Distancia euclidiana - Euclidean distance

Usando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia euclidiana bidimensional

En matemáticas , la distancia euclidiana entre dos puntos en el espacio euclidiano es la longitud de un segmento de línea entre los dos puntos. Se puede calcular a partir de las coordenadas cartesianas de los puntos utilizando el teorema de Pitágoras , por lo que ocasionalmente se denomina distancia de Pitágoras . Estos nombres provienen de los antiguos matemáticos griegos Euclides y Pitágoras , aunque Euclides no representó distancias como números, y la conexión del teorema de Pitágoras con el cálculo de distancias no se hizo hasta el siglo XVIII.

La distancia entre dos objetos que no son puntos generalmente se define como la distancia más pequeña entre pares de puntos de los dos objetos. Las fórmulas son conocidas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos, como la distancia de un punto a una línea . En matemáticas avanzadas, el concepto de distancia se ha generalizado a espacios métricos abstractos y se han estudiado otras distancias además de la euclidiana. En algunas aplicaciones de estadística y optimización, se usa el cuadrado de la distancia euclidiana en lugar de la distancia en sí.

Fórmulas de distancia

Una dimensión

La distancia entre dos puntos cualesquiera de la línea real es el valor absoluto de la diferencia numérica de sus coordenadas. Por lo tanto, si y son dos puntos en la línea real, entonces la distancia entre ellos viene dada por:

Una fórmula más complicada, que da el mismo valor, pero que se generaliza más fácilmente a dimensiones superiores, es:
En esta fórmula, elevar al cuadrado y luego sacar la raíz cuadrada deja cualquier número positivo sin cambios, pero reemplaza cualquier número negativo por su valor absoluto.

Dos dimensiones

En el plano euclidiano , deje que el punto tenga coordenadas cartesianas y deje que el punto tenga coordenadas . Entonces la distancia entre y viene dada por:

Esto se puede ver aplicando el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo con lados horizontales y verticales, teniendo el segmento de línea de a como su hipotenusa. Las dos fórmulas al cuadrado dentro de la raíz cuadrada dan las áreas de los cuadrados en los lados horizontal y vertical, y la raíz cuadrada exterior convierte el área del cuadrado en la hipotenusa en la longitud de la hipotenusa.

También es posible calcular la distancia para puntos dados por coordenadas polares . Si las coordenadas polares de son y las coordenadas polares de son , entonces su distancia está dada por la ley de los cosenos :

Cuando y se expresan como números complejos en el plano complejo , se puede usar la misma fórmula para puntos unidimensionales expresados ​​como números reales:

Mayores dimensiones

Derivar la fórmula de la distancia euclidiana dimensional aplicando repetidamente el teorema de Pitágoras

En tres dimensiones, para puntos dados por sus coordenadas cartesianas, la distancia es

En general, para puntos dados por coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano dimensional, la distancia es

Objetos distintos a los puntos

Para pares de objetos que no son ambos puntos, la distancia se puede definir más simplemente como la distancia más pequeña entre dos puntos cualesquiera de los dos objetos, aunque también se utilizan comúnmente generalizaciones más complicadas de puntos a conjuntos como la distancia de Hausdorff . Las fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos incluyen:

Propiedades

La distancia euclidiana es el ejemplo prototípico de la distancia en un espacio métrico y obedece a todas las propiedades definitorias de un espacio métrico:

  • Es simétrica , lo que significa que para todos los puntos y , . Es decir (a diferencia de la distancia por carretera con calles de un solo sentido) la distancia entre dos puntos no depende de cuál de los dos puntos es el inicio y cuál es el destino.
  • Es positivo , lo que significa que la distancia entre cada dos puntos distintos es un número positivo , mientras que la distancia de cualquier punto a sí mismo es cero.
  • Que obedece a la desigualdad triangular : por cada tres puntos , y , . Intuitivamente, viajar de a vía no puede ser más corto que viajar directamente de a .

Otra propiedad, la desigualdad de Ptolomeo , se refiere a las distancias euclidianas entre los cuatro puntos , , , y . Se afirma que

Para los puntos en el plano, esto puede reformularse diciendo que para cada cuadrilátero , los productos de los lados opuestos del cuadrilátero suman al menos un número tan grande como el producto de sus diagonales. Sin embargo, la desigualdad de Ptolomeo se aplica de manera más general a los puntos en los espacios euclidianos de cualquier dimensión, sin importar cómo estén dispuestos. La geometría de la distancia euclidiana estudia las propiedades de la distancia euclidiana, como la desigualdad de Ptolomeo, y su aplicación para probar si determinados conjuntos de distancias provienen de puntos en un espacio euclidiano.

Distancia euclidiana al cuadrado

Un cono , la gráfica de la distancia euclidiana desde el origen en el plano.
Un paraboloide , la gráfica de la distancia euclidiana al cuadrado desde el origen.

