Espacio de Baire (teoría de conjuntos) - Baire space (set theory)

En la teoría de conjuntos , el espacio de Baire es el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales con una determinada topología . Este espacio se usa comúnmente en la teoría descriptiva de conjuntos , en la medida en que sus elementos a menudo se denominan "reales". Se denota N ^N , ^ω ω, por el símbolo o también ω ^ω , que no debe confundirse con el ordinal contable obtenido por exponenciación ordinal . ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$

El espacio de Baire se define como el producto cartesiano de un número infinito de copias numerables del conjunto de números naturales, y se le da la topología del producto (donde a cada copia del conjunto de números naturales se le da la topología discreta ). El espacio de Baire a menudo se representa utilizando el árbol de secuencias finitas de números naturales.

El espacio de Baire se puede contrastar con el espacio de Cantor , el conjunto de secuencias infinitas de dígitos binarios .

Topología y árboles

La topología de producto utilizada para definir el espacio de Baire se puede describir más concretamente en términos de árboles. Los conjuntos abiertos básicos de la topología del producto son conjuntos de cilindros , aquí caracterizados como:

Si se selecciona cualquier conjunto finito de coordenadas de números naturales I = { i }, y para cada i se selecciona un valor numérico natural particular v _i , entonces el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales que tienen valor v _i en la posición i es un conjunto abierto básico. Cada conjunto abierto es una unión contable de una colección de estos.

Utilizando una notación más formal, se pueden definir los cilindros individuales como

{\ Displaystyle C_ {n} [v] = \ {(a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ omega ^ {\ omega}: a_ {n} = v \}}

para una ubicación entera fija n y un valor entero v . Los cilindros son entonces los generadores de los conjuntos de cilindros: los conjuntos de cilindros constan de todas las intersecciones de un número finito de cilindros. Es decir, dado cualquier conjunto finito de coordenadas numéricas naturales y los valores numéricos naturales correspondientes para cada una, se considera la intersección de cilindros ${\ Displaystyle I \ subseteq \ omega}$ ${\ Displaystyle v_ {i}}$ ${\ Displaystyle i \ in I}$

{\ Displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} C_ {i} [v_ {i}]}

Esta intersección se denomina conjunto de cilindros y el conjunto de todos estos conjuntos de cilindros proporciona una base para la topología del producto . Cada conjunto abierto es una unión contable de tales conjuntos de cilindros.

Al pasar a una base diferente para la misma topología, se puede obtener una caracterización alternativa de conjuntos abiertos:

Si se selecciona una secuencia de números naturales { w _i : i < n }, entonces el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales que tienen valor w _i en la posición i para todo i < n es un conjunto abierto básico. Cada conjunto abierto es una unión contable de una colección de estos.

Así, un conjunto abierto básico en el espacio de Baire es el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales que se extienden a un segmento inicial finito común τ . Esto conduce a una representación del espacio de Baire como el conjunto de todos los caminos infinitos que pasan por el árbol completo ω ^<ω de secuencias finitas de números naturales ordenados por extensión. Cada segmento inicial finito es un nodo del árbol de secuencias finitas. Cada conjunto abierto está determinado por una unión (posiblemente infinita) de nodos de ese árbol. Un punto en el espacio de Baire está en un conjunto abierto si y solo si su camino pasa por uno de los nodos en su unión determinante.

La representación del espacio de Baire como caminos a través de un árbol también da una caracterización de conjuntos cerrados. Cada punto en el espacio de Baire pasa por una secuencia de nodos de ω ^<ω . Los conjuntos cerrados son complementos de los conjuntos abiertos. Cada conjunto cerrado consta de todas las secuencias de Baire que no pasan por ningún nodo que defina su conjunto abierto complementario. Para cualquier subconjunto cerrado C de espacio de Baire hay un subárbol T de ω ^<ω tal que cualquier punto x está en C si y sólo si x es un camino a través de T : el subárbol T consiste en todos los segmentos iniciales de los elementos de C . Por el contrario, el conjunto de caminos a través de cualquier subárbol de ω ^<ω es un conjunto cerrado.

