Functores adjuntos - Adjoint functors

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , la adjunción es una relación que pueden tener dos functores . Dos functores que se encuentran en esta relación se conocen como functores adjuntos , uno es el adjunto izquierdo y el otro el adjunto derecho . Los pares de functores adjuntos son omnipresentes en matemáticas y a menudo surgen de construcciones de "soluciones óptimas" a ciertos problemas (es decir, construcciones de objetos que tienen una cierta propiedad universal ), como la construcción de un grupo libre en un conjunto en álgebra, o la construcción de la compactación Stone-Čech de un espacio topológico en topología.

Por definición, una adjunción entre categorías y es un par de functores (se supone que son covariantes ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle F: {\ mathcal {D}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}$   y   ${\ Displaystyle G: {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {D}}}$

y, para todos los objetos en y en una biyección entre los respectivos conjuntos de morfismos ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X) \ cong \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {D}} (Y, GX)}$

de tal manera que esta familia de biyecciones es natural en y . La naturalidad aquí significa que hay isomorfismos naturales entre el par de functores y para un in fijo , y también el par de functores y para un in fijo . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (F-, X): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (-, GX): {\ mathcal {D}} \ to \ mathrm {Set}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (FY, -): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (Y, G -): {\ mathcal {C}} \ to \ mathrm {Set}}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

El functor se denomina functor adjunto izquierdo o adjunto izquierdo a , mientras que se denomina functor adjunto derecho o adjunto derecho a . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$

Un adjunto entre categorías y es algo parecido a una "forma débil" de una equivalencia entre y , y de hecho toda equivalencia es un adjunto. En muchas situaciones, un adjunto se puede "actualizar" a una equivalencia, mediante una modificación natural adecuada de las categorías y functores involucrados. ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Terminología y notación

Se utilizan dos raíces diferentes : "adjunta" y "adjunta". Del diccionario de inglés más corto de Oxford, "adjunto" es del latín, "adjunto" es del francés.

En Mac Lane, Categorías para el matemático que trabaja, cap. 4, "Adjuntos", se puede verificar el siguiente uso. Dada una familia

${\ Displaystyle \ varphi _ {XY}: \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X) \ cong \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {D}} (Y, GX)}$

de las biyecciones hom-set, llamamos "adjunción" o "adjunción entre y ". Si es una flecha hacia adentro , es el "adjunto" derecho de (p. 81). El functor se deja "adjunto" y es adjunto a la derecha . (Tenga en cuenta que puede tener en sí mismo un adjunto derecho que sea bastante diferente de ; consulte a continuación un ejemplo). ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X)}$${\ Displaystyle \ varphi f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$

En general, las frases " es un adjunto a la izquierda" y " tiene un adjunto a la derecha" son equivalentes. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$

Si F se deja adjunto a G , también escribimos

${\ Displaystyle F \ dashv G.}$

La terminología proviene de la idea espacial de Hilbert de operadores adjuntos , con , que es formalmente similar a la relación anterior entre hom-sets. La analogía con mapas adjuntos de espacios de Hilbert puede precisarse en ciertos contextos. ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ langle Ty, x \ rangle = \ langle y, Ux \ rangle}$

Introducción y motivación

El lema es "Los functors adjuntos surgen en todas partes".

-  Saunders Mac Lane, Categorías para el matemático que trabaja

La larga lista de ejemplos en este artículo indica que las construcciones matemáticas comunes son muy a menudo functores adjuntos. En consecuencia, los teoremas generales sobre los functores adjuntos izquierdo / derecho codifican los detalles de muchos resultados útiles y, por lo demás, no triviales. Tales teoremas generales incluyen la equivalencia de las diversas definiciones de functores adjuntos, la unicidad de un adjunto derecho para un adjunto izquierdo dado, el hecho de que los functores adjuntos izquierdo / derecho conservan respectivamente colimits / límites (que también se encuentran en todas las áreas de las matemáticas) , y los teoremas generales del functor adjunto que dan las condiciones bajo las cuales un funtor dado es un adjunto izquierdo / derecho.

Soluciones a problemas de optimización

En cierto sentido, un funtor adjunto es una forma de dar la solución más eficiente a algún problema a través de un método que es formulado . Por ejemplo, un problema elemental en la teoría de anillos es cómo convertir un rng (que es como un anillo que podría no tener una identidad multiplicativa) en un anillo . La forma más eficiente es unir un elemento '1' al rng, unir todos (y solo) los elementos que son necesarios para satisfacer los axiomas del anillo (por ejemplo, r +1 para cada r en el anillo) y no imponer relaciones en el anillo recién formado que no son forzados por axiomas. Además, esta construcción es formulaica en el sentido de que funciona esencialmente de la misma manera para cualquier rng.

Esto es bastante vago, aunque sugerente, y puede precisarse en el lenguaje de la teoría de categorías: una construcción es más eficiente si satisface una propiedad universal y es formulaica si define un funtor . Las propiedades universales vienen en dos tipos: propiedades iniciales y propiedades terminales. Dado que se trata de nociones duales , solo es necesario discutir una de ellas.

La idea de utilizar una propiedad inicial es establecer el problema en términos de alguna categoría de auxiliar de E , por lo que el problema en la mano corresponde a la búsqueda de un objeto inicial de E . Esto tiene la ventaja de que la optimización , el sentido de que el proceso encuentra la solución más eficiente , significa algo riguroso y reconocible, más bien como la consecución de un supremo . La categoría E también es formulista en esta construcción, ya que siempre es la categoría de elementos del funtor al que se está construyendo un adjunto.

Volviendo a nuestro ejemplo: tome el rng R dado y haga una categoría E cuyos objetos sean homomorfismos rng R → S , con S un anillo que tiene una identidad multiplicativa. Los morfismos en E entre R → S ₁ y R → S ₂ son triángulos conmutativos de la forma ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) donde S ₁ → S ₂ es un mapa de anillo (que conserva la identidad). (Tenga en cuenta que esta es precisamente la definición de la categoría de coma de R sobre la inclusión de anillos unitarios en rng.) La existencia de un morfismo entre R → S ₁ y R → S ₂ implica que S ₁ es al menos una solución tan eficiente como S ₂ a nuestro problema: S ₂ puede tener más elementos adjuntos y / o más relaciones no impuestas por axiomas que S ₁ . Por lo tanto, la afirmación de que un objeto R → R * es inicial en E , es decir, que hay un morfismo de él a cualquier otro elemento de E , significa que el anillo R * es la solución más eficiente a nuestro problema.

Los dos hechos de que este método de convertir rngs en anillos es más eficiente y formulado se pueden expresar simultáneamente diciendo que define un funtor adjunto . Más explícitamente: Sea F el proceso anterior de unir una identidad a un rng, por lo que F ( R ) = R * . Deje G denota el proceso de “olvidar" si un anillo de S tiene una identidad y teniendo en cuenta que simplemente como un generador de números aleatorios, por lo que esencialmente G ( S ) = S . Entonces F es el funtor adjunto izquierdo de G .

Sin embargo, tenga en cuenta que todavía no hemos construido R * ; es un hecho algebraico importante y no del todo trivial que tal functor adjunto izquierdo R → R * realmente exista.

Simetría de problemas de optimización

También es posible comenzar con el funtor F y plantear la siguiente pregunta (vaga): ¿hay algún problema para cuál F es la solución más eficiente?