En muchas aplicaciones, y en particular al comparar distancias, puede ser más conveniente omitir la raíz cuadrada final en el cálculo de distancias euclidianas. El valor resultante de esta omisión es el cuadrado de la distancia euclidiana y se denomina distancia euclidiana al cuadrado . Como ecuación, se puede expresar como una suma de cuadrados :

Más allá de su aplicación a la comparación de distancias, la distancia euclidiana al cuadrado es de importancia central en las estadísticas , donde se utiliza en el método de mínimos cuadrados , un método estándar para ajustar estimaciones estadísticas a los datos minimizando el promedio de las distancias cuadradas entre los valores observados y estimados. . La suma de distancias cuadradas entre sí, como se hace en el ajuste por mínimos cuadrados, corresponde a una operación sobre distancias (no cuadradas) llamada suma pitagórica . En el análisis de conglomerados , las distancias cuadradas se pueden utilizar para fortalecer el efecto de distancias más largas.

La distancia euclidiana al cuadrado no forma un espacio métrico, ya que no satisface la desigualdad del triángulo. Sin embargo, es una función suave y estrictamente convexa de los dos puntos, a diferencia de la distancia, que no es suave (cerca de pares de puntos iguales) y convexa pero no estrictamente convexa. Por tanto, la distancia al cuadrado se prefiere en la teoría de la optimización , ya que permite utilizar el análisis convexo . Dado que el cuadrado es una función monótona de valores no negativos, minimizar la distancia al cuadrado es equivalente a minimizar la distancia euclidiana, por lo que el problema de optimización es equivalente en términos de ambos, pero más fácil de resolver usando la distancia al cuadrado.

La colección de todas las distancias al cuadrado entre pares de puntos de un conjunto finito puede almacenarse en una matriz de distancias euclidianas y se utiliza de esta forma en geometría de distancias.

Generalizaciones

En áreas más avanzadas de las matemáticas, cuando se ve el espacio euclidiano como un espacio vectorial , su distancia se asocia con una norma llamada norma euclidiana , definida como la distancia de cada vector desde el origen . Una de las propiedades importantes de esta norma, en relación con otras normas, es que permanece sin cambios bajo rotaciones arbitrarias del espacio alrededor del origen. Según el teorema de Dvoretzky , todo espacio vectorial normado de dimensión finita tiene un subespacio de alta dimensión en el que la norma es aproximadamente euclidiana; la norma euclidiana es la única norma con esta propiedad. Se puede extender a los espacios vectoriales de dimensión infinita como el L 2 norma o L 2 distancia.

Otras distancias comunes en espacios euclidianos y espacios vectoriales de baja dimensión incluyen:

  • La distancia de Chebyshev , que mide la distancia asumiendo que solo la dimensión más significativa es relevante.
  • Distancia de Manhattan , que mide la distancia siguiendo solo direcciones alineadas con el eje.
  • Distancia de Minkowski , una generalización que unifica la distancia euclidiana, la distancia de Manhattan y la distancia de Chebyshev.

Para puntos en superficies en tres dimensiones, la distancia euclidiana debe distinguirse de la distancia geodésica , la longitud de una curva más corta que pertenece a la superficie. En particular, para medir distancias de círculo máximo en la tierra u otras superficies esféricas o casi esféricas, las distancias que se han utilizado incluyen la distancia haversine que da distancias de círculo máximo entre dos puntos en una esfera a partir de sus longitudes y latitudes, y las fórmulas de Vincenty. también conocida como "distancia de Vincent" para la distancia en un esferoide.

Historia

La distancia euclidiana es la distancia en el espacio euclidiano ; Ambos conceptos llevan el nombre del antiguo matemático griego Euclides , cuyos Elementos se convirtieron en un libro de texto estándar en geometría durante muchos siglos. Los conceptos de longitud y distancia están muy extendidos en todas las culturas, se pueden fechar en los primeros documentos burocráticos "protoliterados" que se conservan de Sumer en el cuarto milenio a. C. (mucho antes de Euclides), y se ha planteado la hipótesis de que se desarrollan en los niños antes que los conceptos relacionados de velocidad. y tiempo. Pero la noción de distancia, como un número definido a partir de dos puntos, no aparece realmente en los Elementos de Euclides . En cambio, Euclides se acerca a este concepto implícitamente, a través de la congruencia de segmentos de línea, a través de la comparación de longitudes de segmentos de línea y a través del concepto de proporcionalidad .

El teorema de Pitágoras también es antiguo, pero sólo pudo asumir su papel central en la medición de distancias después de la invención de las coordenadas cartesianas por René Descartes en 1637. La fórmula de la distancia en sí fue publicada por primera vez en 1731 por Alexis Clairaut . Debido a esta fórmula, la distancia euclidiana también se denomina a veces distancia pitagórica. Aunque las mediciones precisas de largas distancias en la superficie de la tierra, que no son euclidianas, se habían vuelto a estudiar en muchas culturas desde la antigüedad (ver historia de la geodesia ), la idea de que la distancia euclidiana podría no ser la única forma de medir distancias entre puntos en los espacios matemáticos llegaron incluso más tarde, con la formulación del siglo XIX de la geometría no euclidiana . La definición de la norma euclidiana y la distancia euclidiana para geometrías de más de tres dimensiones también apareció por primera vez en el siglo XIX, en la obra de Augustin-Louis Cauchy .

Ver también

Referencias