Propiedad universal - Universal property

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una propiedad universal es una propiedad importante que se satisface con un morfismo universal (ver Definición formal ). Los morfismos universales también se pueden considerar de manera más abstracta como objetos iniciales o terminales de una categoría de coma (ver Conexión con categorías de coma ). Las propiedades universales ocurren en casi todas partes en las matemáticas y, por lo tanto, el concepto de teoría de la categoría precisa ayuda a señalar similitudes entre diferentes ramas de las matemáticas, algunas de las cuales incluso pueden parecer no relacionadas.

Las propiedades universales pueden usarse implícitamente en otras áreas de las matemáticas, pero su definición abstracta y más precisa puede estudiarse en la teoría de categorías.

Este artículo ofrece un tratamiento general de las propiedades universales. Para entender el concepto, es útil estudiar varios ejemplos en primer lugar, de los cuales hay muchos: todos los objetos libres , producto directo y suma directa , grupo libre , enrejado libre , grupo de Grothendieck , terminación de Dedekind-MacNeille , topología del producto , Piedra-Čech compactificación , producto tensorial , límite inverso y límite directo , kernel y cokernel , pullback , pushout y ecualizador .

Motivación

Antes de dar una definición formal de propiedades universales, ofrecemos alguna motivación para estudiar tales construcciones.

• Los detalles concretos de una construcción dada pueden ser desordenados, pero si la construcción satisface una propiedad universal, uno puede olvidar todos esos detalles: todo lo que hay que saber sobre la construcción ya está contenido en la propiedad universal. Las pruebas a menudo se vuelven breves y elegantes si se utiliza la propiedad universal en lugar de los detalles concretos. Por ejemplo, el álgebra tensorial de un espacio vectorial es un poco doloroso de construir, pero usar su propiedad universal hace que sea mucho más fácil de manejar.
• Las propiedades universales definen objetos de forma única hasta un isomorfismo único . Por tanto, una estrategia para demostrar que dos objetos son isomorfos es demostrar que satisfacen la misma propiedad universal.
• Construcciones universales son funtorial en la naturaleza: si se puede llevar a cabo la construcción de todos los objetos en una categoría C y luego se obtiene un funtor de C . Además, este funtor es un adjunto derecho o izquierdo al funtor U utilizado en la definición de la propiedad universal.
• Las propiedades universales ocurren en todas partes en matemáticas. Al comprender sus propiedades abstractas, se obtiene información sobre todas estas construcciones y se puede evitar repetir el mismo análisis para cada instancia individual.

Definicion formal

Para comprender la definición de una construcción universal, es importante mirar ejemplos. Las construcciones universales no se definieron de la nada, sino que se definieron después de que los matemáticos comenzaran a notar un patrón en muchas construcciones matemáticas (ver ejemplos a continuación). Por lo tanto, la definición puede no tener sentido para uno al principio, pero se volverá clara cuando uno la reconcilie con ejemplos concretos.

Sea un functor entre categorías y . En lo que sigue, sean objeto de , mientras y son objetos de . ${\ Displaystyle F: C \ a D}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A '}$${\ Displaystyle C}$

Por lo tanto, el funtor mapas , y en el que , y en . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A '}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle F (A)}$${\ Displaystyle F (A ')}$${\ Displaystyle F (h)}$${\ Displaystyle D}$

Un morfismo universal de a${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$ es un par único en el que tiene la siguiente propiedad, comúnmente conocida como propiedad universal . Para cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en el que el siguiente diagrama conmuta : ${\ Displaystyle (A, u: X \ to F (A))}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle f: X \ to F (A ')}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle h: A \ to A '}$${\ Displaystyle C}$

Podemos dualizar este concepto categórico. Un morfismo universal de a${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$ es un par único que satisface la siguiente propiedad universal. Para cualquier morfismo de la forma en , existe un morfismo único en el que el siguiente diagrama conmuta: ${\ Displaystyle (A, u: F (A) \ a X)}$${\ Displaystyle f: F (A ') \ to X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle h: A '\ to A}$${\ Displaystyle C}$

Tenga en cuenta que en cada definición, las flechas están invertidas. Ambas definiciones son necesarias para describir construcciones universales que aparecen en matemáticas; pero también surgen debido a la dualidad inherente presente en la teoría de categorías. En cualquier caso, decimos que el par que se comporta como antes satisface una propiedad universal. ${\ Displaystyle (A, u)}$

Conexión con categorías de coma

Los morfismos universales se pueden describir de manera más concisa como objetos iniciales y terminales en una categoría de coma.

