Espacio uniforme - Uniform space

En el campo matemático de la topología , un espacio uniforme es un conjunto con una estructura uniforme . Los espacios uniformes son espacios topológicos con estructura adicional que se utiliza para definir propiedades uniformes como integridad , continuidad uniforme y convergencia uniforme . Los espacios uniformes generalizan espacios métricos y grupos topológicos , pero el concepto está diseñado para formular los axiomas más débiles necesarios para la mayoría de las pruebas en análisis .

Además de las propiedades habituales de una estructura topológica, en un espacio uniforme se formalizan las nociones de cercanía relativa y cercanía de puntos. En otras palabras, ideas como " x está más cerca de una que Y es b " tiene sentido en espacios uniformes. En comparación, en un espacio topológico general, dados los conjuntos A, B , es significativo decir que un punto x está arbitrariamente cerca de A (es decir, en el cierre de A ), o quizás que A es un vecindario más pequeño de x que B , pero las nociones de cercanía de puntos y cercanía relativa no se describen bien solo por la estructura topológica.

Definición

Hay tres definiciones equivalentes para un espacio uniforme. Todos ellos constan de un espacio dotado de una estructura uniforme.

Definición de séquito

Esta definición adapta la presentación de un espacio topológico en términos de sistemas de vecindad . Una colección no vacía de subconjuntos es un ${\ Displaystyle \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ subseteq X \ times X}$ estructura uniforme (o unauniformidad ) si satisface los siguientes axiomas:

Si , a continuación , donde es la de la diagonal . ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle \ Delta \ subseteq U}$ ${\ Displaystyle \ Delta = \ {(x, x): x \ in X \}}$ ${\ Displaystyle X \ times X}$
Si y , entonces . ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ subseteq V \ subseteq X \ times X}$ ${\ Displaystyle V \ in \ Phi}$
Si y , entonces . ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U \ cap V \ in \ Phi}$
Si , entonces hay tal que , donde denota el compuesto de consigo mismo. (El compuesto de dos subconjuntos y de está definido por ). ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle V \ circ V \ subseteq U}$ ${\ Displaystyle V \ circ V}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle X \ times X}$ ${\ Displaystyle V \ circ U = \ {(x, z): \ existe y \ in X: (x, y) \ in U \ wedge (y, z) \ in V \}}$
Si , entonces , ¿dónde es la inversa de U ? ${\ Displaystyle U \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U ^ {- 1} \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle U ^ {- 1} = \ {(y, x) :( x, y) \ in U \}}$

La no vacío de $Φ$ tomado junto con (2) y (3) establece que $Φ$ es un filtro en $X \times X$ . Si se omite la última propiedad, llamamos cuasiuniforme al espacio . Los elementos $U$ de $Φ$ se llaman vecindarios o séquitos de la palabra francesa para alrededores .

Normalmente se escribe $U [x] = {y : (x, y) \in U} = pr 2 (U \cap ({x} \times X))$ , donde $U \cap ({x} \times X)$ es la sección transversal vertical de $U$ y $pr 2$ es la proyección sobre la segunda coordenada. En un gráfico, se dibuja un séquito típico como una mancha que rodea la diagonal " $y = x$ "; todas las diferentes $U [x]$ forman las secciones transversales verticales. Si $(X, Y) \in U$ , se dice que X e Y son $T$ -cerca . De manera similar, si todos los pares de puntos en un subconjunto $A$ de $X$ son $U$ -cerrados (es decir, si $A \times; A$ está contenido en $U$ ), A se llama $U$ -pequeña . Un entorno $U$ es simétrica si $(x, Y) \in U$ precisamente cuando $(y, x) \in U$ . Los primeros axioma que cada punto es $T$ -cerca de sí mismo para cada entorno $U$ . El tercer axioma garantiza que ser "tanto $U-$ close como $V-$ close" es también una relación de cercanía en la uniformidad. El cuarto axioma establece que por cada séquito $U$ hay un séquito $V$ que es "no más de la mitad de grande". Finalmente, el último axioma establece que la propiedad "cercanía" con respecto a una estructura uniforme es simétrica en x e y .

