Polinomio simétrico - Symmetric polynomial

En matemáticas , un polinomio simétrico es un polinomio P ( X ₁ , X ₂ ,…, X _n ) en n variables, de modo que si alguna de las variables se intercambia, se obtiene el mismo polinomio. Formalmente, P es un polinomio simétrico si para cualquier permutación σ de los subíndices 1, 2, ..., n uno tiene P ( X _{σ (1)} , X _{σ (2)} ,…, X _{σ ( n )} ) =  P ( X ₁ , X ₂ ,…, X _n ) .

Los polinomios simétricos surgen naturalmente en el estudio de la relación entre las raíces de un polinomio en una variable y sus coeficientes, ya que los coeficientes pueden estar dados por expresiones polinomiales en las raíces, y todas las raíces juegan un papel similar en este escenario. Desde este punto de vista, los polinomios simétricos elementales son los polinomios simétricos más fundamentales. Un teorema establece que cualquier polinomio simétrico puede expresarse en términos de polinomios simétricos elementales, lo que implica que toda expresión polinomial simétrica en las raíces de un polinomio mónico puede expresarse alternativamente como una expresión polinomial en los coeficientes del polinomio.

Los polinomios simétricos también forman una estructura interesante por sí mismos, independientemente de cualquier relación con las raíces de un polinomio. En este contexto, otras colecciones de polinomios simétricos específicos, como los polinomios homogéneos completos , de suma de potencia y de Schur, juegan papeles importantes junto con los elementales. Las estructuras resultantes, y en particular el anillo de funciones simétricas , son de gran importancia en la combinatoria y en la teoría de la representación .

Ejemplos de

Los siguientes polinomios en dos variables X ₁ y X ₂ son simétricos:

${\ Displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} -7}$

${\ Displaystyle 4X_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} ^ {3} X_ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {3} + (X_ {1 } + X_ {2}) ^ {4}}$

como es el siguiente polinomio en tres variables X ₁ , X ₂ , X ₃ :

${\ Displaystyle X_ {1} X_ {2} X_ {3} -2X_ {1} X_ {2} -2X_ {1} X_ {3} -2X_ {2} X_ {3}}$

Hay muchas formas de hacer polinomios simétricos específicos en cualquier número de variables (consulte los distintos tipos a continuación). Un ejemplo de un sabor algo diferente es

${\ Displaystyle \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (X_ {i} -X_ {j}) ^ {2}}$

donde primero se construye un polinomio que cambia de signo bajo cada intercambio de variables, y tomar el cuadrado lo vuelve completamente simétrico (si las variables representan las raíces de un polinomio monico, este polinomio da su discriminante ).

Por otro lado, el polinomio en dos variables

${\ Displaystyle X_ {1} -X_ {2}}$

no es simétrica, ya que si uno los intercambios y se obtiene un polinomio diferente, . De manera similar en tres variables ${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X_ {2}}$${\ Displaystyle X_ {2} -X_ {1}}$

${\ Displaystyle X_ {1} ^ {4} X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {4} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} X_ {3} ^ {4}}$

solo tiene simetría bajo permutaciones cíclicas de las tres variables, lo cual no es suficiente para ser un polinomio simétrico. Sin embargo, lo siguiente es simétrico:

${\ Displaystyle X_ {1} ^ {4} X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {4} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} X_ {3} ^ {4} + X_ {1} ^ {4} X_ {2} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} X_ {3} ^ {4} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {4} X_ {3}}$

Aplicaciones

Teoría de Galois

Un contexto en el que ocurren funciones polinomiales simétricas es en el estudio de polinomios monicos univariados de grado n que tienen n raíces en un campo dado . Estas n raíces determinan el polinomio, y cuando se consideran variables independientes, los coeficientes del polinomio son funciones polinomiales simétricas de las raíces. Además, el teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que una función polinomial f de las n raíces puede expresarse como (otra) función polinomial de los coeficientes del polinomio determinado por las raíces si y solo si f está dada por un polinomio simétrico.

Esto produce el enfoque para resolver ecuaciones polinomiales invirtiendo este mapa, "rompiendo" la simetría - dados los coeficientes del polinomio (los polinomios simétricos elementales en las raíces), ¿cómo se pueden recuperar las raíces? Esto lleva a estudiar soluciones de polinomios utilizando el grupo de permutación de las raíces, originalmente en forma de solventes de Lagrange , posteriormente desarrollado en la teoría de Galois .