Sea un functor y un objeto de . Luego recuerde que la categoría de coma es la categoría donde ${\ Displaystyle F: C \ a D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ displaystyle (X \ flecha abajo F)}$

• Los objetos son pares de la forma , donde es un objeto en${\ Displaystyle (B, f: X \ to F (B))}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$
• Un morfismo de a viene dado por un morfismo en el que el diagrama conmuta:${\ Displaystyle (B, f: X \ to F (B))}$${\ Displaystyle (B ', f': X \ to F (B '))}$${\ Displaystyle h: B \ to B '}$${\ Displaystyle C}$

Ahora suponga que el objeto de es inicial. Entonces, para cada objeto , existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta. ${\ Displaystyle (A, u: X \ to F (A))}$${\ displaystyle (X \ flecha abajo F)}$${\ Displaystyle (A ', f: X \ to F (A'))}$${\ Displaystyle h: A \ to A '}$

Tenga en cuenta que la igualdad aquí simplemente significa que los diagramas son iguales. También tenga en cuenta que el diagrama en el lado derecho de la igualdad es exactamente el mismo que el ofrecido para definir un morfismo universal de a${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$ . Por tanto, vemos que un morfismo universal de a es equivalente a un objeto inicial en la categoría de coma . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$${\ displaystyle (X \ flecha abajo F)}$

Por el contrario, recuerde que la categoría de coma es la categoría donde ${\ displaystyle (F \ flecha hacia abajo X)}$

• Los objetos son pares de la forma donde hay un objeto en${\ Displaystyle (B, f: F (B) \ a X)}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$
• Un morfismo de a viene dado por un morfismo en el que el diagrama conmuta:${\ Displaystyle (B, f: F (B) \ a X)}$${\ Displaystyle (B ', f': F (B ') \ a X)}$${\ Displaystyle h: B \ to B '}$${\ Displaystyle C}$

Supongamos que es un objeto terminal en . Entonces, para cada objeto , existe un morfismo único tal que los siguientes diagramas conmutan. ${\ Displaystyle (A, u: F (A) \ a X)}$${\ displaystyle (F \ flecha hacia abajo X)}$${\ Displaystyle (A ', f: F (A') \ to X)}$${\ Displaystyle h: A '\ to A}$

El diagrama del lado derecho de la igualdad es el mismo diagrama que se muestra al definir un morfismo universal de a${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$ . Por lo tanto, un morfismo universal de a corresponde con un objeto terminal en la categoría de coma . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$${\ displaystyle (F \ flecha hacia abajo X)}$

Ejemplos de

A continuación se muestran algunos ejemplos para resaltar la idea general. El lector puede construir muchos otros ejemplos consultando los artículos mencionados en la introducción.

Álgebras tensoriales

Sea la categoría de espacios vectoriales -Vect sobre un campo y sea ​​la categoría de álgebras -Alg over (se asume que es unital y asociativo ). Dejar ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle U}$ : -Alg → -Vect${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$

sea ​​el functor olvidadizo que asigna a cada álgebra su espacio vectorial subyacente.

Dado cualquier espacio vectorial sobre podemos construir el álgebra tensorial . El álgebra tensorial se caracteriza por el hecho: ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle T (V)}$

"Cualquier mapa lineal de a un álgebra se puede extender de forma única a un homomorfismo de álgebra de a ".${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle T (V)}$${\ Displaystyle A}$

Este enunciado es una propiedad inicial del álgebra tensorial ya que expresa el hecho de que el par , donde está el mapa de inclusión, es un morfismo universal desde el espacio vectorial hasta el funtor . ${\ Displaystyle (T (V), i)}$${\ Displaystyle i: V \ a U (T (V))}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle U}$

Dado que esta construcción funciona para cualquier espacio vectorial , llegamos a la conclusión de que es un funtor de -Vect a -Alg . Esto significa que se deja adjunto al functor olvidadizo (consulte la sección siguiente sobre la relación con los functores adjuntos ). ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle U}$

Productos

Un producto categórico se puede caracterizar por una construcción universal. Para concreción, se puede considerar el producto cartesiano en Set , el producto directo en Grp o la topología del producto en Top , donde existen productos.

