Espacio métrico completo - Complete metric space

En análisis matemático , un espacio métrico $M$ se llama completa (o un espacio de Cauchy ) si cada secuencia de Cauchy de puntos en $M$ tiene un límite que también está en $M$ .

Intuitivamente, un espacio está completo si no hay "puntos faltantes" en él (dentro o en el límite). Por ejemplo, el conjunto de números racionales no está completo porque, por ejemplo, "falta" en él, aunque se puede construir una secuencia de Cauchy de números racionales que converja con él (ver más ejemplos a continuación). Siempre es posible "llenar todos los huecos", lo que lleva a completar un espacio determinado, como se explica a continuación. ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Definición

Secuencia de Cauchy

Una secuencia

x 1, x 2, x 3,\dots

en un espacio métrico

(X, d)

se llama Cauchy si para cada número real positivo

r > 0

hay un entero positivo

N

tal que para todos los enteros positivos

m, n > N

,

d (x metro, x norte) < r

.

Constante de expansión

La constante de expansión de un espacio métrico es el mínimo de todas las constantes, de modo que siempre que la familia se cruza por pares, la intersección no está vacía.

{\ textstyle \ mu}

{\ textstyle \ left \ {{\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \, r _ {\ alpha}) \ right \}}

{\ textstyle \ bigcap _ {\ alpha} {\ overline {B}} (x _ {\ alpha}, \ mu r _ {\ alpha})}

Espacio completo

Un espacio métrico

(X, d)

está completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

Cada secuencia de Cauchy de puntos en $X$ tiene un límite que también está en $X$ .
Cada secuencia de Cauchy en $X$ converge en $X$ (es decir, hasta algún punto de $X$ ).
La constante de expansión de $(X, d)$ es ≤ 2.
Cada secuencia decreciente de

subconjuntos cerrados no vacíos de

X

, con diámetros que tienden a 0, tiene una intersección no vacía : si

F

n

es cerrado y no vacío,

F

n

+1

\subseteq

F

n

para cada

n

, y

diam (

F

n

) \to 0

, entonces hay un punto

x

\in

X

común a todos los conjuntos

F

n

.

Ejemplos de

El espacio Q de números racionales , con la métrica estándar dada por el valor absoluto de la diferencia , no está completo. Considere, por ejemplo, la secuencia definida por $x 1 = 1$ y Esta es una secuencia de Cauchy de números racionales, pero no converge hacia ningún límite racional: si la secuencia tuviera un límite $x$ , entonces resolviendo necesariamente x ² = 2, todavía ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, considerado como una secuencia de números reales , converge al número irracional . ${\ Displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n}} {2}} + {\ frac {1} {x_ {n}}}.}$ ${\ Displaystyle x = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$

El intervalo abierto $(0,1)$ , nuevamente con la métrica de valor absoluto, tampoco está completo. La secuencia definida por $x n$ =1/nortees Cauchy, pero no tiene un límite en el espacio dado. Sin embargo, el intervalo cerrado $[0,1]$ está completo; por ejemplo, la secuencia dada tiene un límite en este intervalo y el límite es cero.

El espacio R de números reales y el espacio C de números complejos (con la métrica dada por el valor absoluto) están completos, al igual que el espacio euclidiano R ⁿ , con la métrica de distancia habitual . Por el contrario, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita pueden estar completos o no; los que están completos son los espacios de Banach . El espacio C $[a, b]$ de funciones continuas de valor real en un intervalo cerrado y acotado es un espacio de Banach y, por lo tanto, un espacio métrico completo, con respecto a la norma suprema . Sin embargo, la norma suprema no da una norma sobre el espacio C $(a, b)$ de funciones continuas en $(a, b)$ , ya que puede contener funciones ilimitadas. En cambio, con la topología de convergencia compacta , a C $(a, b)$ se le puede dar la estructura de un espacio de Fréchet : un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología puede ser inducida por una métrica invariante de traducción completa.

El espacio Q _p de p -números ádicos está completo para cualquier número primo $p$ . Este espacio completa Q con la métrica p -ádica de la misma manera que R completa Q con la métrica habitual.

Si $S$ es un conjunto arbitrario, entonces el conjunto $S N$ de todas las secuencias en $S se$ convierte en un espacio métrico completo si definimos la distancia entre las secuencias $(x n)$ e $(y n)$ como $1 / norte$ , donde $N$ es el índice más pequeño para el cual $x N$ es distinto de $y N$ , o $0$ si no existe tal índice. Este espacio es homeomorfo al producto de un contable número de copias del espacio discreto $S$ .