Relación con las raíces de un polinomio monico univariado

Considere un polinomio monico en t de grado n

${\ Displaystyle P = t ^ {n} + a_ {n-1} t ^ {n-1} + \ cdots + a_ {2} t ^ {2} + a_ {1} t + a_ {0}}$

con coeficientes a _i en algún campo  k . Existen n raíces x ₁ ,…, x _n de P en algún campo posiblemente más grande (por ejemplo, si k es el campo de los números reales , las raíces existirán en el campo de los números complejos ); Algunas de las raíces pueden ser iguales, pero el hecho de que uno tenga todas las raíces se expresa mediante la relación

${\ Displaystyle P = t ^ {n} + a_ {n-1} t ^ {n-1} + \ cdots + a_ {2} t ^ {2} + a_ {1} t + a_ {0} = ( t-x_ {1}) (t-x_ {2}) \ cdots (t-x_ {n}).}$

Comparando los coeficientes se encuentra que

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} a_ {n-1} & = - x_ {1} -x_ {2} - \ cdots -x_ {n} \\ a_ {n-2} & = x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + \ cdots + x_ {2} x_ {3} + \ cdots + x_ {n-1} x_ {n} = \ textstyle \ sum _ {1 \ leq i < j \ leq n} x_ {i} x_ {j} \\ & {} \ \, \ vdots \\ a_ {1} & = (- 1) ^ {n-1} (x_ {2} x_ {3} \ cdots x_ {n} + x_ {1} x_ {3} x_ {4} \ cdots x_ {n} + \ cdots + x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n-2} x_ {n} + x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n-1}) = \ estilo de texto (-1) ^ {n-1} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ prod _ {j \ neq i } x_ {j} \\ a_ {0} & = (- 1) ^ {n} x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n}. \ end {alineado}}}$

De hecho, estos son solo ejemplos de las fórmulas de Viète . Muestran que todos los coeficientes del polinomio están dados en términos de raíces por una expresión polinomial simétrica : aunque para un polinomio P dado puede haber diferencias cualitativas entre las raíces (como estar en el campo base  k o no, ser simple o múltiple raíces), nada de esto afecta la forma en que ocurren las raíces en estas expresiones.

Ahora bien, se puede cambiar el punto de vista tomando las raíces en lugar de los coeficientes como parámetros básicos para describir P , y considerándolos como indeterminados en lugar de constantes en un campo apropiado; los coeficientes a _i se convierten en los polinomios simétricos particulares dados por las ecuaciones anteriores. Esos polinomios, sin el signo , se conocen como polinomios simétricos elementales en x ₁ ,…, x _n . Un hecho básico, conocido como el teorema fundamental de los polinomios simétricos, establece que cualquier polinomio simétrico en n variables puede estar dado por una expresión polinomial en términos de estos polinomios simétricos elementales. De ello se deduce que cualquier expresión polinomial simétrica en las raíces de un polinomio monico puede expresarse como un polinomio en los coeficientes del polinomio y, en particular, que su valor se encuentra en el campo base k que contiene esos coeficientes. Por lo tanto, cuando se trabaja solo con expresiones polinomiales simétricas en las raíces, es innecesario saber algo en particular acerca de esas raíces, o calcular en un campo mayor que k en el que pueden encontrarse esas raíces. De hecho, los valores de las raíces mismas se vuelven bastante irrelevantes, y las relaciones necesarias entre coeficientes y expresiones polinomiales simétricas se pueden encontrar mediante cálculos en términos de polinomios simétricos únicamente. Un ejemplo de tales relaciones son las identidades de Newton , que expresan la suma de cualquier potencia fija de las raíces en términos de los polinomios simétricos elementales. ${\ displaystyle (-1) ^ {ni}}$

Tipos especiales de polinomios simétricos

Hay algunos tipos de polinomios simétricos en las variables X ₁ , X ₂ ,…, X _n que son fundamentales.

