baker, Matt (7 de julio de 2014). "Números reales y juegos infinitos, parte II: el juego Choquet y el teorema de la categoría de Baire" . Blog de matemáticas de Matt Baker .
Blair, Charles E. (1977). "El teorema de la categoría de Baire implica el principio de elecciones dependientes". Toro. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matemáticas. Astron. Phys . 25 (10): 933–934.
Gamelin, Theodore W .; Greene, Robert Everist . Introducción a la topología (2ª ed.). Dover.
Levy, Azriel (2002) [Publicado por primera vez en 1979]. Teoría básica de conjuntos (ed. Reimpresa). Dover. ISBN 0-486-42079-5.
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-158488866-6. OCLC 144216834 .
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Tao, T. (1 de febrero de 2009). "245B, notas 9: el teorema de la categoría de Baire y sus consecuencias en el espacio de Banach" .
Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces , Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk

enlaces externos

Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Baire

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