Las variedades de Riemann que están completas se denominan variedades geodésicas ; la completitud se sigue del teorema de Hopf-Rinow .

Algunos teoremas

Cada espacio métrico compacto está completo, aunque no es necesario que los espacios completos sean compactos. De hecho, un espacio métrico es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado . Ésta es una generalización del teorema de Heine-Borel , que establece que cualquier subespacio cerrado y acotado $S$ de $R n$ es compacto y, por lo tanto, completo.

Sea $(X, d)$ un espacio métrico completo. Si $A \subseteq X$ es un conjunto cerrado, entonces $A$ también está completo. Sea $(X, d)$ un espacio métrico. Si $A \subseteq X$ es un subespacio completo, entonces $A$ también está cerrado.

Si $X$ es un conjunto y $M$ es un espacio métrico completo, entonces el conjunto $B (X, M)$ de todas las funciones acotadas $f$ de $X$ a $M$ es un espacio métrico completo. Aquí definimos la distancia en $B (X, M)$ en términos de la distancia en $M$ con la norma supremum

{\ Displaystyle d (f, g) \ equiv \ sup \ left \ {d [f (x), g (x)]: x \ in X \ right \}}

Si $X$ es un espacio topológico y $M$ es un espacio métrico completo, entonces el conjunto $C b (X, M) que$ consta de todas las funciones acotadas continuas $f$ de $X$ a $M$ es un subespacio cerrado de $B (X, M)$ y por lo tanto también completo .

El teorema de la categoría de Baire dice que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire . Es decir, la unión de innumerables subconjuntos densos del espacio en ninguna parte tiene un interior vacío .

El teorema del punto fijo de Banach establece que un mapeo de contracciones en un espacio métrico completo admite un punto fijo. El teorema del punto fijo se usa a menudo para probar el teorema de la función inversa en espacios métricos completos como los espacios de Banach.

Teorema (C Ursescu) - Let $X$ un espacio métrico completo y vamos $S 1, S 2, ...$ una sucesión de subconjuntos de $X$ .

Si cada $S i$ está cerrado en $X,$ entonces . ${\ textstyle \ operatorname {cl} \ left (\ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} \ operatorname {int} S_ {i} \ right) = \ operatorname {cl} \ operatorname {int} \ left ( \ bigcup _ {i \ in \ mathbb {N}} S_ {i} \ right)}$
Si cada $S i$ está abierto en $X,$ entonces . ${\ textstyle \ operatorname {int} \ left (\ bigcap _ {i \ in \ mathbb {N}} \ operatorname {cl} S_ {i} \ right) = \ operatorname {int} \ operatorname {cl} \ left ( \ bigcap _ {i \ in \ mathbb {N}} S_ {i} \ right)}$

Terminación

Para cualquier espacio métrico M , se puede construir un espacio métrico completo M ′ (que también se denota como M ), que contiene M como un subespacio denso . Tiene la siguiente propiedad universal : si N es cualquier espacio métrico completo yf es cualquier función uniformemente continua de M a N , entonces existe una única función uniformemente continua f ′ desde M ′ a N que se extiende f . El espacio de M' se determina hasta isometría por esta propiedad (entre todos los espacios métricos completos isométrica que contienen M ), y se llama la finalización de M .

La finalización de M puede ser construido como un conjunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en M . Para dos secuencias de Cauchy cualesquiera x = ( x _n ) e y = ( y _n ) en M , podemos definir su distancia como

{\ Displaystyle d (x, y) = \ lim _ {n} d \ left (x_ {n}, y_ {n} \ right)}

(Este límite existe porque los números reales están completos). Esto es solo una pseudometría , aún no una métrica, ya que dos secuencias de Cauchy diferentes pueden tener la distancia 0. Pero "tener una distancia 0" es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las Cauchy secuencias, y el conjunto de clases de equivalencia es un espacio métrico, la realización de M . El espacio original está incrustado en este espacio mediante la identificación de un elemento x de M ' con la clase de equivalencia de secuencias en M que convergen ax (es decir, la clase de equivalencia que contiene la secuencia con valor constante x ). Esto define una isometría en un subespacio denso, según sea necesario. Sin embargo, observe que esta construcción hace un uso explícito de la completitud de los números reales, por lo que la compleción de los números racionales necesita un tratamiento ligeramente diferente.

