Límite directo - Direct limit

En matemáticas , un límite directo es una forma de construir un objeto (normalmente grande) a partir de muchos objetos (normalmente más pequeños) que se combinan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos , anillos , espacios vectoriales o en general objetos de cualquier categoría . La forma en que se unen está especificada por un sistema de homomorfismos ( homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo o, en general, morfismos en la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos , donde se extiende sobre algún conjunto dirigido , se denota por . (Este es un ligero abuso de la notación, ya que suprime el sistema de homomorfismos que es crucial para la estructura del límite). ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$

Los límites directos son un caso especial del concepto de colimit en la teoría de categorías . Los límites directos son límites duales a inversos, que también son un caso especial de límites en la teoría de categorías.

Definicion formal

Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos , y luego la definición general, que se puede usar en cualquier categoría .

Límites directos de los objetos algebraicos

En este apartado se entiende que los objetos consisten en conjuntos subyacentes con una estructura algebraica determinada , tales como grupos , anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un campo fijo), etc. Teniendo esto en cuenta, los homomorfismos se entienden en el ajuste correspondiente ( homomorfismos de grupo , etc.).

Sea un conjunto dirigido . Sea una familia de objetos indexados por y sea ​​un homomorfismo para todos con las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}$${\ Displaystyle \ {A_ {i}: i \ in I \}}$${\ Displaystyle I \,}$${\ Displaystyle f_ {ij} \ colon A_ {i} \ rightarrow A_ {j}}$${\ Displaystyle i \ leq j}$

1. ${\ Displaystyle f_ {ii} \,}$es la identidad de , y${\ Displaystyle A_ {i} \,}$
2. ${\ Displaystyle f_ {ik} = f_ {jk} \ circ f_ {ij}}$para todos .${\ Displaystyle i \ leq j \ leq k}$

Entonces el par se llama un sistema directo terminado . ${\ Displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle I}$

El límite directo del sistema directo se denota y se define como sigue. Su conjunto subyacente es la unión de la desunión de los 's modulo una cierta relación de equivalencia : ${\ Displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {i} \,}$ ${\ Displaystyle \ sim \,}$

${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i} = \ bigsqcup _ {i} A_ {i} {\ bigg /} \ sim.}$

Aquí, si y , entonces si hay algunos con y y tal que . Heurísticamente, dos elementos en la unión disjunta son equivalentes si y solo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que resalta la dualidad al límite inverso es que un elemento equivale a todas sus imágenes bajo los mapas del sistema directo, es decir, cuando sea . ${\ Displaystyle x_ {i} \ en A_ {i}}$${\ Displaystyle x_ {j} \ in A_ {j}}$${\ Displaystyle x_ {i} \ sim \, x_ {j}}$ ${\ Displaystyle k \ in I}$${\ Displaystyle i \ leq k}$${\ Displaystyle j \ leq k}$${\ Displaystyle f_ {ik} (x_ {i}) = f_ {jk} (x_ {j}) \,}$${\ Displaystyle x_ {i} \ sim \, f_ {ij} (x_ {i})}$${\ Displaystyle i \ leq j}$

Naturalmente, de esta definición se obtienen funciones canónicas que envían cada elemento a su clase de equivalencia. Las operaciones algebraicas sobre se definen de tal manera que estos mapas se convierten en homomorfismos. Formalmente, el límite directo del sistema directo consiste en el objeto junto con los homomorfismos canónicos . ${\ Displaystyle \ phi _ {i} \ colon A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i} \,}$${\ Displaystyle \ langle A_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle \ varinjlim A_ {i}}$${\ Displaystyle \ phi _ {i} \ colon A_ {i} \ rightarrow \ varinjlim A_ {i}}$

Límites directos en una categoría arbitraria

El límite directo se puede definir en una categoría arbitraria mediante una propiedad universal . Sea un sistema directo de objetos y morfismos en (como se definió anteriormente). Un objetivo es un par en el que hay un objeto y hay morfismos para cada uno, tal que siempre . Un límite directo del sistema directo es un objetivo universalmente repelente en el sentido de que es un objetivo y para cada objetivo , existe un morfismo único tal que para cada i . El siguiente diagrama ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle X \,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ phi _ {i} \ colon X_ {i} \ rightarrow X}$${\ Displaystyle i \ in I}$${\ Displaystyle \ phi _ {i} = \ phi _ {j} \ circ f_ {ij}}$${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ Displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle X, \ phi _ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle Y, \ psi _ {i} \ rangle}$${\ Displaystyle u \ colon X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle u \ circ \ phi _ {i} = \ psi _ {i}}$

luego viajará para todos los i , j .

El límite directo a menudo se denota

${\ Displaystyle X = \ varinjlim X_ {i}}$

entendiéndose el sistema directo y los morfismos canónicos . ${\ Displaystyle \ langle X_ {i}, f_ {ij} \ rangle}$${\ Displaystyle \ phi _ {i}}$

A diferencia de los objetos algebraicos, no todos los sistemas directos en una categoría arbitraria tienen un límite directo. Sin embargo, si lo hace, el límite directo es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X ′ existe un isomorfismo único X ′ → X que conmuta con los morfismos canónicos.