A base de o sistema fundamental de séquitos (o vecindades ) de una uniformidad $Φ$ es cualquier conjunto B de séquitos de $Φ$ tal que cada entorno de $Ф$ contiene un conjunto que pertenece a B . Por lo tanto, por la propiedad 2 anterior, un sistemas fundamentales de séquitos B es suficiente para especificar la uniformidad $Φ$ sin ambigüedad: $Φ$ es el conjunto de subconjuntos de $X \times X$ que contienen un conjunto de B . Todo espacio uniforme tiene un sistema fundamental de séquitos que consta de séquitos simétricos.

La intuición sobre las uniformidades la proporciona el ejemplo de los espacios métricos : si $(X, d)$ es un espacio métrico, los conjuntos

{\ Displaystyle U_ {a} = \ {(x, y) \ in X \ times X: d (x, y) \ leq a \} \ quad {\ text {where}} \ quad a> 0}

formar un sistema fundamental de séquitos para la estructura uniforme estándar de X . Entonces x y y son $U un$ -cerca precisamente cuando la distancia entre x y y es, como máximo una .

Una uniformidad $Φ$ es más fina que otra uniformidad $Ψ$ en el mismo conjunto si $Φ \supseteq Ψ$ ; en ese caso, se dice que $Ψ$ es más grueso que $Φ$ .

Definición de pseudometría

Los espacios uniformes se pueden definir de forma alternativa y equivalente utilizando sistemas de pseudometría , un enfoque que es particularmente útil en el análisis funcional (con pseudometría proporcionada por seminormas ). Más precisamente, dejar que f : X × X → R una pseudometric en un conjunto X . Se puede demostrar que las imágenes inversas U _a = f ⁻¹ ([0, a ]) para a > 0 forman un sistema fundamental de séquitos de uniformidad. La uniformidad generada por U _a es la uniformidad definida por la pseudométrica única f . Algunos autores denominan espacios cuya topología se define en términos de espacios de calibre pseudométricos .

Para una familia ( f _i ) de pseudometría en X , la estructura uniforme definida por la familia es el límite superior mínimo de las estructuras uniformes definidas por la pseudometría individual f _i . Un sistema fundamental de séquitos de esta uniformidad lo proporciona el conjunto de intersecciones finitas de los séquitos de las uniformidades definidas por la pseudometría individual f _i . Si la familia de pseudometría es finita , se puede ver que la misma estructura uniforme está definida por una sola pseudometría, a saber, la envoltura superior sup f _i de la familia.

De manera menos trivial, se puede demostrar que una estructura uniforme que admite un sistema fundamental contable de séquitos (de ahí, en particular, una uniformidad definida por una familia contable de pseudometría) puede definirse mediante una sola pseudométrica. Una consecuencia es que cualquier estructura uniforme puede ser definido como anteriormente por una familia (posiblemente incontable) de seudométricas (ver Bourbaki: Topología General Capítulo IX § 1 no. 4).

Definición de cobertura uniforme

Un espacio uniforme ( X , Θ ) es un conjunto X equipado con una distinguida familia de revestimientos Θ , llamados " revestimientos uniformes", extraídos del conjunto de revestimientos de X , que forman un filtro cuando se ordenan por refinamiento en estrella. Se dice que una cubierta P es un refinamiento en estrella de la cubierta Q , escrito P <* Q , si para cada A ∈ P , hay una U ∈ Q tal que si A ∩ B ≠ ø, B ∈ P , entonces B ⊆ U . Axiomáticamente, la condición de filtro se reduce a:

{X} es una cobertura uniforme (es decir, {X} ∈ Θ ).
Si P <* Q y P es una cobertura uniforme, entonces Q también es una cobertura uniforme.
Si P y Q son cubiertas uniformes, entonces hay una cobertura uniforme R que Estrella refina tanto P y Q .

Dado un punto xy una cobertura uniforme P , se puede considerar la unión de los miembros de P que contienen x como una vecindad típica de x de "tamaño" P , y esta medida intuitiva se aplica uniformemente sobre el espacio.