La construcción de Cantor de los números reales es similar a la construcción anterior; los números reales son la terminación de los números racionales usando el valor absoluto ordinario para medir distancias. La sutileza adicional con la que lidiar es que no es lógicamente permisible usar la integridad de los números reales en su propia construcción. Sin embargo, las clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy se definen como anteriormente, y se muestra fácilmente que el conjunto de clases de equivalencia es un campo que tiene los números racionales como subcampo. Este campo es completo, admite un ordenamiento total natural y es el único campo completo totalmente ordenado (hasta isomorfismo). Se define como el campo de los números reales (ver también Construcción de los números reales para más detalles). Una forma de visualizar esta identificación con los números reales como se ve habitualmente es que la clase de equivalencia que consiste en aquellas secuencias de Cauchy de números racionales que "deberían" tener un límite real dado se identifica con ese número real. Los truncamientos de la expansión decimal dan solo una opción de secuencia de Cauchy en la clase de equivalencia relevante.

Para un primo p , los números p -ádicos surgen al completar los números racionales con respecto a una métrica diferente.

Si el procedimiento de finalización anterior se aplica a un espacio vectorial normalizado , el resultado es un espacio de Banach que contiene el espacio original como un subespacio denso, y si se aplica a un espacio de producto interno , el resultado es un espacio de Hilbert que contiene el espacio original como un subespacio denso.

Espacios topológicamente completos

La completitud es una propiedad de la métrica y no de la topología , lo que significa que un espacio métrico completo puede ser homeomorfo a uno no completo. Un ejemplo lo dan los números reales, que son completos pero homeomorfos al intervalo abierto $(0,1)$ , que no es completo.

En topología se consideran espacios completamente metrizables , espacios para los que existe al menos una métrica completa que induce la topología dada. Los espacios completamente metrizables se pueden caracterizar como aquellos espacios que se pueden escribir como una intersección de innumerables subconjuntos abiertos de algún espacio métrico completo. Dado que la conclusión del teorema de la categoría de Baire es puramente topológica, también se aplica a estos espacios.

Los espacios completamente metrizables a menudo se denominan topológicamente completos . Sin embargo, el último término es algo arbitrario ya que la métrica no es la estructura más general en un espacio topológico de la que se puede hablar de completitud (ver la sección Alternativas y generalizaciones ). De hecho, algunos autores usan el término topológicamente completo para una clase más amplia de espacios topológicos, los espacios completamente uniformables .

Un espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo separable se denomina espacio polaco .

Alternativas y generalizaciones

Dado que las secuencias de Cauchy también se pueden definir en grupos topológicos generales , una alternativa a confiar en una estructura métrica para definir la completitud y construir la compleción de un espacio es utilizar una estructura de grupo. Esto se ve con mayor frecuencia en el contexto de espacios vectoriales topológicos , pero solo requiere la existencia de una operación de "resta" continua. En esta configuración, la distancia entre dos puntos x y y es no medir por un número real ε a través de la métrica d en la comparación d ( x , Y ) < ε , pero por un entorno abierto N de 0 a través de la resta en la comparación x - y ∈ N .

Una generalización común de estas definiciones se puede encontrar en el contexto de un espacio uniforme , donde un séquito es un conjunto de todos los pares de puntos que no están a más de una "distancia" particular entre sí.

También es posible reemplazar las secuencias de Cauchy en la definición de completitud por redes de Cauchy o filtros de Cauchy . Si cada red de Cauchy (o equivalentemente cada filtro de Cauchy) tiene un límite en X , entonces X se llama completo. Además, se puede construir una terminación para un espacio uniforme arbitrario similar a la terminación de espacios métricos. La situación más general en la que se aplican las redes de Cauchy son los espacios de Cauchy ; estos también tienen una noción de completitud y finalización al igual que los espacios uniformes.

Ver también

Espacio de Cauchy
Compleción (álgebra)
Espacio uniforme completo
Espacio vectorial topológico completo : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
Teorema de Knaster-Tarski

Notas

Referencias

Kelley, John L. (1975). Topología general . Saltador. ISBN 0-387-90125-6.
Kreyszig, Erwin , Introducción al análisis funcional con aplicaciones (Wiley, Nueva York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
Lang, Serge , "Análisis real y funcional" ISBN 0-387-94001-4
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introducción al análisis funcional . Ramanujan, MS (trad.). Oxford: Clarendon Press; Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.

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