Unión (teoría de conjuntos) - Union (set theory)

Unión de dos conjuntos:

{\ Displaystyle ~ A \ cup B}

Unión de tres conjuntos:

{\ Displaystyle ~ A \ cup B \ cup C}

La unión de A, B, C, D y E es todo excepto el área blanca.

En la teoría de conjuntos , la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. Es una de las operaciones fundamentales mediante la cual los conjuntos se pueden combinar y relacionar entre sí. A unión nular se refiere a una unión de conjuntoscero () ${\ Displaystyle 0}$ y, por definición, es igual alconjunto vacío.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

Unión de dos conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A , en B , o en ambos A y B . En símbolos,

{\ Displaystyle A \ cup B = \ {x: x \ in A {\ text {o}} x \ in B \}}

.

Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:

A = { x es un número entero par mayor que 1}

B = { x es un número entero impar mayor que 1}

{\ Displaystyle A \ cup B = \ {2,3,4,5,6, \ dots \}}

Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10 , ...}, porque 9 no es ni primo ni par.

Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}. Las apariciones múltiples de elementos idénticos no tienen ningún efecto sobre la cardinalidad de un conjunto o su contenido.

Propiedades algebraicas

La unión binaria es una operación asociativa ; es decir, para los conjuntos A , B y C ,

{\ Displaystyle A \ cup (B \ cup C) = (A \ cup B) \ cup C.}

Así, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de los anteriores se puede escribir como A ∪ B ∪ C . Además, la unión es conmutativa , por lo que los conjuntos se pueden escribir en cualquier orden. El conjunto vacío es un elemento de identidad para el funcionamiento de la unión. Es decir, un ∪ ∅ = A , para cualquier conjunto A. Además, la operación de unión es idempotente: A ∪ A = A . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la disyunción lógica .

La intersección se distribuye sobre la unión

{\ Displaystyle A \ cap (B \ cup C) = (A \ cap B) \ cup (A \ cap C)}

y la unión se distribuye sobre la intersección

{\ Displaystyle A \ cup (B \ cap C) = (A \ cup B) \ cap (A \ cup C).}

El conjunto de potencias de un conjunto U , junto con las operaciones dadas por unión, intersección y complementación , es un álgebra booleana . En este álgebra de Boole, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación mediante la fórmula

{\ Displaystyle A \ cup B = \ left (A ^ {\ text {c}} \ cap B ^ {\ text {c}} \ right) ^ {\ text {c}},}

donde el superíndice denota el complemento en el conjunto universal U . ${\ Displaystyle {} ^ {\ text {c}}}$

Uniones finitas

Se puede tomar la unión de varios conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A , B y C contiene todos los elementos de A , todos los elementos de B y todos los elementos de C , y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y sólo si x está en al menos uno de A , B , y C .

Una unión finita es la unión de un número finito de conjuntos; la frase no implica que el conjunto de unión sea un conjunto finito .

Uniones arbitrarias

La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinita . Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y sólo si existe al menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A . En símbolos:

{\ Displaystyle x \ in \ bigcup \ mathbf {M} \ iff \ existe A \ in \ mathbf {M}, \ x \ in A.}

Esta idea incluye las secciones anteriores, por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión de la colección { A , B , C }. Además, si M es la colección vacía, entonces la unión de M es el conjunto vacío.

Notaciones

La notación del concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos, a menudo se escribe o . Varios notaciones comunes para uniones arbitrarias incluyen , , y . La última de estas notaciones se refiere a la unión de la colección , donde I es un conjunto de índices y es un conjunto para cada . En el caso de que el conjunto índice I sea el conjunto de números naturales , se utiliza la notación , que es análoga a la de las sumas infinitas en serie. ${\ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, \ dots, S_ {n}}$ ${\ Displaystyle S_ {1} \ cup S_ {2} \ cup S_ {3} \ cup \ dots \ cup S_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} S_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup \ mathbf {M}}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {A \ in \ mathbf {M}} A}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ left \ {A_ {i}: i \ in I \ right \}}$ ${\ Displaystyle A_ {i}}$ ${\ Displaystyle i \ in I}$ ${\ Displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}}$