La noción de que F es la solución más eficiente al problema planteado por G es, en cierto sentido riguroso, equivalente a la noción de que G plantea el problema más difícil que resuelve F.

Esto da la intuición detrás del hecho de que los funtores adjuntos se presentan en pares: si F es adjunto izquierdo de G , entonces G es adjunto derecho de F .

Definiciones formales

Hay varias definiciones equivalentes para functores adjuntos:

• Las definiciones a través de morfismos universales son fáciles de establecer y requieren verificaciones mínimas al construir un functor adjunto o probar que dos functores son adjuntos. También son los más análogos a nuestra intuición que involucra optimizaciones.
• La definición a través de hom-sets hace que la simetría sea más aparente y es la razón para usar la palabra adjunto .
• La definición mediante el adjunto de unidad de cuenta es conveniente para las demostraciones sobre functores que se sabe que son adjuntos, porque proporcionan fórmulas que pueden manipularse directamente.

La equivalencia de estas definiciones es bastante útil. Los functores adjuntos surgen en todas partes, en todas las áreas de las matemáticas. Dado que la estructura en cualquiera de estas definiciones da lugar a las estructuras en las otras, cambiar entre ellas hace uso implícito de una gran cantidad de detalles tediosos que de otra manera tendrían que repetirse por separado en cada área temática.

Convenciones

La teoría de los adjuntos tiene los términos izquierda y derecha en su base, y hay muchos componentes que viven en una de las dos categorías C y D que se están considerando. Por lo tanto, puede ser útil elegir las letras en orden alfabético de acuerdo con si viven en la categoría "izquierda" C o en la categoría "derecha" D , y también escribirlas en este orden siempre que sea posible.

En este artículo, por ejemplo, las letras X , F , f , ε denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría C , las letras Y , G , g , η denotarán consistentemente cosas que viven en la categoría D , y siempre que sea posible tales se hará referencia a las cosas en orden de izquierda a derecha (un funtor F  : D → C puede considerarse "vivo" donde están sus salidas, en C ).

Definición a través de morfismos universales

Por definición, un funtor es un funtor adjunto izquierdo si para cada objeto en el que existe un morfismo universales a partir de . Explicado, esto significa que para cada objeto en los que existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un único morfismo con . ${\ Displaystyle F: D \ a C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle G (X)}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ epsilon _ {X}: F (G (X)) \ to X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle f: F (Y) \ a X}$${\ Displaystyle g: Y \ a G (X)}$${\ Displaystyle \ epsilon _ {X} \ circ F (g) = f}$

La última ecuación se expresa mediante el siguiente diagrama conmutativo :

En esta situación, se puede demostrar que se puede convertir en un funtor de una manera única tal que para todos los morfismos en ; luego se llama adjunto izquierdo a . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G: C \ a D}$${\ Displaystyle \ epsilon _ {X} \ circ F (G (f)) = f \ circ \ epsilon _ {X '}}$${\ Displaystyle f: X '\ a X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$

De manera similar, podemos definir functores adjuntos a la derecha. Un funtor es un funtor adjunto derecho si para cada objeto de , existe un morfismo universal de a . Explicado, esto significa que para cada objeto en , existe un objeto en y un morfismo tal que para cada objeto en y cada morfismo existe un morfismo único con . ${\ Displaystyle G: C \ a D}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle F (Y)}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ eta _ {Y}: Y \ a G (F (Y))}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle g: Y \ a G (X)}$${\ Displaystyle f: F (Y) \ a X}$${\ Displaystyle G (f) \ circ \ eta _ {Y} = g}$

Una vez más, esto se puede convertir de forma única en un functor tal que para un morfismo en ; luego se denomina adjunto derecho a . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F: D \ a C}$${\ Displaystyle G (F (g)) \ circ \ eta _ {Y} = \ eta _ {Y '} \ circ g}$${\ Displaystyle g: Y \ to Y '}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$

Es cierto, como implica la terminología, que se deja adjunto a if y sólo si se adjunta a la derecha . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$

Estas definiciones a través de morfismos universales a menudo son útiles para establecer que un funtor dado es adjunto a la izquierda o a la derecha, porque son minimalistas en sus requisitos. También son intuitivamente significativos en el sentido de que encontrar un morfismo universal es como resolver un problema de optimización.

Definición mediante adjunción Hom-set

Una adjunción hom-set entre dos categorías C y D consta de dos functores F  : D → C y G  : C → D y un isomorfismo natural

${\ Displaystyle \ Phi: \ mathrm {hom} _ {C} (F -, -) \ to \ mathrm {hom} _ {D} (-, G-)}$.

Esto especifica una familia de biyecciones.

${\ Displaystyle \ Phi _ {Y, X}: \ mathrm {hom} _ {C} (FY, X) \ to \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GX)}$

Para todos los objetos X en C y Y en D .

En esta situación, F es adjunto izquierdo de G y G es adjunto derecho de F .

Esta definición es un compromiso lógico en el sentido de que es algo más difícil de satisfacer que las definiciones de morfismo universal y tiene menos implicaciones inmediatas que la definición de cuenta-unidad. Es útil debido a su obvia simetría y como un trampolín entre las otras definiciones.

Para interpretar Φ como un isomorfismo natural , uno debe reconocer hom _C ( F -, -) y hom _D (-, G -) como functores. De hecho, ambos son bifunctores desde D ^op × C hasta Set (la categoría de conjuntos ). Para obtener más información, consulte el artículo sobre functores hom . Explícitamente, la naturalidad de Φ significa que para todos los morfismos f  : X → X ′ en C y todos los morfismos g  : Y ′ → Y en D el siguiente diagrama conmuta :

Las flechas verticales de este diagrama son las inducidas por la composición. Formalmente, Hom ( Fg , f ): Hom _C ( FY , X ) → Hom _C ( FY ′ , X ′ ) viene dado por h → f o h o Fg para cada h en Hom _C ( FY , X ). Hom ( g , Gf ) es similar.

Definición mediante adjunción de unidad de conteo

Una adjunción de unidad de cuenta entre dos categorías C y D consta de dos functores F  : D → C y G  : C → D y dos transformaciones naturales

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ varepsilon &: FG \ a 1 _ {\ mathcal {C}} \\\ eta &: 1 _ {\ mathcal {D}} \ to GF \ end {alineado}}}$

respectivamente llamado el contador y la unidad de la adjunción (terminología del álgebra universal ), de modo que las composiciones

${\ displaystyle F {\ xrightarrow {\; F \ eta \;}} FGF {\ xrightarrow {\; \ varepsilon F \,}} F}$

${\ displaystyle G {\ xrightarrow {\; \ eta G \;}} GFG {\ xrightarrow {\; G \ varepsilon \,}} G}$

son las transformaciones de identidad 1 _F y 1 _G en F y G respectivamente.

En esta situación decimos que F es adyacente a la izquierda de G y G es adyacente a la derecha de F , y puede indicar esta relación por escrito    , o simplemente    . ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ eta): F \ dashv G}$${\ Displaystyle F \ dashv G}$

En forma de ecuación, las condiciones anteriores en ( ε , η ) son las ecuaciones de unidad de cuenta

${\ displaystyle {\ begin {alineado} 1_ {F} & = \ varepsilon F \ circ F \ eta \\ 1_ {G} & = G \ varepsilon \ circ \ eta G \ end {alineado}}}$

lo que significa que para cada X en C y cada Y en D ,

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 1_ {FY} & = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ 1_ {GX} & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX} \ end {alineado}}}$.