Polinomios simétricos elementales

Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico elemental e _k ( X ₁ ,…, X _n ) es la suma de todos los productos distintos de k variables distintas. (Algunos autores lo denotan por σ _{k en su} lugar.) Para k  = 0 solo existe el producto vacío, por lo que e ₀ ( X ₁ ,…, X _n ) = 1, mientras que para k  >  n , no se pueden formar productos en absoluto, entonces e _k ( X ₁ , X ₂ ,…, X _n ) = 0 en estos casos. Los n polinomios simétricos elementales restantes son bloques de construcción para todos los polinomios simétricos en estas variables: como se mencionó anteriormente, cualquier polinomio simétrico en las variables consideradas se puede obtener a partir de estos polinomios simétricos elementales usando solo multiplicaciones y adiciones. De hecho, uno tiene los siguientes hechos más detallados:

• cualquier polinomio simétrico P en X ₁ ,…, X _n se puede escribir como una expresión polinomial en los polinomios e _k ( X ₁ ,…, X _n ) con 1 ≤  k  ≤  n ;
• esta expresión es única hasta la equivalencia de expresiones polinómicas;
• si P tiene coeficientes integrales , entonces la expresión polinomial también tiene coeficientes integrales.

Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos elementales relevantes son e ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂ , ye ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ X ₂ . El primer polinomio en la lista de ejemplos anterior se puede escribir como

${\ Displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} -7 = e_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3} -3e_ {2} (X_ { 1}, X_ {2}) e_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) - 7}$

(para una prueba de que esto siempre es posible, vea el teorema fundamental de polinomios simétricos ).

Polinomios simétricos monomiales

Las potencias y productos de polinomios simétricos elementales resultan en expresiones bastante complicadas. Si uno busca bloques de construcción aditivos básicos para polinomios simétricos, una opción más natural es tomar esos polinomios simétricos que contienen solo un tipo de monomio, con solo esas copias requeridas para obtener simetría. Cualquier monomio en X ₁ ,…, X _n se puede escribir como X ₁ ^{α ₁} … X _n ^{α _n} donde los exponentes α _i son números naturales (posiblemente cero); escribiendo α = (α ₁ ,…, α _n ) esto se puede abreviar como X ^α . El polinomio simétrico monomial m _α ( X ₁ ,…, X _n ) se define como la suma de todos los monomios x ^β donde β varía en todas las permutaciones distintas de (α ₁ ,…, α _n ). Por ejemplo, uno tiene

${\ Displaystyle m _ {(3,1,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = X_ {1} ^ {3} X_ {2} X_ {3} + X_ {1 } X_ {2} ^ {3} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} X_ {3} ^ {3}}$,

${\ Displaystyle m _ {(3,2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = X_ {1} ^ {3} X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} ^ {3} X_ {2} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {3} X_ {3} + X_ {1} ^ {2 } X_ {2} X_ {3} ^ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {3} X_ {3} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} X_ {3 } ^ {3}.}$

Claramente m _α  =  m _β cuando β es una permutación de α, por lo que generalmente se consideran solo aquellos m _α para los cuales α ₁  ≥ α ₂  ≥… ≥ α _n , en otras palabras para los cuales α es una partición de un número entero . Estos polinomios monomiales simétricos forman una base de espacio vectorial: cada polinomio simétrico P se puede escribir como una combinación lineal de los polinomios monomiales simétricos. Para ello es suficiente para separar los diferentes tipos de monomio que ocurre en P . En particular, si P tiene coeficientes enteros, también lo tendrá la combinación lineal.

Los polinomios simétricos elementales son casos particulares de polinomios simétricos monomiales: para 0 ≤  k  ≤  n uno tiene

${\ Displaystyle e_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = m _ {\ alpha} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$donde α es la partición de k en k partes 1 (seguida de n  -  k ceros).

Polinomios simétricos de suma de potencias

Para cada entero k  ≥ 1, el polinomio simétrico monomio m _{( k , 0,…, 0)} ( X ₁ ,…, X _n ) es de especial interés. Es el polinomio simétrico de suma de potencias, definido como

${\ Displaystyle p_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = X_ {1} ^ {k} + X_ {2} ^ {k} + \ cdots + X_ {n} ^ {k }.}$

Todos los polinomios simétricos se pueden obtener a partir de los primeros n polinomios simétricos de suma de potencias mediante sumas y multiplicaciones, posiblemente con coeficientes racionales. Más precisamente,

Cualquier polinomio simétrico en X ₁ ,…, X _n puede expresarse como una expresión polinomial con coeficientes racionales en los polinomios simétricos de suma de potencia p ₁ ( X ₁ ,…, X _n ),…, p _n ( X ₁ ,…, X _n ).