Ejemplos de

• Una colección de subconjuntos de un conjunto se puede ordenar parcialmente por inclusión. Si la recaudación es dirigida, su límite directo es la unión . Lo mismo es cierto para una colección dirigida de subgrupos de un grupo dado, o una colección dirigida de subanillos de un anillo dado, etc.${\ Displaystyle M_ {i}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ bigcup M_ {i}}$
• Sea cualquier conjunto dirigido con un elemento mayor . El límite directo de cualquier sistema directo correspondiente es isomorfo y el morfismo canónico es un isomorfismo.${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle X_ {m}}$${\ Displaystyle \ phi _ {m}: X_ {m} \ rightarrow X}$
• Sea K un campo. Para un número entero positivo n , considere el grupo general lineal GL ( n; K ) que consiste en invertibles n x n - matrices con entradas de K . Tenemos un homomorfismo de grupo GL ( n; K ) → GL ( n +1; K ) que agranda las matrices poniendo un 1 en la esquina inferior derecha y ceros en el resto de la última fila y columna. El límite directo de este sistema es el grupo lineal general de K , escrito como GL ( K ). Un elemento de GL ( K ) se puede pensar como una matriz infinita invertible que difiere de la matriz de identidad infinita en solo un número finito de entradas. El grupo GL ( K ) es de vital importancia en la teoría K algebraica .
• Sea p un número primo . Considere el sistema directo compuesto por los grupos de factores y los homomorfismos inducidos por la multiplicación por . El límite directo de este sistema consiste en todas las raíces de unidad de orden de algún poder , y se llama grupo Prüfer .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z} \ flecha derecha \ mathbb {Z} / p ^ {n + 1} \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$
• Hay un homomorfismo de anillo inyectivo (no obvio) desde el anillo de polinomios simétricos en variables hasta el anillo de polinomios simétricos en variables. Al formar el límite directo de este sistema directo se obtiene el anillo de funciones simétricas.${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n + 1}$
• Deje que F sea una C -valued gavilla en un espacio topológico X . Fijar un punto x en X . Las vecindades abiertas de x forman un conjunto dirigido ordenado por inclusión ( U ≤ V si y solo si U contiene V ). El sistema directo correspondiente es ( F ( U ), r _{U , V} ) donde r es el mapa de restricción. El límite directo de este sistema se llama tallo de F en x , denotado F _x . Para cada vecindario U de x , el morfismo canónico F ( U ) → F _x asocia a una sección s de F sobre U un elemento s _x del tallo F _x llamado germen de sa en x .
• Los límites directos en la categoría de espacios topológicos se dan colocando la topología final en el límite directo subyacente de la teoría de conjuntos.
• Un esquema ind es un límite inductivo de esquemas.

Propiedades

Los límites directos están vinculados a los límites inversos mediante

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ varinjlim X_ {i}, Y) = \ varprojlim \ mathrm {Hom} (X_ {i}, Y).}$

Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un funtor exacto . Esto significa que si comienza con un sistema dirigido de secuencias breves exactas y forma límites directos, obtiene una secuencia breve exacta . ${\ Displaystyle 0 \ to A_ {i} \ to B_ {i} \ to C_ {i} \ to 0}$${\ Displaystyle 0 \ to \ varinjlim A_ {i} \ to \ varinjlim B_ {i} \ to \ varinjlim C_ {i} \ to 0}$

Construcciones y generalizaciones relacionadas

Observamos que un sistema directo en una categoría admite una descripción alternativa en términos de functores . Cualquier conjunto dirigido puede ser considerado como una pequeña categoría cuyos objetos son los elementos y existe un morfismo si y solo si . Un sistema directo over es entonces lo mismo que un funtor covariante . El colimit de este funtor es el mismo que el límite directo del sistema directo original. ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ langle I, \ leq \ rangle}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle i \ rightarrow j}$ ${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}$

Una noción muy relacionada con los límites directos son los colimits filtrados . Aquí comenzamos con un functor covariante de una categoría filtrada a alguna categoría y formamos el colimit de este functor. Se puede mostrar que una categoría tiene todos los límites dirigidos si y solo si tiene todos los colimits filtrados, y un functor definido en dicha categoría conmuta con todos los límites directos si y solo si conmuta con todos los colimits filtrados. ${\ Displaystyle {\ mathcal {J}} \ to {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {J}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Dada una categoría arbitraria , puede haber sistemas directos en los que no hay un límite directo en (considere, por ejemplo, la categoría de conjuntos finitos, o la categoría de grupos abelianos generados finitamente). En este caso, siempre podemos incrustarnos en una categoría en la que existan todos los límites directos; los objetos de se denominan objetos ind de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}$${\ Displaystyle {\ text {Ind}} ({\ mathcal {C}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$

El dual categórico del límite directo se llama límite inverso . Como se indicó anteriormente, los límites inversos pueden verse como límites de ciertos functores y están estrechamente relacionados con los límites de las categorías cofiltradas.

Terminología

En la literatura, se encuentran los términos "límite dirigido", "límite inductivo directo", "colimit dirigido", "colimit directo" y "límite inductivo" para el concepto de límite directo definido anteriormente. Sin embargo, el término "límite inductivo" es ambiguo, ya que algunos autores lo utilizan para el concepto general de colimit.

Ver también

• Límites directos de grupos

Notas

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de las matemáticas. Teoría de conjuntos , traducción del francés, París: Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas , 5 (2a ed.), Springer-Verlag