Tenga en cuenta que denota el funtor de identificación en la categoría , denota la transformación natural de identidad del funtor F a sí mismo y denota el morfismo de identidad del objeto FY . ${\ Displaystyle 1 _ {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle 1_ {F}}$${\ Displaystyle 1_ {FY}}$

Estas ecuaciones son útiles para reducir pruebas sobre functores adjuntos a manipulaciones algebraicas. A veces se les llama identidades de triángulos , oa veces ecuaciones en zig-zag debido a la apariencia de los diagramas de cuerdas correspondientes . Una forma de recordarlos es escribir primero la ecuación sin sentido y luego completar F o G en una de las dos formas simples que definen las composiciones. ${\ Displaystyle 1 = \ varepsilon \ circ \ eta}$

Nota: El uso del prefijo "co" en count aquí no es consistente con la terminología de límites y colimits, porque un colimit satisface una propiedad inicial mientras que los morfismos de count satisfarán propiedades terminales , y dualmente. El término unidad aquí se toma prestado de la teoría de las mónadas donde parece la inserción de la identidad 1 en un monoide.

Historia

La idea de functores adjuntos fue introducida por Daniel Kan en 1958. Como muchos de los conceptos de la teoría de categorías, fue sugerida por las necesidades del álgebra homológica , que en ese momento estaba dedicada a los cálculos. Aquellos enfrentados a hacer presentaciones ordenadas y sistemáticas del tema habrían notado relaciones tales como

hom ( F ( X ), Y ) = hom ( X , G ( Y ))

en la categoría de grupos abelianos , donde F era el functor (es decir, tome el producto tensorial con A ), y G era el functor hom ( A , -) (esto ahora se conoce como el adjunto tensor-hom ). El uso del signo igual es un abuso de notación ; esos dos grupos no son realmente idénticos, pero hay una forma de identificarlos que es natural . Se puede ver que ser natural sobre la base, en primer lugar, que son dos descripciones alternativas de las asignaciones de bilineales de X × A a Y . Eso es, sin embargo, algo particular en el caso del producto tensorial. En la teoría de categorías, la "naturalidad" de la biyección se subsume en el concepto de isomorfismo natural . ${\ Displaystyle - \ otimes A}$

Ubicuidad

Si uno comienza a buscar estos pares de functores adjuntos, resultan ser muy comunes en el álgebra abstracta y también en otros lugares. La sección de ejemplo a continuación proporciona evidencia de esto; además, las construcciones universales , que pueden resultar más familiares para algunos, dan lugar a numerosos pares de functores adjuntos.

De acuerdo con el pensamiento de Saunders Mac Lane , cualquier idea, como los functores adjuntos, que se presenten con suficiente amplitud en las matemáticas debe estudiarse por sí misma.

Los conceptos se pueden juzgar según su uso en la resolución de problemas, así como por su uso en la construcción de teorías. La tensión entre estas dos motivaciones fue especialmente grande durante la década de 1950, cuando se desarrolló inicialmente la teoría de categorías. Ingrese a Alexander Grothendieck , quien usó la teoría de categorías para tomar la orientación de la brújula en otros trabajos: en análisis funcional , álgebra homológica y finalmente geometría algebraica .

Probablemente sea incorrecto decir que promovió el concepto de funtor adjunto de forma aislada: pero el reconocimiento del papel de la adjunción era inherente al enfoque de Grothendieck. Por ejemplo, uno de sus mayores logros fue la formulación de la dualidad de Serre en forma relativa, vagamente, en una familia continua de variedades algebraicas. Toda la prueba giraba en torno a la existencia de un adjunto derecho a un determinado funtor. Esto es algo innegablemente abstracto y no constructivo, pero también poderoso a su manera.

Ejemplos de

Grupos libres

La construcción de grupos libres es un ejemplo común y esclarecedor.

Sea F  : Set → Grp el functor que asigna a cada conjunto Y el grupo libre generado por los elementos de Y , y sea G  : Grp → Set el functor olvidadizo , que asigna a cada grupo X su conjunto subyacente. Entonces F se deja adjunto a G :

Morfismos iniciales. Para cada conjunto Y , el conjunto GFY es sólo el conjunto subyacente del grupo libre el año fiscal generada por Y . Sea     el mapa de conjunto dado por "inclusión de generadores". Este es un morfismo inicial de Y a G , ya que cualquier conjunto de mapas de Y para el conjunto subyacente GW de algún grupo W factor de voluntad a través de     a través de un homomorfismo único grupo de AF a W . Esta es precisamente la propiedad universal del grupo libre en Y . ${\ Displaystyle \ eta _ {Y}: Y \ to GFY}$${\ Displaystyle \ eta _ {Y}: Y \ to GFY}$

Morfismos terminales. Para cada grupo X , el grupo FGX es el grupo libre generado libremente por GX , los elementos de X . Sea     el homomorfismo de grupo que envía los generadores de FGX a los elementos de X a los que corresponden, que existe por propiedad universal de los grupos libres. Entonces cada uno     es un morfismo terminal de F a X , porque cualquier homomorfismo de grupo de un grupo libre FZ a X se factorizará a     través de un mapa de conjunto único de Z a GX . Esto significa que ( F , G ) es un par adjunto. ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {X}: FGX \ a X}$${\ Displaystyle (GX, \ varepsilon _ {X})}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {X}: FGX \ a X}$

Adjunción Hom-set. Los homomorfismos de grupo del grupo libre FY a un grupo X corresponden precisamente a mapas del conjunto Y al conjunto GX : cada homomorfismo de FY a X está completamente determinado por su acción sobre los generadores, otra reafirmación de la propiedad universal de los grupos libres. Se puede verificar directamente que esta correspondencia es una transformación natural, lo que significa que es un complemento hom-set para el par ( F , G ).

adjunción de unidad de cuenta. También se puede verificar directamente que ε y η son naturales. Entonces, una verificación directa de que forman un adjunto de unidad de cuenta     es la siguiente: ${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ eta): F \ dashv G}$

La primera ecuación     cuenta -unidad dice que para cada conjunto Y la composición ${\ Displaystyle 1_ {F} = \ varepsilon F \ circ F \ eta}$

${\ displaystyle FY {\ xrightarrow {\; F (\ eta _ {Y}) \;}} FGFY {\ xrightarrow {\; \ varepsilon _ {FY} \,}} FY}$

debe ser la identidad. El grupo intermedio FGFY es el grupo libre generado libremente por las palabras del grupo libre FY . (Piense en estas palabras colocadas entre paréntesis para indicar que son generadores independientes). La flecha     es el homomorfismo de grupo de FY a FGFY enviando cada generador y de FY a la palabra correspondiente de longitud uno ( y ) como generador de FGFY . La flecha     es el homomorfismo de grupo de FGFY a FY enviando cada generador a la palabra de FY a la que corresponde (por lo que este mapa está "soltando paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en el año fiscal . ${\ Displaystyle F (\ eta _ {Y})}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {FY}}$