Sean y sean objetos de una categoría con productos finitos. El producto de y es un objeto × junto con dos morfismos ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

${\ Displaystyle \ pi _ {1}}$ : ${\ Displaystyle X \ times Y \ to X}$

${\ Displaystyle \ pi _ {2}}$ : ${\ Displaystyle X \ times Y \ to Y}$

tal que para cualquier otro objeto de y morfismos y existe un morfismo único tal que y . ${\ Displaystyle Z}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle f: Z \ to X}$${\ Displaystyle g: Z \ to Y}$${\ Displaystyle h: Z \ a X \ times Y}$${\ Displaystyle f = \ pi _ {1} \ circ h}$${\ Displaystyle g = \ pi _ {2} \ circ h}$

Para entender esta caracterización como una propiedad universal, tome la categoría como categoría de producto y defina el functor diagonal${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle C \ times C}$

${\ Displaystyle \ Delta: C \ to C \ times C}$

por y . Entonces es un morfismo universal de a el objeto de : si hay algún morfismo de a , entonces debe ser igual a un morfismo de a seguido de . ${\ Displaystyle \ Delta (X) = (X, X)}$${\ Displaystyle \ Delta (f: X \ to Y) = (f, f)}$${\ Displaystyle (X \ multiplicado por Y, (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}))}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle (X, Y)}$${\ Displaystyle C \ times C}$${\ Displaystyle (f, g)}$${\ Displaystyle (Z, Z)}$${\ Displaystyle (X, Y)}$${\ Displaystyle \ Delta (h: Z \ a X \ times Y) = (h, h)}$${\ Displaystyle \ Delta (Z) = (Z, Z)}$${\ Displaystyle \ Delta (X \ times Y) = (X \ times Y, X \ times Y)}$${\ Displaystyle (\ pi _ {1}, \ pi _ {2})}$

Límites y colimits

Los productos categóricos son un tipo particular de límite en la teoría de categorías. Se puede generalizar el ejemplo anterior a límites y colimits arbitrarios.

Sean y sean categorías con una categoría de índice pequeña y sea ​​la categoría de functor correspondiente . El functor diagonal${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle J}$ ${\ Displaystyle C ^ {J}}$

${\ Displaystyle \ Delta: C \ a C ^ {J}}$

es el funtor que asigna cada objeto en al funtor constante a (es decir, para cada en ). ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ Delta (N): J \ to C}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Delta (N) (X) = N}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle J}$

Dado un funtor (pensado como un objeto en ), el límite de , si existe, no es más que un morfismo universal de a . Dualmente, el colimit de es un morfismo universal de a . ${\ Displaystyle F: J \ a C}$${\ Displaystyle C ^ {J}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ Delta}$

Propiedades

Existencia y singularidad

Definir una cantidad no garantiza su existencia. Dado un funtor y un objeto de , puede que exista o no un morfismo universal de a . Sin embargo, si existe un morfismo universal , entonces es esencialmente único. Específicamente, es único hasta un isomorfismo único : si es otro par, entonces existe un isomorfismo único tal que . Esto se ve fácilmente sustituyéndolo en la definición de morfismo universal. ${\ Displaystyle F: C \ a D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle (A, u)}$ ${\ Displaystyle (A ', u')}$${\ Displaystyle k: A \ to A '}$${\ Displaystyle u '= F (k) \ circ u}$${\ Displaystyle (A, u ')}$

Es la pareja la que es esencialmente única en este sentido. El objeto en sí es único hasta el isomorfismo. De hecho, si es un morfismo universal y hay algún isomorfismo, entonces el par , donde también es un morfismo universal. ${\ Displaystyle (A, u)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (A, u)}$${\ Displaystyle k: A \ to A '}$${\ Displaystyle (A ', u')}$${\ Displaystyle u '= F (k) \ circ u}$

Formulaciones equivalentes

La definición de morfismo universal puede reformularse de diversas formas. Sea un funtor y sea ​​un objeto de . Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\ Displaystyle F: C \ a D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$

• ${\ Displaystyle (A, u)}$es un morfismo universal de a${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$
• ${\ Displaystyle (A, u)}$es un objeto inicial de la categoría de coma ${\ displaystyle (X \ flecha abajo F)}$
• ${\ Displaystyle (A, u)}$es una representación de${\ Displaystyle {\ text {Hom}} _ {D} (X, F (-))}$

Las declaraciones duales también son equivalentes:

• ${\ Displaystyle (A, u)}$es un morfismo universal de a${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$
• ${\ Displaystyle (A, u)}$es un objeto terminal de la categoría de coma${\ displaystyle (F \ flecha hacia abajo X)}$
• ${\ Displaystyle (A, u)}$ es una representación de ${\ Displaystyle {\ text {Hom}} _ {D} (F (-), X)}$

Relación con los functores adjuntos

Supongamos que es un morfismo universal de a y es un morfismo universal de a . Por la propiedad universal de los morfismos universales, dado cualquier morfismo existe un morfismo único tal que el siguiente diagrama conmuta: ${\ Displaystyle (A_ {1}, u_ {1})}$${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle (A_ {2}, u_ {2})}$${\ Displaystyle X_ {2}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle h: X_ {1} \ to X_ {2}}$${\ Displaystyle g: A_ {1} \ to A_ {2}}$

Si todo objeto de admite un morfismo universal , entonces la asignación y define un funtor . Los mapas luego definen una transformación natural de (el functor de identidad en ) a . Los funtores son entonces un par de funtores adjuntos , con izquierda-adjunto a y derecha adjunto a . ${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X_ {i} \ mapsto A_ {i}}$${\ Displaystyle h \ mapsto g}$${\ Displaystyle G: D \ a C}$${\ Displaystyle u_ {i}}$${\ Displaystyle 1_ {C}}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle F \ circ G}$${\ Displaystyle (F, G)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$

Declaraciones similares se aplican a la situación dual de morfismos terminales de . Si existen tales morfismos para todos en uno se obtiene un funtor que es adyacente a la derecha (por lo que es adyacente a la izquierda ). ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle G: C \ a D}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$

De hecho, todos los pares de functores adjuntos surgen de construcciones universales de esta manera. Sea y sea ​​un par de functores adjuntos con unidad y co-unidad (consulte el artículo sobre functores adjuntos para las definiciones). Entonces tenemos un morfismo universal para cada objeto en y : ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle \ epsilon}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$

• Para cada objeto en , hay un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único por el que conmutan los siguientes diagramas.${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle (F (X), \ eta _ {X})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle f: X \ a G (Y)}$${\ Displaystyle g: F (X) \ to Y}$
• Para cada objeto en , hay un morfismo universal de a . Es decir, para todos existe un único por el que conmutan los siguientes diagramas.${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle (G (Y), \ epsilon _ {Y})}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle g: F (X) \ to Y}$${\ Displaystyle f: X \ a G (Y)}$

Las construcciones universales son más generales que los pares de functores adjuntos: una construcción universal es como un problema de optimización; da lugar a un par adjunto si y solo si este problema tiene una solución para cada objeto de (equivalentemente, cada objeto de ). ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$

Historia

Las propiedades universales de varias construcciones topológicas fueron presentadas por Pierre Samuel en 1948. Posteriormente fueron utilizadas ampliamente por Bourbaki . El concepto estrechamente relacionado de functores adjuntos fue introducido de forma independiente por Daniel Kan en 1958.

Ver también

• Objeto libre
• Transformación natural
• Functor adjunto
• Mónada (teoría de categorías)
• Variedad de álgebras
• Categoría cerrada cartesiana

Notas

Referencias

• Paul Cohn , Álgebra universal (1981), D. Reidel Publishing, Holanda. ISBN  90-277-1213-1 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
• Borceux, F.Manual de álgebra categórica: vol 1 Teoría de categorías básicas (1994) Cambridge University Press, (Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones) ISBN  0-521-44178-1
• N. Bourbaki, Livre II: Algèbre (1970), Hermann, ISBN  0-201-00639-1 .
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K .. Una introducción a los anillos de grupo . Álgebras y aplicaciones, Volumen 1. Springer, 2002. ISBN  978-1-4020-0238-0
• Jacobson. Álgebra básica II. Dover. 2009. ISBN  0-486-47187-X

enlaces externos

• nLab , un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico
• André Joyal , CatLab , un proyecto wiki dedicado a la exposición de las matemáticas categóricas
• Hillman, Chris. "Una cartilla categórica". CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : Cite journal requiere |journal=( ayuda ) Introducción formal a la teoría de categorías.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Teoría de Categorías ", por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
• Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías
• Baez, John, 1996, " The Tale of n -categories " . Una introducción informal a categorías de orden superior.
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores , transformaciones naturales , propiedades universales .
• The catsters , un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
• Archivo de videos de charlas grabadas relevantes a categorías, lógica y fundamentos de la física.
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.