Dado un espacio uniforme en el sentido de entorno, definir una cubierta de P para que sea uniforme si hay algún entorno U de tal manera que para cada x ∈ X , existe una A ∈ P tal que U [ x ] ⊆ A . Estas cubiertas uniformes forman un espacio uniforme como en la segunda definición. A la inversa, dado un espacio uniforme en el sentido de cobertura uniforme, los superconjuntos de ⋃ { A × A : A ∈ P }, como P se extiende sobre las cubiertas uniformes, son los séquitos de un espacio uniforme como en la primera definición. Además, estas dos transformaciones son inversas entre sí.

Topología de espacios uniformes

Cada espacio uniforme X se convierte en un espacio topológico mediante la definición de un subconjunto O de X para ser abierto si y sólo si para cada x en O existe un entorno V tal que V [ x ] es un subconjunto de O . En esta topología, el filtro de vecindad de un punto x es { V [ x ]: V ∈ Φ}. Esto puede demostrarse con un uso recursivo de la existencia de un séquito de "tamaño medio". En comparación con un espacio topológico general, la existencia de la estructura uniforme hace posible la comparación de tamaños de vecindarios: V [ x ] y V [ y ] se consideran del "mismo tamaño".

Se dice que la topología definida por una estructura uniforme es inducida por la uniformidad . Una estructura uniforme en un espacio topológico es compatible con la topología si la topología definida por la estructura uniforme coincide con la topología original. En general varias diferentes estructuras uniformes pueden ser compatibles con una topología dada en X .

Espacios uniformizables

Un espacio topológico se denomina uniformizable si existe una estructura uniforme compatible con la topología.

Todo espacio uniformizable es un espacio topológico completamente regular . Además, para un espacio uniforme X, lo siguiente son equivalentes:

X es un espacio de Kolmogorov
X es un espacio de Hausdorff
X es un espacio de Tychonoff
para cualquier estructura uniforme compatible, la intersección de todos los séquitos es la diagonal {( x , x ): x en X }.

Algunos autores (p. Ej. Engelking) agregan esta última condición directamente en la definición de un espacio uniformizable.

La topología de un espacio uniformizable es siempre una topología simétrica ; es decir, el espacio es un R ₀ -space .

Por el contrario, cada espacio completamente regular es unificable. Una uniformidad compatible con la topología de un espacio X completamente regular se puede definir como la uniformidad más gruesa que hace que todas las funciones continuas de valor real en X sean uniformemente continuas. Un sistema fundamental de séquitos para esta uniformidad es proporcionado por todas las intersecciones finitas de conjuntos ( f × f ) ^-1 ( V ), donde f es una función real continua en X y V es un entorno del espacio uniforme R . Esta uniformidad define una topología, que es claramente más burda que la topología original de X ; que también es más fina que la topología original (por lo tanto coincide con ella) es una simple consecuencia de la regularidad completa: para cualquier x ∈ X y una vecindad V de x , hay una función continua de valor real f con f ( x ) = 0 e igual a 1 en el complemento de V .

En particular, un espacio compacto de Hausdorff es unificable. De hecho, para un espacio compacto de Hausdorff X, el conjunto de todos los vecindarios de la diagonal en X × X forman la uniformidad única compatible con la topología.

Un espacio uniforme de Hausdorff se puede medir si su uniformidad se puede definir mediante una familia contable de pseudometría. De hecho, como se discutió anteriormente , tal uniformidad se puede definir mediante una sola pseudométrica, que es necesariamente una métrica si el espacio es Hausdorff. En particular, si la topología de un espacio vectorial es Hausdorff y definible por una familia contable de seminormas , es metrizable.

Continuidad uniforme

Similar a las funciones continuas entre espacios topológicos , que preservan las propiedades topológicas , son las funciones uniformemente continuas entre espacios uniformes, que preservan las propiedades uniformes. Los espacios uniformes con mapas uniformes forman una categoría . Un isomorfismo entre espacios uniformes se denomina isomorfismo uniforme .

Una función uniformemente continua se define como aquella en la que las imágenes inversas de los séquitos son nuevamente séquitos, o de manera equivalente, una donde las imágenes inversas de las cubiertas uniformes son nuevamente las cubiertas uniformes.

Todas las funciones uniformemente continuas son continuas con respecto a las topologías inducidas.