La segunda ecuación de unidad de     cuenta dice que para cada grupo X la composición ${\ Displaystyle 1_ {G} = G \ varepsilon \ circ \ eta G}$

 ${\ displaystyle GX {\ xrightarrow {\; \ eta _ {GX} \;}} GFGX {\ xrightarrow {\; G (\ varepsilon _ {X}) \,}} GX}$ 

debe ser la identidad. El conjunto intermedio GFGX es solo el conjunto subyacente de FGX . La flecha     es el mapa de conjunto de "inclusión de generadores" del conjunto GX al conjunto GFGX . La flecha     es el mapa de conjuntos de GFGX a GX que subyace al homomorfismo de grupo enviando cada generador de FGX al elemento de X al que corresponde ("soltando paréntesis"). La composición de estos mapas es de hecho la identidad en GX . ${\ Displaystyle \ eta _ {GX}}$${\ Displaystyle G (\ varepsilon _ {X})}$

Construcciones libres y functores olvidadizos

Los objetos libres son todos ejemplos de un adjunto izquierdo a un functor olvidadizo que asigna a un objeto algebraico su conjunto subyacente. Estos functores libres algebraicos tienen generalmente la misma descripción que en la descripción detallada de la situación de grupo libre anterior.

Límites y functores diagonales

Los productos , los productos con fibras , los ecualizadores y los granos son todos ejemplos de la noción categórica de límite . Cualquier funtor límite es adjunto a un funtor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de límites en cuestión), y el contador de la adjunción proporciona los mapas de definición del objeto límite (es decir, del funtor diagonal en el límite, en el categoría functor). A continuación se muestran algunos ejemplos específicos.

• Productos Sea Π: Grp ² → Grp el functor que asigna a cada par ( X ₁ , X ₂ ) el grupo de productos X ₁ × X ₂ , y sea Δ: Grp → Grp ² el functor diagonal que asigna a cada grupo X el par ( X , X ) en la categoría de producto Grp ² . La propiedad universal del grupo de productos muestra que Π es adyacente a la derecha de Δ. La cuenta de esta adjunción es el par definitorio de mapas de proyección de X ₁ × X ₂ a X ₁ y X ₂ que definen el límite, y la unidad es la inclusión diagonal de un grupo X en X × X (mapeando xa (x ,X)).

El producto cartesiano de conjuntos , el producto de anillos, el producto de espacios topológicos, etc. siguen el mismo patrón; también puede extenderse de manera sencilla a más de dos factores. De manera más general, cualquier tipo de límite es adyacente a un funtor diagonal.

• Granos. Considere la categoría D de homomorfismos de grupos abelianos. Si f ₁  : A ₁ → B ₁ y f ₂  : A ₂ → B ₂ son dos objetos de D , entonces un morfismo de f ₁ a f ₂ es un par ( g _A , g _B ) de morfismos tal que g _B f ₁ = f ₂ g _A . Sea G  : D → Ab el functor que asigna a cada homomorfismo su núcleo y sea F  : Ab → D el functor que mapea el grupo A con el homomorfismo A → 0. Entonces G es adyacente a la derecha de F , que expresa el universal propiedad de los granos. La cuenta de esta adjunción es la incrustación definitoria del núcleo de un homomorfismo en el dominio del homomorfismo, y la unidad es el morfismo que identifica un grupo A con el núcleo del homomorfismo A → 0.

Una variación adecuada de este ejemplo también muestra que los functores del kernel para espacios vectoriales y para módulos son adjuntos correctos. De manera análoga, se puede demostrar que los functores de cokernel para grupos abelianos, espacios vectoriales y módulos se dejan adjuntos.

Colimits y functores diagonales

Los coproductos , los coproductos fibrados , los coequalizadores y los cokernels son todos ejemplos de la noción categórica de colimit . Cualquier functor colimit se deja adjunto a un functor diagonal correspondiente (siempre que la categoría tenga el tipo de colimits en cuestión), y la unidad de la adjunción proporciona los mapas de definición en el objeto colimit. A continuación se muestran algunos ejemplos específicos.

• Coproductos. Si F  : Ab ² → Ab asigna a cada par ( X ₁ , X ₂ ) de grupos abelianos su suma directa , y si G  : Ab → Ab ² es el funtor que asigna a cada grupo abeliano Y el par ( Y , Y ) , entonces F se deja adjunto a G , de nuevo una consecuencia de la propiedad universal de las sumas directas. La unidad de este par adjunto es el par definitorio de mapas de inclusión de X ₁ y X ₂ en la suma directa, y el contador es el mapa aditivo de la suma directa de ( X , X ) para volver a X (enviando un elemento ( a , b ) de la suma directa al elemento a + b de X ).

Se dan ejemplos análogos por la suma directa de espacios vectoriales y módulos , por el producto libre de grupos y por la unión disjunta de conjuntos.

Más ejemplos

Álgebra

• Adjuntando una identidad a un rng . Este ejemplo se discutió en la sección de motivación anterior. Dado un rng R , se puede agregar un elemento de identidad multiplicativo tomando R x Z y definiendo un producto bilineal Z con (r, 0) (0,1) = (0,1) (r, 0) = (r, 0), (r, 0) (s, 0) = (rs, 0), (0,1) (0,1) = (0,1). Esto construye un adjunto izquierdo al funtor que lleva un anillo al rng subyacente.
• Adjuntar una identidad a un semigrupo . De manera similar, dado un semigrupo S , podemos agregar un elemento de identidad y obtener un monoide tomando la unión disjunta S {1} y definiendo una operación binaria en ella de manera que extienda la operación en S y 1 sea un elemento de identidad. Esta construcción da un funtor que es un adjunto izquierdo al funtor que lleva un monoide al semigrupo subyacente.${\ Displaystyle \ sqcup}$
• Extensiones de anillo. Suponga que R y S son anillos, y ρ: R → S es un homomorfismo de anillo . Entonces S puede verse como un módulo R (izquierda) , y el producto tensorial con S produce un funtor F  : R - Mod → S - Mod . Entonces F se deja adjunto al functor olvidadizo G  : S - Mod → R - Mod .
• Productos tensores . Si R es un anillo y M es unmódulo R derecho, entonces el producto tensorial con M produce un funtor F  : R - Mod → Ab . El funtor G  : Ab → R - Mod , definido por G ( A ) = Hom _Z ( M , A ) por cada grupo abeliano A , es un adjunto derecho a F .
• De monoides y grupos a anillos. La construcción integral del anillo monoide proporciona un functor de monoides a anillos. Este funtor se deja adjunto al funtor que asocia a un anillo dado su monoide multiplicativo subyacente. De manera similar, la construcción del anillo de grupo integral produce un funtor de grupos a anillos, adjunto al funtor que asigna a un anillo dado su grupo de unidades . También se puede empezar con un campo K y considerar la categoría de K - álgebra en lugar de la categoría de anillos, para obtener los anillos monoides y de grupo sobre K .
• Campo de fracciones. Considere la categoría Dom _m de dominios integrales con morfismos inyectivos. El functor olvidadizo Field → Dom _m from fields tiene un adjunto izquierdo: asigna a cada dominio integral su campo de fracciones .
• Anillos polinomiales . Sea Ring _* la categoría de anillos conmutativos puntiagudos con unidad (pares (A, a) donde A es un anillo, a ∈ A y los morfismos conservan los elementos distinguidos). El functor olvidadizo G: Ring _* → Ring tiene un adjunto izquierdo - asigna a cada anillo R el par (R [x], x) donde R [x] es el anillo polinomial con coeficientes de R.
• Abelianización . Considere el functor de inclusión G  : Ab → Grp de la categoría de grupos abelianos a la categoría de grupos . Tiene un adjunto izquierdo llamado abelianización que asigna a cada grupo G el grupo cociente G ^ab = G / [ G , G ].
• El grupo Grothendieck . En la teoría K , el punto de partida es observar que la categoría de haces de vectores en un espacio topológico tiene una estructura monoide conmutativa bajo suma directa . Se puede hacer un grupo abeliano de este monoide, el grupo de Grothendieck , agregando formalmente un inverso aditivo para cada paquete (o clase de equivalencia). Alternativamente, se puede observar que el funtor que para cada grupo toma el monoide subyacente (ignorando los inversos) tiene un adjunto izquierdo. Esta es una construcción única, en línea con la discusión de la tercera sección anterior. Es decir, se puede imitar la construcción de números negativos ; pero existe la otra opción de un teorema de existencia . Para el caso de estructuras algebraicas finitarias, la existencia en sí misma puede referirse al álgebra universal o teoría de modelos ; naturalmente, también hay una prueba adaptada a la teoría de categorías.
• Reciprocidad de Frobenius en la teoría de la representación de grupos : ver representación inducida . Este ejemplo presagió la teoría general en aproximadamente medio siglo.