Los productos cartesianos también tienen una topología alternativa, la topología de caja . Esta topología es mucho más fina que la topología del producto, ya que no limita el conjunto de indicadores a finito. Convencionalmente, el espacio de Baire no se refiere a esta topología; solo se refiere a la topología del producto. ${\ Displaystyle I = \ {i \ in \ omega \}}$

Propiedades

El espacio Baire tiene las siguientes propiedades:

Es un espacio polaco perfecto , lo que significa que es un segundo espacio contable completamente metrizable sin puntos aislados . Como tal, tiene la misma cardinalidad que la línea real y es un espacio de Baire en el sentido topológico del término.
Es de dimensión cero y está totalmente desconectado .
No es localmente compacto .
Es universal para los espacios polacos en el sentido de que se puede mapear continuamente en cualquier espacio polaco no vacío. Además, cualquier espacio polaco tiene un subespacio denso G _δ homeomorfo a un subespacio G _δ del espacio de Baire.
El espacio de Baire es homeomorfo al producto de cualquier número finito o contable de copias de sí mismo.
Es el grupo de automorfismos de un modelo saturado numerablemente infinito de alguna teoría completa . ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle T}$

Relación con la línea real

El espacio de Baire es homeomórfico para el conjunto de números irracionales cuando se les da la topología subespacial heredada de la línea real. Se puede construir un homeomorfismo entre el espacio de Baire y lo irracional utilizando fracciones continuas . Es decir, dada una secuencia , podemos asignar un número irracional correspondiente mayor que 1 ${\ Displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) \ in \ omega ^ {\ omega}}$

{\ Displaystyle x = [a_ {0} +1; a_ {1} + 1, a_ {2} +1, \ cdots] = (a_ {0} +1) + {\ frac {1} {(a_ { 1} +1) + {\ frac {1} {(a_ {2} +1) + \ cdots}}}}}

Usando obtenemos otro homeomorfismo de los irracionales en el intervalo unitario abierto y podemos hacer lo mismo con los irracionales negativos. Vemos que los irracionales son la suma topológica de cuatro espacios homeomorfos al espacio de Baire y, por tanto, también homeomorfos al espacio de Baire. ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ ${\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle (0,1)}$

Desde el punto de vista de la teoría descriptiva de conjuntos , el hecho de que la línea real esté conectada provoca dificultades técnicas. Por este motivo, es más habitual estudiar el espacio de Baire. Debido a que cada espacio polaco es la imagen continua del espacio de Baire, a menudo es posible probar resultados sobre espacios polacos arbitrarios mostrando que estas propiedades son válidas para el espacio de Baire y se conservan mediante funciones continuas .

ω ^ω también tiene un interés independiente, pero menor, en el análisis real , donde se considera un espacio uniforme . Las estructuras uniformes de ω ^ω e Ir (los irracionales) son diferentes, sin embargo: ω ^ω está completo en su métrica habitual mientras que Ir no lo está (aunque estos espacios son homeomorfos).

El operador de turno

El operador de turno en el espacio de Baire, cuando se asigna al intervalo unitario de los reales , se convierte en el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing . Es decir, dada una secuencia , el operador de turno T regresa . Asimismo, dada la fracción continua , el mapa de Gauss regresa . El operador correspondiente para funciones desde el espacio de Baire hasta el plano complejo es el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing ; es el operador de transferencia del mapa de Gauss. Es decir, se consideran mapas desde el espacio de Baire hasta el plano complejo . Este espacio de mapas hereda una topología de la topología del producto en el espacio de Baire; por ejemplo, se pueden considerar funciones que tienen convergencia uniforme . El mapa de turnos, que actúa sobre este espacio de funciones, es entonces el operador GKW. ${\ Displaystyle h (x) = 1 / x- \ lfloor 1 / x \ rfloor}$ ${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots)}$ ${\ Displaystyle T (a_ {1}, a_ {2}, \ cdots) = (a_ {2}, \ cdots)}$ ${\ Displaystyle x = [a_ {1}, a_ {2}, \ cdots]}$ ${\ Displaystyle h (x) = [a_ {2}, \ cdots]}$ ${\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

La medida de Haar del operador de turno, es decir, una función que es invariante bajo turnos, viene dada por la medida de Minkowski . Es decir, uno tiene eso , donde T es el desplazamiento y E cualquier subconjunto medible de ω ^ω . ${\ Displaystyle (...) ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle (TE) ^ {\ prime} = E ^ {\ prime}}$