Conjunto magro - Meagre set

En los campos matemáticos de la topología general y la teoría descriptiva de conjuntos , un conjunto exiguo (también llamado un conjunto exiguo o un conjunto de primera categoría ) es un conjunto que, considerado como un subconjunto de un espacio topológico (generalmente más grande) , se encuentra en un lugar preciso. sentido pequeño o insignificante . Un espacio topológico T se llama exiguo si es un subconjunto exiguo de sí mismo; de lo contrario, se llama nonmeagre .

Los exiguos subconjuntos de un espacio fijo forman un σ-ideal de subconjuntos; Es decir, cualquier subconjunto de un conjunto magro es magro, y la unión de numerable muchos conjuntos magros es escasa. Los topólogos generales usan el término espacio de Baire para referirse a una amplia clase de espacios topológicos en los que la noción de conjunto exiguo no es trivial (en particular, el espacio completo no es exiguo). Los teóricos de conjuntos descriptivos estudian principalmente conjuntos magros como subconjuntos de los números reales , o más generalmente cualquier espacio polaco , y reservan el término espacio de Baire para un espacio polaco en particular.

El complemento de un conjunto magro es un conjunto de comeagre o conjunto residual . Un conjunto que no es escaso se llama nonmeagre y se dice que pertenece a la segunda categoría . Tenga en cuenta que las nociones de un conjunto de comeagre y un conjunto que no es de meseta no son equivalentes.

Definición

A lo largo, será un espacio topológico . ${\ Displaystyle X}$

Un subconjunto de un espacio topológico se llama denso en ninguna parte o raras en si su cierre tiene vacío interior . De manera equivalente, no es denso en ninguna parte si para cada conjunto abierto el conjunto no es denso en${\ Displaystyle B \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ subseteq X,}$${\ Displaystyle B \ cap U}$${\ Displaystyle U.}$

Un subconjunto cerrado de es denso en ninguna parte en si y sólo si su interior topológico en está vacía. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Un subconjunto de un espacio topológico se dice que es pobre en un sub magro conjunto del o de la primera categoría en si es una unión contable de la nada subconjuntos densos de un subconjunto es de la segunda categoría o nonmeagre en si no es de primera categoría en${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$

Un espacio topológico se llama magro (resp. Nonmeagre ) si es un subconjunto magro (resp. Nonmeagre) de sí mismo.

Advertencia : Si es un subconjunto de entonces ser un "sub exiguo espacio " de medios que, cuando está dotado de la topología del subespacio (inducido en él por ) a continuación, es un espacio topológico escasa (es decir, es un magro subconjunto de ). Por el contrario, ser un "magro sub conjunto " de los medios que es igual a una unión contable de la nada subconjuntos densos de lo mismo se aplica a los subconjuntos nonmeager y subespacios.${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle X.}$

Por ejemplo, si es el conjunto de todos los enteros positivos entonces es un magro sub conjunto de pero no un sub magro espacio de Si no es un punto aislado de un T ₁ espacio (lo que significa que no es un subconjunto abierto de ), entonces es un magro sub espacio de pero no un magro sub conjunto de${\ Displaystyle S: = \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {x \}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {x \}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$

Un subconjunto es comeagre en si su co instrumentar es escasa en forma equivalente, que es igual a una intersección de numerable muchos conjuntos, cada uno de cuyos interior topológico es un subconjunto denso de este uso del prefijo " co " es consistente con su uso en otra términos como " co finito ". ${\ Displaystyle A \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle X.}$

Es importante destacar que ser de la segunda categoría no es lo mismo que ser comeagre: un conjunto no puede ser ni magro ni comeagre (en este caso será de segunda categoría).