Topología

• Un funtor con un adjunto izquierdo y derecho. Sea G el funtor de los espacios topológicos a los conjuntos que asocia a cada espacio topológico su conjunto subyacente (es decir, olvidando la topología). G tiene un adjunto izquierdo F , creando el espacio discreto en un conjunto Y , y un adjunto derecho H crear la topología trivial en Y .
• Suspensiones y bucles. Dados los espacios topológicos X e Y , el espacio [ SX , Y ] de clases de homotopía de mapas de la suspensión SX de X a Y es naturalmente isomorfo al espacio [ X , Ω Y ] de clases de homotopía de mapas desde X al espacio de bucle Ω Y de Y . Por lo tanto, el funtor de suspensión se deja adjunto al funtor de espacio de bucle en la categoría de homotopía , un hecho importante en la teoría de la homotopía .
• Compactación Stone – Čech. Sea KHaus la categoría de espacios compactos de Hausdorff y G  : KHaus → Top sea ​​el functor de inclusión de la categoría de espacios topológicos . Entonces G tiene una F adjunta a la izquierda  : Arriba → KHaus , la compactación Stone-Čech . La unidad de este par adjunto produce un mapa continuo de cada espacio topológico X en su compactación Stone-Čech.
• Imágenes directas e inversas de gavillas. Todo mapa continuo f  : X → Y entre espacios topológicos induce un functor f _∗ de la categoría de haces (de conjuntos, o grupos abelianos, o anillos ...) en X a la categoría correspondiente de haces en Y , el functor de imagen directo . También induce un funtor f ⁻¹ de la categoría de haces de grupos abelianos en Y a la categoría de haces de grupos abelianos en X , el functor de imagen inverso . f ⁻¹ se deja adjunto a f _∗ . Aquí, un punto más sutil es que el adjunto izquierdo para las poleas coherentes será diferente al de las gavillas (de conjuntos).
• Soberificación. El artículo sobre la dualidad de Stone describe una unión entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de espacios sobrios que se conoce como soberificación. Cabe destacar que el artículo también contiene una descripción detallada de otro adjunto que prepara el camino para la famosa dualidad de espacios sobrios y locales espaciales, explotados en topología sin sentido .

Posets

Cada conjunto parcialmente ordenado se pueden ver como una categoría (donde los elementos de la poset convierten en objetos de la categoría y tenemos un único morfismo de x a y si y sólo si x ≤ y ). Un par de functores adjuntos entre dos conjuntos parcialmente ordenados se denomina conexión de Galois (o, si es contravariante, conexión de Galois antitono ). Consulte ese artículo para ver una serie de ejemplos: el caso de la teoría de Galois, por supuesto, es uno de los principales. Cualquier conexión de Galois da lugar a operadores de cierre y biyecciones de preservación de orden inverso entre los elementos cerrados correspondientes.

Como es el caso de los grupos de Galois, el interés real radica a menudo en refinar una correspondencia con una dualidad (es decir , isomorfismo de orden antitono ). Un tratamiento de la teoría de Galois en este sentido por Kaplansky fue influyente en el reconocimiento de la estructura general aquí.

El caso de orden parcial colapsa las definiciones adjuntas de manera bastante notable, pero puede proporcionar varios temas:

• Los adjuntos pueden no ser dualidades o isomorfismos, pero son candidatos para ascender a ese estado.
• Los operadores de cierre pueden indicar la presencia de adjunciones, como mónadas correspondientes (cf. los axiomas de cierre de Kuratowski )
• Un comentario muy general de William Lawvere es que la sintaxis y la semántica son contiguas: tome C como el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones) y D como el conjunto de potencias del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría T en C , sea G ( T ) el conjunto de todas las estructuras que satisfacen los axiomas T ; para un conjunto de estructuras matemáticas S , deja que F ( S ) sea el axiomatización mínima de S . Entonces podemos decir que S es un subconjunto de G ( T ) si y sólo si F ( S ) implica lógicamente T : el "funtor semántico" G es adjunto derecho al "funtor de sintaxis" F .
• La división es (en general) el intento de invertir la multiplicación, pero en situaciones donde esto no es posible, a menudo intentamos construir un adjunto en su lugar: el cociente ideal es adjunto a la multiplicación por ideales de anillo , y la implicación en la lógica proposicional es adjunta. a la conjunción lógica .

Teoría de categorías

• Equivalencias. Si F  : D → C es una equivalencia de categorías , entonces tenemos una equivalencia inversa G  : C → D , y los dos functores F y G forman un par adjunto. La unidad y el contador son isomorfismos naturales en este caso.
• Una serie de adjuntos. El funtor π ₀ que asigna a una categoría su conjunto de componentes conectados es adjunto a la izquierda del funtor D que asigna a un conjunto la categoría discreta en ese conjunto. Además, D es adyacente a la izquierda del functor de objeto U que asigna a cada categoría su conjunto de objetos, y finalmente U es adyacente a la izquierda de A, que asigna a cada conjunto la categoría indiscreta de ese conjunto.
• Objeto exponencial . En una categoría cerrada cartesiana del endofunctor C → C dada por - × A tiene un adjunto derecho - ^A . Este par a menudo se conoce como curry y no curry; en muchos casos especiales, también son continuos y forman un homeomorfismo.