Lo completo

Generalizando la noción de espacio métrico completo , también se puede definir la completitud para espacios uniformes. En lugar de trabajar con secuencias de Cauchy , se trabaja con filtros de Cauchy (o redes de Cauchy ).

A Filtro de Cauchy (resp. ACauchy prefiltro )Fen un espacio uniformeXes unfiltro(resp. Unprefiltro)Ftal que para cada entornoU, existeA∈FconA×A⊆U. En otras palabras, un filtro es Cauchy si contiene conjuntos "arbitrariamente pequeños". De las definiciones se desprende que cada filtro que converge (con respecto a la topología definida por la estructura uniforme) es un filtro de Cauchy. Un filtro de Cauchy se llamamínimosi no contiene un filtro de Cauchy más pequeño (es decir, más grueso) (aparte de sí mismo). Se puede demostrar que cada filtro de Cauchy contiene unfiltro de Cauchy mínimoúnico. El filtro de vecindad de cada punto (el filtro que consta de todas las vecindades del punto) es un filtro de Cauchy mínimo.

Por el contrario, un espacio uniforme se llama completar si todos los filtros de Cauchy convergen. Cualquier espacio compacto de Hausdorff es un espacio completamente uniforme con respecto a la uniformidad única compatible con la topología.

Los espacios uniformes completos disfrutan de la siguiente propiedad importante: si f : A → Y es una función uniformemente continua de un subconjunto denso A de un espacio uniforme X a un espacio uniforme completo Y , entonces f puede extenderse (únicamente) a una función uniformemente continua en todos X .

Un espacio topológico que puede convertirse en un espacio completamente uniforme, cuya uniformidad induce la topología original, se denomina espacio completamente uniforme .

Finalización de Hausdorff de un espacio uniforme

Al igual que con los espacios métricos, todo espacio uniforme X tiene unCompleción de Hausdorff : es decir, existe un espacio uniforme de Hausdorff completoYy un mapa uniformemente continuoi:X→Ycon la siguiente propiedad:

para cualquier mapeo uniformemente continuo f de X en un espacio uniforme Z de Hausdorff completo , existe un mapa único uniformemente continuo g : Y → Z tal que f = gi .

La terminación Y de Hausdorff es única hasta el isomorfismo. Como un conjunto, Y puede ser llevado a constar de los mínimos filtros de Cauchy en X . Como el filtro de barrio B ( x ) de cada punto x en X es un filtro de Cauchy mínima, el mapa i puede ser definido por mapeo x a B ( x ). El mapa i así definido no es en general inyectivo; de hecho, la gráfica de la relación de equivalencia i ( x ) = i ( x ') es la intersección de todos los séquitos de X , y así i es inyectiva precisamente cuando X es Hausdorff.

La estructura uniforme en Y se define de la siguiente manera: para cada entorno simétrico V (es decir, tal que ( x , y ) está en V precisamente cuando ( y , x ) está en V ), sea C ( V ) el conjunto de todos pares ( F , G ) de filtros Cauchy mínimos que tienen en común al menos un conjunto V-pequeño . Se puede demostrar que los conjuntos C ( V ) forman un sistema fundamental de séquitos; Y está equipado con la estructura uniforme así definida.

El conjunto i ( X ) es entonces un subconjunto denso de Y . Si X es Hausdorff, entonces i es un isomorfismo sobre i ( X ) y, por lo tanto, X puede identificarse con un subconjunto denso de su finalización. Además, i ( X ) es siempre Hausdorff; se llama el espacio uniforme Hausdorff asociado con X . Si R denota la relación de equivalencia i ( x ) = i ( x '), entonces el espacio del cociente X / R es homeomorfo a i ( X ).