Ejemplos y condiciones suficientes

Sea un espacio topológico. ${\ Displaystyle X}$

Exiguo sub conjuntos y sub espacios

• Un subconjunto singleton es siempre un sub no escaso espacio de (es decir, que es un espacio topológico no magro). Si es un punto aislado de entonces también es un sub no magro conjunto de ; lo contrario es válido si es un espacio T ₁ .${\ Displaystyle \ {x \} \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ {x \}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• Cualquier subconjunto de un conjunto escaso es un conjunto escaso.
• Cada subconjunto denso de ninguna parte es un conjunto escaso.
• La unión de innumerables conjuntos exiguos es también un conjunto exiguo.
• Cualquier subconjunto cerrado cuyo interior en esté vacío es de la primera categoría de (es decir, es un subconjunto exiguo de ). Por lo tanto, un subconjunto cerrado de que es de la segunda categoría en debe tener un interior no vacío en${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$
• Un espacio contable de Hausdorff sin puntos aislados es escaso.
• Cualquier espacio topológico que contenga un punto aislado no es exiguo.
• Cualquier espacio discreto no es exiguo.
• Cada espacio de Baire no es exiguo, pero existen espacios no exiguos que no son espacios de Baire.
  • Dado que los espacios métricos completos , así como los espacios compactos localmente de Hausdorff son espacios de Baire, también son espacios no exiguos.
• El conjunto es un magro sub conjunto de a pesar de que es un sub no escaso espacio (es decir, no es un espacio topológico magro).${\ Displaystyle S = (\ mathbb {Q} \ times \ mathbb {Q}) \ cup \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• Debido a que los números racionales son contables, son escasos como un subconjunto de los reales y como un espacio, es decir, no forman un espacio de Baire .
• El conjunto de Cantor es escaso como un subconjunto de los reales, pero no como un subconjunto de sí mismo, ya que es un espacio métrico completo y, por lo tanto, es un espacio de Baire , según el teorema de la categoría de Baire .
• Si es un homeomorfismo, entonces un subconjunto es escaso si y solo si es escaso.${\ Displaystyle h: X \ a X}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ Displaystyle h (S)}$

Subconjunto de comeagre

• Cualquier superconjunto de un conjunto de comeagre es comeagre.
• la intersección de innumerables conjuntos de comeagre es comeagre.
  • Esto se deriva del hecho de que una unión contable de conjuntos contables es contable.

Espacios funcionales

El conjunto de funciones que tienen una derivada en algún punto es un conjunto magro en el espacio de todas las funciones continuas .

Propiedades

• Teorema de la categoría de Banach: En cualquier espacio, la unión de cualquier familia contable de conjuntos abiertos de la primera categoría es de la primera categoría.${\ Displaystyle X,}$
• Un espacio vectorial topológico localmente convexo no exiguo es un espacio en barril .
• Un subconjunto cerrado de eso es de la segunda categoría en debe tener un interior no vacío en${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$
• Si es de la segunda categoría en y si son subconjuntos de tal que entonces al menos uno es de la segunda categoría en${\ Displaystyle B \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, \ ldots}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle B \ subseteq \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} S_ {n},}$${\ Displaystyle S_ {n}}$${\ Displaystyle X.}$

Escasos subconjuntos y medida de Lebesgue

Un conjunto magro no necesita tener medida cero. No existen subconjuntos densos en ninguna parte (que son, por lo tanto, subconjuntos exiguos) que tengan una medida de Lebesgue positiva .

Relación con la jerarquía de Borel

Así como un subconjunto denso en ninguna parte no necesita estar cerrado, pero siempre está contenido en un subconjunto denso en ninguna parte cerrado (es decir, su cierre), un conjunto escaso no necesita ser un conjunto F _σ (unión contable de conjuntos cerrados), sino que siempre está contenido en un conjunto F _σ hecho a partir de conjuntos densos en ninguna parte (tomando el cierre de cada conjunto).

Doblemente, así como el complemento de un conjunto denso en ninguna parte no necesita estar abierto, sino que tiene un interior denso (contiene un conjunto abierto denso), un conjunto comeagre no necesita ser un conjunto G _δ (intersección contable de conjuntos abiertos ), pero contiene un Conjunto denso G _δ formado a partir de conjuntos abiertos densos.

Juego de Banach – Mazur

Los conjuntos magros tienen una caracterización alternativa útil en términos del juego Banach-Mazur . Sea un espacio topológico, sea ​​una familia de subconjuntos de que tienen interiores no vacíos, de modo que cada conjunto abierto no vacío tiene un subconjunto perteneciente y es un subconjunto de Entonces hay un juego Banach-Mazur correspondiente a En el juego Banach-Mazur, dos jugadores, y elegir alternativamente elementos sucesivamente más pequeños de para producir una secuencia. El jugador gana si la intersección de esta secuencia contiene un punto en ; de lo contrario, el jugador gana. ${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {W}}}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle {\ mathcal {W}},}$${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle Z.}$${\ Displaystyle X, {\ mathcal {W}}, Z.}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle Q,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {W}}}$${\ Displaystyle W_ {1} \ supseteq W_ {2} \ supseteq W_ {3} \ supseteq \ cdots.}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle X}$${\ displaystyle Q}$

Teorema : Para cualquiera que cumpla con los criterios anteriores, el jugador tiene una estrategia ganadora si y solo si es escasa.${\ Displaystyle {\ mathcal {W}}}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle X}$

Ver también

• Teorema de la categoría de Baire  : en espacios topológicos donde la intersección de innumerables conjuntos abiertos densos es densa
• Espacio Baire
• Propiedad genérica , para análogos a residual
• Conjunto insignificante , de análogos a magro
• Conjunto denso en ninguna parte
• Propiedad de Baire

Notas

Bibliografía

• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

enlaces externos

• ¿Hay un conjunto de medidas a cero que no sea exiguo?