Lógica categórica

• Cuantificación. Si es un predicado unario que expresa alguna propiedad, entonces una teoría de conjuntos suficientemente fuerte puede probar la existencia del conjunto de términos que cumplen la propiedad. Un subconjunto adecuado y la inyección asociada de en se caracterizan por un predicado que expresa una propiedad estrictamente más restrictiva.${\ Displaystyle \ phi _ {Y}}$${\ Displaystyle Y = \ {y \ mid \ phi _ {Y} (y) \}}$${\ Displaystyle T \ subconjunto Y}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle \ phi _ {T} (y) = \ phi _ {Y} (y) \ land \ varphi (y)}$

El papel de los cuantificadores en la lógica de predicados es formar proposiciones y también expresar predicados sofisticados cerrando fórmulas con posiblemente más variables. Por ejemplo, considere un predicado con dos variables abiertas de tipo y . Usando un cuantificador para cerrar , podemos formar el conjunto ${\ Displaystyle \ psi _ {f}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ {y \ en Y \ mid \ existe x. \, \ psi _ {f} (x, y) \ land \ phi _ {S} (x) \}}$

de todos los elementos de los que existe un elemento con el que está relacionado y que a su vez se caracteriza por la propiedad . Establecer operaciones teóricas como la intersección de dos conjuntos corresponde directamente a la conjunción de predicados. En lógica categórica , un subcampo de la teoría topos , los cuantificadores se identifican con adjuntos al functor de retroceso. Tal realización se puede ver en analogía con la discusión de la lógica proposicional utilizando la teoría de conjuntos, pero la definición general crea una gama más rica de lógicas.${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ psi _ {f}}$${\ Displaystyle \ phi _ {S}}$${\ Displaystyle \ cap}$${\ Displaystyle \ land}$

Así que considere un objeto en una categoría con retrocesos. Cualquier morfismo induce un functor ${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f: X \ to Y}$

${\ displaystyle f ^ {*}: {\ text {Sub}} (Y) \ longrightarrow {\ text {Sub}} (X)}$

en la categoría que es el preorden de subobjetos. Mapea subobjetos de (técnicamente: clases de monomorfismo de ) al retroceso . Si este funtor tiene un adjunto izquierdo o derecho, se llaman y , respectivamente. Ambos mapean desde atrás hasta . Muy a grandes rasgos, dado un dominio para cuantificar una relación expresada a través de encima, se cierra el funtor / cuantificador en y devuelve el subconjunto de este modo especificado de .${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle T \ a Y}$${\ Displaystyle X \ times _ {Y} T}$${\ Displaystyle \ existe _ {f}}$${\ Displaystyle \ forall _ {f}}$${\ Displaystyle {\ text {Sub}} (X)}$${\ Displaystyle {\ text {Sub}} (Y)}$${\ Displaystyle S \ subconjunto X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X \ times _ {Y} T}$${\ Displaystyle Y}$

Ejemplo : En la categoría de conjuntos y funciones, los subobjetos canónicos son el subconjunto (o más bien sus inyecciones canónicas). El retroceso de una inyección de un subconjunto a lo largo se caracteriza como el conjunto más grande que lo sabe todo y la inyección de adentro . Por tanto, resulta ser (en biyección con) la imagen inversa .${\ Displaystyle \ operatorname {Set}}$${\ Displaystyle f ^ {*} T = X \ times _ {Y} T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [T] \ subseteq X}$

Pues , averigüemos el adjunto izquierdo, que se define mediante ${\ Displaystyle S \ subseteq X}$

${\ displaystyle {\ operatorname {Hom}} (\ existe _ {f} S, T) \ cong {\ operatorname {Hom}} (S, f ^ {*} T),}$

que aquí solo significa

${\ Displaystyle \ existe _ {f} S \ subseteq T \ leftrightarrow S \ subseteq f ^ {- 1} [T]}$.

Considere . Vemos . Por el contrario, si para un también tenemos , entonces claramente . Eso implica . Concluimos que el adjunto izquierdo al functor de imagen inverso viene dado por la imagen directa. Aquí hay una caracterización de este resultado, que coincide más con la interpretación lógica: La imagen de under es el conjunto completo de , tal que no está vacío. Esto funciona porque descuida exactamente aquellos que están en el complemento de . Entonces ${\ Displaystyle f [S] \ subseteq T}$${\ Displaystyle S \ subseteq f ^ {- 1} [f [S]] \ subseteq f ^ {- 1} [T]}$${\ Displaystyle x \ in S}$${\ Displaystyle x \ in f ^ {- 1} [T]}$${\ Displaystyle f (x) \ in T}$${\ Displaystyle S \ subseteq f ^ {- 1} [T]}$${\ Displaystyle f [S] \ subseteq T}$${\ Displaystyle f ^ {*}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ existe _ {f}}$${\ Displaystyle y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [\ {y \}] \ cap S}$${\ Displaystyle y \ in Y}$${\ Displaystyle f [S]}$

${\ Displaystyle \ existe _ {f} S = \ {y \ en Y \ mid \ existe (x \ en f ^ {- 1} [\ {y \}]). \, x \ en S \; \} = f [S].}$

Ponga esto en analogía con nuestra motivación .${\ Displaystyle \ {y \ en Y \ mid \ existe x. \, \ psi _ {f} (x, y) \ land \ phi _ {S} (x) \}}$

El adjunto derecho al functor de imagen inverso se da (sin hacer el cálculo aquí) por

${\ Displaystyle \ forall _ {f} S = \ {y \ in Y \ mid \ forall (x \ in f ^ {- 1} [\ {y \}]). \, x \ in S \; \} .}$

El subconjunto de se caracteriza como el conjunto completo de con la propiedad de que la imagen inversa de con respecto a está completamente contenida en su interior . Tenga en cuenta que el predicado que determina el conjunto es el mismo que el anterior, excepto que se reemplaza por .${\ Displaystyle \ forall _ {f} S}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle \ {y \}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ existe}$${\ Displaystyle \ forall}$

Consulte también powerset .

Adjunciones en su totalidad

Por lo tanto, existen numerosos functores y transformaciones naturales asociadas con cada adjunción, y solo una pequeña porción es suficiente para determinar el resto.

Un adjunto entre las categorías C y D consiste en

• Un funtor F  : D → C llamado adjunto izquierdo
• Un functor G  : C → D llamado adjunto derecho
• Un isomorfismo natural Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -)
• Una transformación natural ε: FG → 1 _C llamada cuenta
• Una transformación natural η: 1 _D → GF llamada unidad

Una formulación equivalente, donde X denota cualquier objeto de C e Y denota cualquier objeto de D , es la siguiente:

Para cada C -morfismo f  : FY → X , hay un D -morfismo único Φ _{Y , X} ( f ) = g  : Y → GX tal que los siguientes diagramas conmutan, y para cada D -morfismo g  : Y → GX , hay un C -morfismo único Φ ⁻¹ _{Y , X} ( g ) = f  : FY → X en C tal que los siguientes diagramas conmutan:

De esta afirmación se puede recuperar que:

• Las transformaciones ε, η y Φ están relacionadas por las ecuaciones

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} f = \ Phi _ {Y, X} ^ {- 1} (g) & = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) & \ in & \, \, \ mathrm {hom} _ {C} (F (Y), X) \\ g = \ Phi _ {Y, X} (f) & = G (f) \ circ \ eta _ {Y} & \ in & \ , \, \ mathrm {hom} _ {D} (Y, G (X)) \\\ Phi _ {GX, X} ^ {- 1} (1_ {GX}) & = \ varepsilon _ {X} & \ in & \, \, \ mathrm {hom} _ {C} (FG (X), X) \\\ Phi _ {Y, FY} (1_ {FY}) & = \ eta _ {Y} & \ en & \, \, \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GF (Y)) \\\ end {alineado}}}$

• Las transformaciones ε, η satisfacen las ecuaciones de unidad de cuenta

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} 1_ {FY} & = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ 1_ {GX} & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX} \ end {alineado}}}$

• Cada par ( GX , ε _X ) es un morfismo terminal de F a X en C
• Cada par ( FY , η _Y ) es un morfismo inicial de Y a G en D

En particular, las ecuaciones anteriores permiten definir Φ, ε y η en términos de cualquiera de los tres. Sin embargo, los functores adjuntos F y G solos en general no son suficientes para determinar la adjunción. La equivalencia de estas situaciones se demuestra a continuación.