Ejemplos de

Todo espacio métrico ( M , d ) puede considerarse un espacio uniforme. De hecho, dado que una métrica es a fortiori una pseudométrica, la definición pseudométrica proporciona a M una estructura uniforme. Un sistema fundamental de séquitos de esta uniformidad lo proporcionan los conjuntos
${\ Displaystyle \ qquad U_ {a} \ triangleq d ^ {- 1} ([0, a]) = \ {(m, n) \ in M \ times M: d (m, n) \ leq a \} .}$
Esta estructura uniforme en M genera la topología espacio métrico habitual en M . Sin embargo, diferentes espacios métricos pueden tener la misma estructura uniforme (un ejemplo trivial lo proporciona un múltiplo constante de una métrica). Esta estructura uniforme produce también definiciones equivalentes de continuidad y completitud uniformes para espacios métricos .
Usando métricas, se puede construir un ejemplo simple de estructuras uniformes distintas con topologías coincidentes. Por ejemplo, sea d ₁ ( x , y ) = | x - y | sea la métrica habitual en R y sea d ₂ ( x , y ) = | e ^x - e ^y |. Entonces, ambas métricas inducen la topología habitual en R , pero las estructuras uniformes son distintas, ya que {(x, y): | x - y | <1} es un séquito en la estructura uniforme para d ₁ pero no para d ₂ . De manera informal, se puede considerar que este ejemplo toma la uniformidad habitual y la distorsiona mediante la acción de una función continua pero no uniformemente continua.
Todo grupo topológico G (en particular, todo espacio vectorial topológico ) se convierte en un espacio uniforme si definimos un subconjunto V de G × G como un séquito si y solo si contiene el conjunto {( x , y ): x ⋅ y ^{- 1} en T } para algunos vecindario U del elemento de identidad de G . Esta estructura uniforme en G se llama la uniformidad correcta en G , porque para cada a en G , la multiplicación correcta x → x ⋅ a es uniformemente continua con respecto a esta estructura uniforme. También se puede definir una uniformidad izquierda en G ; los dos necesidad no coinciden, pero ambos generan la topología dada en G .
Para cada grupo topológico G y su subgrupo H, el conjunto de clases laterales izquierdas G / H es un espacio uniforme con respecto a la uniformidad Φ definida como sigue. Los conjuntos , donde U recorre barrios de la identidad en G , forman un sistema fundamental de séquitos para la uniformidad Φ. La topología inducida correspondiente en G / H es igual a la topología cociente definido por el mapa naturales G → G / H . ${\ Displaystyle {\ tilde {U}} = \ {(s, t) \ in G / H \ times G / H: \ \ t \ in U \ cdot s \}}$
La topología trivial pertenece a un espacio uniforme en el que todo el producto cartesiano X × X es el único entorno .

Historia

Antes de que André Weil diera la primera definición explícita de una estructura uniforme en 1937, los conceptos uniformes, como la completitud, se discutieron utilizando espacios métricos . Nicolas Bourbaki proporcionó la definición de estructura uniforme en términos de séquitos en el libro Topologie Générale y John Tukey dio la definición de portada uniforme. Weil también caracterizó los espacios uniformes en términos de una familia de pseudometría.

Ver también

Estructura gruesa
Espacio métrico completo - Geometría métrica
Espacio vectorial topológico completo : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
Espacio completamente uniformizable
Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
Espacio de proximidad : estructura que describe una noción de "proximidad" entre subconjuntos.
Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con alguna estructura agregada
Topología de convergencia uniforme
Continuidad uniforme: restricción uniforme del cambio de funciones
Isomorfismo uniforme: homeomorfismo uniformemente continuo
Propiedad uniforme - Objeto de estudio en la categoría de espacios topológicos uniformes
Espacio uniformemente conectado - Tipo de espacio uniforme

Referencias

Nicolas Bourbaki , Topología general ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (Cap. 1-4), ISBN 0-387-19372-3 (Cap. 5-10): El capítulo II es una referencia completa de estructuras, el Capítulo IX § 1 cubre la pseudometría, y el Capítulo III § 3 cubre las estructuras uniformes en grupos topológicos
Ryszard Engelking , topología general. Edición revisada y completa , Berlín 1989.
John R. Isbell , espacios uniformes ISBN 0-8218-1512-1
IM James, Introducción a los espacios uniformes ISBN 0-521-38620-9
IM James, Espacios topológicos y uniformes ISBN 0-387-96466-5
John Tukey , convergencia y uniformidad en topología ; ISBN 0-691-09568-X
André Weil , Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale , Act. Sci. Ind. 551 , París, 1937

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