Functor exacto - Exact functor

En matemáticas , particularmente en álgebra homológica , un funtor exacto es un funtor que conserva secuencias breves y exactas . Los functores exactos son convenientes para los cálculos algebraicos porque pueden aplicarse directamente a presentaciones de objetos. Gran parte del trabajo en álgebra homológica está diseñado para hacer frente a functores que no son exactos, pero de formas que aún pueden controlarse.

Definiciones

Deje que P y Q sean categorías abelianas , y dejar que F : P → Q sea un funtor aditivo covariante (de modo que, en particular, F (0) = 0 ). Decimos que F es un funtor exacto si, siempre que

{\ Displaystyle 0 \ to A {\ stackrel {f} {\ to}} B {\ stackrel {g} {\ to}} C \ to 0}

es una breve secuencia exacta en P , entonces

{\ Displaystyle 0 \ to F (A) {\ stackrel {F (f)} {\ to}} F (B) {\ stackrel {F (g)} {\ to}} F (C) \ to 0}

es una sucesión exacta corta en Q . (Los mapas a menudo se omiten e implican, y uno dice: "si 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → F (A) → F (B) → F (C) → 0 también es exacto" .)

Además, decimos que F es

exacto a la izquierda si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → F (A) → F (B) → F (C) es exacto;
exacto a la derecha si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces F (A) → F (B) → F (C) → 0 es exacto;
medio exacto si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces F (A) → F (B) → F (C) es exacto. Esto es distinto de la noción de un funtor topológico semiexacto .

Si G es un funtor aditivo contravariante de P a Q , de manera similar definimos G como

exacto si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → G (C) → G (B) → G (A) → 0 es exacto;
exacto a la izquierda si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces 0 → G (C) → G (B) → G (A) es exacto;
exacto a la derecha si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces G (C) → G (B) → G (A) → 0 es exacto;
medio exacto si, siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces G (C) → G (B) → G (A) es exacto.

No siempre es necesario comenzar con una secuencia corta y exacta completa 0 → A → B → C → 0 para mantener cierta exactitud. Las siguientes definiciones son equivalentes a las dadas anteriormente:

F es exacta si y solo si A → B → C exacta implica F (A) → F (B) → F (C) exacta;
F es exacta a la izquierda si y sólo si 0 → A → B → C exacta implica 0 → F (A) → F (B) → F (C) exacta (es decir, si " F convierte granos en granos");
F es exacto a la derecha si y solo si A → B → C → 0 exacto implica F (A) → F (B) → F (C) → 0 exacto (es decir, si " F convierte los cokernels en cokernels");
G es exacto a la izquierda si y sólo si A → B → C → 0 exacto implica 0 → G (C) → G (B) → G (A) exacto (es decir, si " G convierte los cokernels en granos");
G es exacto a la derecha si y solo si 0 → A → B → C exacto implica G (C) → G (B) → G (A) → 0 exacto (es decir, si " G convierte granos en cokernels").

Ejemplos

Toda equivalencia o dualidad de categorías abelianas es exacta.

Los ejemplos más básicos de functores exactos a la izquierda son los functores Hom: si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) define un functor covariante exacto a la izquierda de A a la categoría Ab de grupos abelianos . El funtor F _A es exacto si y solo si A es proyectivo . El funtor G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) es un funtor exacto a la izquierda contravariante; es exacto si y solo si A es inyectivo .

Si k es un campo y V es un espacio vectorial sobre k , escribimos V * = Hom _k ( V , k ) (esto se conoce comúnmente como el espacio dual ). Esto produce un funtor exacto contravariante de la categoría de espacios de k -vector a sí mismo. (La exactitud se deriva de lo anterior: k es un módulo k inyectivo . Alternativamente, se puede argumentar que cada secuencia corta exacta de espacios de k -vectores se divide , y cualquier funtor aditivo convierte las secuencias divididas en secuencias divididas).

Si X es un espacio topológico , podemos considerar la categoría abeliana de todas las gavillas de grupos abelianos en X . El funtor covariante que asocia a cada haz F el grupo de secciones globales F ( X ) es exacto a la izquierda.

Si R es un anillo y T es un derecho R - módulo , podemos definir un funtor H _T de la abeliano categoría de todos izquierda R -modules a Ab utilizando el producto tensorial sobre R : H _T ( X ) = T ⊗ X . Este es un funtor exacto derecho covariante; es exacto si y solo si T es plano . En otras palabras, dada una secuencia exacta A → B → C → 0 de módulos R izquierdos , la secuencia de grupos abelianos T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 es exacta.