Los morfismos universales inducen la adjunción hom-set

Dado un functor adjunto derecho G  : C → D ; en el sentido de morfismos iniciales, se puede construir la adjunción hom-set inducida realizando los siguientes pasos.

• Construya un funtor F  : D → C y una transformación natural η.
  • Para cada objeto Y en D , elija un morfismo inicial ( F ( Y ), η _Y ) de Y a G , de modo que η _Y  : Y → G ( F ( Y )). Tenemos el mapa de F sobre objetos y la familia de morfismos η.
  • Para cada f  : Y ₀ → Y ₁ , como ( F ( Y ₀ ), η _{Y 0} ) es un morfismo inicial, entonces factorize η _{Y 1} o f con η _{Y 0} y obtener F ( f ): F ( Y ₀ ) → F ( Y ₁ ). Este es el mapa de F sobre morfismos.
  • El diagrama de conmutación de esa factorización implica el diagrama de conmutación de transformaciones naturales, por lo que η: 1 _D → G o F es una transformación natural .
  • La singularidad de esa factorización y que G es un funtor implica que el mapa de F sobre morfismos conserva composiciones e identidades.
• Construya un isomorfismo natural Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -).
  • Para cada objeto X en C , cada objeto Y en D , ya que ( F ( Y ), η _Y ) es un morfismo inicial, entonces Φ _{Y , X} es una biyección, donde Φ _{Y , X} ( f  : F ( Y ) → X ) = G ( f ) o η _Y .
  • η es una transformación natural, G es un funtor, luego para cualquier objeto X ₀ , X ₁ en C , cualquier objeto Y ₀ , Y ₁ en D , cualquier x  : X ₀ → X ₁ , cualquier y  : Y ₁ → Y ₀ , tenemos Φ _{Y 1 , X 1} ( x o f o F ( y )) = G (x) o G ( f ) o G ( F ( y )) o η _{Y 1} = G ( x ) o G ( f ) o η _{Y 0} o y = G ( x ) o Φ _{Y 0 , X 0} ( f ) o y , y luego Φ es natural en ambos argumentos.

Un argumento similar permite construir una adjunción hom-set de los morfismos terminales a un functor adjunto izquierdo. (La construcción que comienza con un adjunto derecho es un poco más común, ya que el adjunto derecho en muchos pares adjuntos es una inclusión definida trivialmente o un functor olvidadizo).

La adjunción de la unidad de conteo induce la adjunción del hom-set

Dados los functores F  : D → C , G  : C → D , y una adjunción de unidad de conteo (ε, η): F G , podemos construir una adjunción de hom-set encontrando la transformación natural Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -) en los siguientes pasos: ${\ Displaystyle \ dashv}$

• Para cada f  : FY → X y cada g  : Y → GX , defina

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Phi _ {Y, X} (f) = G (f) \ circ \ eta _ {Y} \\\ Psi _ {Y, X} (g) = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) \ end {alineado}}}$

Las transformaciones Φ y Ψ son naturales porque η y ε son naturales.

• Usando, en orden, que F es un funtor, que ε es natural y la ecuación cuenta-unidad 1 _FY = ε _FY o F (η _Y ), obtenemos

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Psi \ Phi f & = \ varepsilon _ {X} \ circ FG (f) \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ & = f \ circ \ varepsilon _ {FY } \ circ F (\ eta _ {Y}) \\ & = f \ circ 1_ {FY} = f \ end {alineado}}}$

por tanto, ΨΦ es la transformación de identidad.

• Doblemente, usando que G es un funtor, que η es natural y la ecuación de unidad de cuenta 1 _GX = G (ε _X ) o η _GX , obtenemos

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Phi \ Psi g & = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ GF (g) \ circ \ eta _ {Y} \\ & = G (\ varepsilon _ {X} ) \ circ \ eta _ {GX} \ circ g \\ & = 1_ {GX} \ circ g = g \ end {alineado}}}$

por tanto, ΦΨ es la transformación de identidad. Por tanto, Φ es un isomorfismo natural con inversa Φ ⁻¹ = Ψ.

La adjunción hom-set induce todo lo anterior

Dados los functores F  : D → C , G  : C → D , y una adjunción hom-set Φ: hom _C ( F -, -) → hom _D (-, G -), se puede construir una adjunción cuenta-unidad

${\ Displaystyle (\ varepsilon, \ eta): F \ dashv G}$ ,

que define familias de morfismos iniciales y terminales, en los siguientes pasos:

• Sea     para cada X en C , donde     está el morfismo de identidad.${\ Displaystyle \ varepsilon _ {X} = \ Phi _ {GX, X} ^ {- 1} (1_ {GX}) \ in \ mathrm {hom} _ {C} (FGX, X)}$${\ Displaystyle 1_ {GX} \ in \ mathrm {hom} _ {D} (GX, GX)}$
• Sea     para cada Y en D , donde     está el morfismo de identidad.${\ Displaystyle \ eta _ {Y} = \ Phi _ {Y, FY} (1_ {FY}) \ in \ mathrm {hom} _ {D} (Y, GFY)}$${\ Displaystyle 1_ {FY} \ in \ mathrm {hom} _ {C} (FY, FY)}$
• El biyectividad y naturalidad de Φ implican que cada uno ( GX , ε _X ) es un morfismo terminal desde F a X en C , y cada uno ( el año fiscal , η _Y ) es un morfismo inicial de Y a G en D .
• La naturalidad de Φ implica la naturalidad de ε y η, y las dos fórmulas

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ Phi _ {Y, X} (f) = G (f) \ circ \ eta _ {Y} \\\ Phi _ {Y, X} ^ {- 1} (g ) = \ varepsilon _ {X} \ circ F (g) \ end {alineado}}}$

para cada f : AF → X y g : Y → GX (que determinar completamente Φ).

• Sustituyendo FY por X y η _Y = Φ _{Y , FY} (1 _FY ) por g en la segunda fórmula da la primera ecuación de unidad de conteo

${\ Displaystyle 1_ {FY} = \ varepsilon _ {FY} \ circ F (\ eta _ {Y})}$,

y sustituyendo GX por Y y ε _X = Φ ⁻¹ _{GX, X} (1 _GX ) por f en la primera fórmula da la segunda ecuación de unidad de conteo

${\ Displaystyle 1_ {GX} = G (\ varepsilon _ {X}) \ circ \ eta _ {GX}}$.

Propiedades

Existencia

No todos los funtores G  : C → D admiten un adjunto izquierdo. Si C es una categoría completa , entonces los functores con adjuntos izquierdos se pueden caracterizar por el teorema del functor adjunto de Peter J. Freyd : G tiene un adjunto izquierdo si y solo si es continuo y se satisface una cierta condición de pequeñez: para cada objeto Y de D existe una familia de morfismos

f _yo  : Y → G ( X _i )

donde los índices i provienen de un conjunto que , no una clase propia , de tal manera que cada morfismo

h  : Y → G ( X )

Se puede escribir como

h = G ( t ) de f _yo

para algunos yo en yo y algo de morfismo

t  : X _i → X en C .

Una declaración análoga caracteriza a los functores con un adjunto derecho.

Un caso especial importante es el de las categorías presentables localmente . Si es un functor entre categorías presentables localmente, entonces ${\ Displaystyle F: C \ a D}$

• F tiene un adjunto derecho si y solo si F conserva pequeños colímites
• F tiene un adjunto izquierdo si y solo si F conserva límites pequeños y es un funtor accesible

Unicidad

Si el funtor F  : D → C tiene dos adjuntos derechos G y G ′, entonces G y G ′ son naturalmente isomorfos . Lo mismo es cierto para los adjuntos izquierdos.

Por el contrario, si F se deja adjunto a G , y G es naturalmente isomorfo a G ′, entonces F también se deja adjunto a G ′. De manera más general, si 〈F , G , ε, η〉 es un adjunto (con unidad de cuenta (ε, η)) y

σ: F → F ′

τ: G → G ′

son isomorfismos naturales, entonces 〈F ′, G ′, ε ′, η ′〉 es un adjunto donde

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ eta '& = (\ tau \ ast \ sigma) \ circ \ eta \\\ varepsilon' & = \ varepsilon \ circ (\ sigma ^ {- 1} \ ast \ tau ^ {-1}). \ End {alineado}}}$

Aquí denota la composición vertical de las transformaciones naturales y denota la composición horizontal. ${\ Displaystyle \ circ}$${\ Displaystyle \ ast}$

Composición

Las adjunciones se pueden componer de forma natural. Específicamente, si 〈F , G , ε, η〉 es un complemento entre C y D y 〈F ′, G ′, ε ′, η ′〉 es un complemento entre D y E, entonces el funtor

${\ Displaystyle F \ circ F ': E \ rightarrow C}$

se deja adjunto a

${\ Displaystyle G '\ circ G: C \ a E.}$

Más precisamente, hay un adjunto entre F F ' y G' G con unidad y cuenta dadas respectivamente por las composiciones:

${\ displaystyle {\ begin {align} & 1 _ {\ mathcal {E}} {\ xrightarrow {\ eta '}} G'F' {\ xrightarrow {G '\ eta F'}} G'GFF '\\ & FF' G'G {\ xrightarrow {F \ varepsilon 'G}} FG {\ xrightarrow {\ varepsilon}} 1 _ {\ mathcal {C}}. \ End {alineado}}}$

Este nuevo adjunto se denomina composición de los dos adjuntos dados.

Dado que también existe una forma natural de definir una adjunción de identidad entre una categoría C y ella misma, entonces se puede formar una categoría cuyos objetos son todos categorías pequeñas y cuyos morfismos son adjunciones.

Limitar la preservación

La propiedad más importante de los adjuntos es su continuidad: todo funtor que tiene un adjunto izquierdo (y por lo tanto es un adjunto derecho) es continuo (es decir, conmuta con límites en el sentido teórico de la categoría); cada funtor que tiene un adjunto derecho (y por lo tanto es un adjunto izquierdo) es cocontinuo (es decir, conmuta con colimits ).

Dado que muchas construcciones comunes en matemáticas son límites o colimits, esto proporciona una gran cantidad de información. Por ejemplo:

• la aplicación de un functor adjunto derecho a un producto de objetos da como resultado el producto de las imágenes;
• la aplicación de un functor adjunto izquierdo a un coproducto de objetos produce el coproducto de las imágenes;
• cada funtor adjunto a la derecha entre dos categorías abelianas es exacto a la izquierda ;
• cada funtor adjunto izquierdo entre dos categorías abelianas es exacto a la derecha .

Aditividad

Si C y D son categorías preaditivas y F  : D → C es un funtor aditivo con un adjunto derecho G  : C → D , entonces G es también un funtor aditivo y las biyecciones hom-set

${\ Displaystyle \ Phi _ {Y, X}: \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {C}} (FY, X) \ cong \ mathrm {hom} _ {\ mathcal {D}} (Y, GX) }$

son, de hecho, isomorfismos de grupos abelianos. Doblemente, si G es aditivo con un adjunto izquierdo F , entonces F también es aditivo.

Además, si tanto C como D son categorías aditivas (es decir, categorías preaditivas con todos los biproductos finitos ), entonces cualquier par de functores adjuntos entre ellos son automáticamente aditivos.

Relaciones

Construcciones universales

Como se dijo anteriormente, la contigüidad entre las categorías C y D da lugar a una familia de morfismos universales , una para cada objeto en C y uno para cada objeto en D . Por el contrario, si existe un morfismo universal a un funtor G  : C → D de cada objeto de D , entonces G tiene un adjunto izquierdo.

Sin embargo, las construcciones universales son más generales que los functores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y solo si este problema tiene una solución para cada objeto de D (equivalentemente, cada objeto de C ).

Equivalencias de categorías

Si un funtor F  : D → C es la mitad de una equivalencia de categorías, entonces es el adjunto izquierdo en una equivalencia adjunta de categorías, es decir, un adjunto cuya unidad y cuenta son isomorfismos.

Cada adjunción 〈F , G , ε, η〉 extiende una equivalencia de ciertas subcategorías. Defina C ₁ como la subcategoría completa de C que consiste en aquellos objetos X de C para los cuales ε _X es un isomorfismo, y defina D ₁ como la subcategoría completa de D que consiste en aquellos objetos Y de D para los cuales η _Y es un isomorfismo. Entonces F y G pueden restringirse a D ₁ y C ₁ y producir equivalencias inversas de estas subcategorías.

Entonces, en cierto sentido, los adjuntos son inversos "generalizados". Nota sin embargo, que una inversa derecha de F (es decir, un funtor G tal que FG es naturalmente isomorfo a 1 _D ) no necesita ser una derecha (o izquierda) adjunta de F . Los adjuntos generalizan inversos de dos lados .

Mónadas

Cada adjunción < F , G , ε, η> da lugar a un asociado mónada < T , η, μ> en la categoría D . El functor

${\ Displaystyle T: {\ mathcal {D}} \ to {\ mathcal {D}}}$

viene dado por T = GF . La unidad de la mónada

${\ Displaystyle \ eta: 1 _ {\ mathcal {D}} \ to T}$

es solo la unidad η de la adjunción y la transformación de multiplicación

${\ Displaystyle \ mu: T ^ {2} \ to T \,}$

está dada por μ = G ε F . Dually, la triple < FG , ε, F η G > define un comonad en C .

Cada mónada surge de algún adjunto — de hecho, típicamente de muchos adjuntos — de la manera anterior. Dos construcciones, denominadas categoría de álgebras de Eilenberg-Moore y categoría de Kleisli, son dos soluciones extremas al problema de construir una adjunción que da lugar a una mónada determinada.

Notas

Referencias

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas. La alegría de los gatos (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6. Zbl  0695.18001 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

enlaces externos

• Lista de reproducción de adjunciones en YouTube : siete breves conferencias sobre adjunciones a cargo de Eugenia Cheng de The Catsters
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores , transformaciones naturales , propiedades universales .