Por ejemplo, es un módulo plano . Por lo tanto, tensorizar con as -module es un functor exacto. Prueba: basta con mostrar que si i es un mapa inyectivo de módulos- , entonces el mapa correspondiente entre los productos tensoriales es inyectivo. Se puede demostrar que si y solo si es un elemento de torsión o . Los productos tensoriales dados solo tienen tensores puros. Por lo tanto, basta con mostrar que si hay un tensor puro en el núcleo, entonces es cero. Suponga que es un elemento distinto de cero del kernel. Entonces, es torsión. Dado que es inyectivo, es torsión. Por lo tanto, lo cual es una contradicción. Por tanto, también es inyectivo. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle i: M \ a N}$ ${\ Displaystyle M \ otimes \ mathbb {Q} \ to N \ otimes \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle m \ otimes q = 0}$ ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle q = 0}$ ${\ Displaystyle m \ otimes q}$ ${\ Displaystyle m \ otimes q}$ ${\ Displaystyle i (m)}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle m \ otimes q = 0}$ ${\ Displaystyle M \ otimes \ mathbb {Q} \ to N \ otimes \ mathbb {Q}}$

En general, si T no es plano, el producto del tensor no se deja exacto. Por ejemplo, considere la breve secuencia exacta de -modules . Tensorizando con da una secuencia que ya no es exacta, ya que no está libre de torsión y por lo tanto no es plana. ${\ Displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle 5 \ mathbf {Z} \; \; {\ hookrightarrow} \; \; \ mathbf {Z} \ twoheadrightarrow \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} / 5 \ mathbf {Z}}$

Si A es una categoría abeliana y C es una categoría pequeña arbitraria , podemos considerar la categoría de funtor A ^{C que} consta de todos los functores de C a A ; es abeliano. Si X es un objeto dado de C , entonces tenemos un funtor E _X de una ^C a A mediante la evaluación de funtores en X . Este functor E _X es exacto.

Si bien el tensor puede no ser exacto a la izquierda, se puede demostrar que el tensor es un functor exacto derecho:

Teorema: Let A, B, C y P sea R módulos para un anillo conmutativo R que tiene una identidad multiplicativa. Dejar ${\ Displaystyle A {\ stackrel {f} {\ to}} B {\ stackrel {g} {\ to}} C \ to 0}$

ser una breve secuencia exacta de módulos R , entonces

{\ Displaystyle A \ otimes _ {R} P {\ stackrel {f \ otimes P} {\ to}} B \ otimes _ {R} P {\ stackrel {g \ otimes P} {\ to}} C \ otimes _ {R} P \ a 0}

también es una breve secuencia exacta de módulos R. (Dado que R es conmutativa, esta secuencia es una secuencia de módulos R y no simplemente de grupos abelianos). Aquí, definimos: .

{\ Displaystyle f \ otimes P (a \ otimes p): = f (a) \ otimes p, g \ otimes P (b \ otimes p): = g (b) \ otimes p}

Esto tiene un corolario útil: si I es un ideal de R y P es como arriba, entonces ${\ Displaystyle P \ otimes _ {R} (R / I) \ cong P / IP}$

Prueba:: , donde f es la inclusión yg es la proyección, es una secuencia exacta de módulos R. Por lo anterior obtenemos que: también es una breve secuencia exacta de módulos R. Por exactitud, ya que f es la inclusión. Ahora, considere el homomorfismo del módulo R dado por R extendiendo linealmente el mapa definido en tensores puros: implica eso . Por tanto, el núcleo de este mapa no puede contener tensores puros distintos de cero. se compone únicamente de tensores puros: Para . Entonces, este mapa es inyectivo. Está claro que está en marcha. Por lo tanto, . Del mismo modo, . Esto prueba el corolario. ${\ Displaystyle I {\ stackrel {f} {\ to}} R {\ stackrel {g} {\ to}} R / I \ to 0}$ ${\ Displaystyle I \ otimes _ {R} P {\ stackrel {f \ otimes P} {\ to}} R \ otimes _ {R} P {\ stackrel {g \ otimes P} {\ to}} R / I \ otimes _ {R} P \ to 0}$ ${\ Displaystyle R / I \ otimes _ {R} P \ cong (R \ otimes _ {R} P) / Imagen (f \ otimes P) = (R \ otimes _ {R} P) / (I \ otimes _ {R} P)}$ ${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} P \ rightarrow P}$ ${\ Displaystyle r \ otimes p \ mapsto rp.rp = 0}$ ${\ Displaystyle 0 = rp \ otimes 1 = r \ otimes p}$ ${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} P}$ ${\ Displaystyle x_ {i} \ in R, \ sum _ {i} x_ {i} (r_ {i} \ otimes p_ {i}) = \ sum _ {i} 1 \ otimes (r_ {i} x_ { i} p_ {i}) = 1 \ veces (\ sum _ {i} r_ {i} x_ {i} p_ {i})}$ ${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} P \ cong P}$ ${\ Displaystyle I \ otimes _ {R} P \ cong IP}$

Como otra aplicación, mostramos que para, donde y n es la potencia más alta de 2 dividiendo m . Demostramos un caso especial: m = 12 . ${\ Displaystyle P = \ mathbf {Z} [1/2]: = \ {a / 2 ^ {k}: a, k \ in \ mathbf {Z} \}, P \ otimes \ mathbf {Z} / m \ mathbf {Z} \ cong P / k \ mathbf {Z} P}$ ${\ Displaystyle k = m / 2 ^ {n}}$

Prueba: considere un tensor puro . Además, para . Esto demuestra eso . Dejando , A, B, C, P son módulos R = Z por la acción de multiplicación habitual y satisfacen las condiciones del teorema principal. Por la exactitud que implica el teorema y por la nota anterior obtenemos eso . La última congruencia sigue por un argumento similar al de la prueba del corolario que muestra eso . ${\ Displaystyle (12z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) \ in (12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P). (12z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) = (3z) \ otimes (a / 2 ^ {k-2})}$ ${\ Displaystyle (3z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) \ in (3 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P), (3z) \ otimes (a / 2 ^ {k}) = (12z) \ otimes (a / 2 ^ {k + 2})}$ ${\ Displaystyle (12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) = (3 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P)}$ ${\ Displaystyle P = \ mathbf {Z} [1/2], A = 12 \ mathbf {Z}, B = \ mathbf {Z}, C = \ mathbf {Z} / 12 \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle: \ mathbf {Z} / 12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P \ cong (\ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) / (12 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) = (\ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) / (3 \ mathbf {Z} \ otimes _ {Z} P) \ cong \ mathbf {Z} P / 3 \ mathbf {Z } PAGS}$ ${\ Displaystyle I \ otimes _ {R} P \ cong IP}$

Propiedades y teoremas

Un funtor es exacto si y solo si es exacto a la izquierda y exacto a la derecha.

Un funtor covariante (no necesariamente aditivo) se deja exacto si y sólo si convierte límites finitos en límites; un funtor covariante es exacto si y solo si convierte colimits finitos en colimits; un funtor contravariante se deja exacto si y solo si convierte colimits finitos en límites; un funtor contravariante es exacto si y solo si convierte límites finitos en colimits.

El grado en el que un funtor exacto izquierdo deja de ser exacto puede medirse con sus functores derivados derechos ; el grado en el que un funtor exacto derecho deja de ser exacto puede medirse con sus functores derivados izquierdos .

Los functores exactos izquierdo y derecho son ubicuos principalmente por el hecho siguiente: si el functor F se deja adjunto a G , entonces F es exacto a la derecha y G es exacto a la izquierda.

Generalizaciones

En SGA4 , tomo I, sección 1, la noción de functores exactos izquierdo (derecho) se define para categorías generales, y no solo abelianas. La definición es la siguiente:

Sea C una categoría con límites proyectivos (o inductivos) finitos . Entonces, un funtor de C a otra categoría C ′ se deja (resp. Derecha) exacto si conmuta con límites proyectivos finitos (resp. Inductivos).

A pesar de su abstracción, esta definición general tiene consecuencias útiles. Por ejemplo, en la sección 1.8, Grothendieck demuestra que un funtor es pro-representable si y sólo si se deja exacta, bajo algunas condiciones suaves en la categoría C .

Los functores exactos entre las categorías exactas de Quillen generalizan los functores exactos entre las categorías abelianas discutidas aquí.

Los functores regulares entre categorías regulares a veces se denominan functores exactos y generalizan los functores exactos discutidos aquí.

Notas

↑ Jacobson (2009), p. 98, Teorema 3.1.
↑ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.
^ Jacobson (2009), p. 99, Teorema 3.1.
↑ Jacobson (2009), p. 156.

Referencias

Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

[1] Jacobson (2009), p. 98, Teorema 3.1.

[2] Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

[3] Jacobson (2009), p. 99, Teorema 3.1.

[4] Jacobson (2009), p. 156.

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