En particular, los polinomios de suma de potencias restantes p _k ( X ₁ ,…, X _n ) para k  >  n pueden expresarse así en los primeros n polinomios de suma de potencias; por ejemplo

${\ Displaystyle p_ {3} (X_ {1}, X_ {2}) = \ textstyle {\ frac {3} {2}} p_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) - {\ frac {1} {2}} p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3}.}$

En contraste con la situación para los polinomios homogéneos elementales y completos, un polinomio simétrico en n variables con coeficientes integrales no necesita ser una función polinomial con coeficientes integrales de los polinomios simétricos de suma de potencias. Por ejemplo, para n  = 2, el polinomio simétrico

${\ Displaystyle m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}) = X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {2}}$

tiene la expresión

${\ Displaystyle m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}) = \ textstyle {\ frac {1} {2}} p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3} - {\ frac {1} {2}} p_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}).}$

Usando tres variables se obtiene una expresión diferente

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ { 1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2} \\ & = p_ {1} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) p_ {2} (X_ {1}, X_ {2} , X_ {3}) - p_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}). \ End {alineado}}}$

La expresión correspondiente también era válida para dos variables (basta con establecer X ₃ en cero), pero dado que involucra p ₃ , no podría usarse para ilustrar la declaración para n  = 2. El ejemplo muestra que si el La expresión de un polinomio simétrico monomial dado en términos de los primeros n polinomios de suma de potencias implica coeficientes racionales que pueden depender de n . Pero siempre se necesitan coeficientes racionales para expresar polinomios simétricos elementales (excepto los constantes, ye ₁ que coincide con la primera suma de potencias) en términos de polinomios de suma de potencias. Las identidades de Newton proporcionan un método explícito para hacer esto; implica la división por números enteros hasta n , lo que explica los coeficientes racionales. Debido a estas divisiones, el enunciado mencionado falla en general cuando se toman coeficientes en un campo de característica finita ; sin embargo, es válido con coeficientes en cualquier anillo que contenga números racionales.

Polinomios simétricos homogéneos completos

Para cada entero no negativo k , el polinomio simétrico homogéneo completo h _k ( X ₁ ,…, X _n ) es la suma de todos los monomios distintos de grado k en las variables X ₁ ,…, X _n . Por ejemplo

${\ Displaystyle h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = X_ {1} ^ {3} + X_ {1} ^ {2} X_ {2} + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} X_ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ { 2} ^ {3} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2} + X_ {3} ^ {3}.}$

El polinomio h _k ( X ₁ ,…, X _n ) es también la suma de todos los polinomios simétricos monomiales distintos de grado k en X ₁ ,…, X _n , por ejemplo para el ejemplo dado

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} h_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = m _ {(3)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ { 3}) + m _ {(2,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) + m _ {(1,1,1)} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) \\ & = (X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + X_ {3} ^ {3}) + (X_ {1} ^ {2} X_ {2 } + X_ {1} ^ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} X_ {3} ^ {2} + X_ {2} ^ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {3} ^ {2}) + (X_ {1} X_ {2} X_ {3}). \\\ end {alineado}}}$

Todos los polinomios simétricos en estas variables se pueden construir a partir de los homogéneos completos: cualquier polinomio simétrico en X ₁ ,…, X _n se puede obtener a partir de los polinomios simétricos homogéneos completos h ₁ ( X ₁ ,…, X _n ),…, h _n ( X ₁ ,…, X _n ) mediante multiplicaciones y sumas. Más precisamente:

Cualquier polinomio simétrico P en X ₁ ,…, X _n se puede escribir como una expresión polinomial en los polinomios h _k ( X ₁ ,…, X _n ) con 1 ≤  k  ≤  n .

Si P tiene coeficientes integrales , entonces la expresión polinomial también tiene coeficientes integrales .

Por ejemplo, para n = 2, los polinomios simétricos homogéneos completos relevantes son h ₁ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ + X ₂ y h ₂ ( X ₁ , X ₂ ) = X ₁ ² + X ₁ X ₂ + X ₂ ² . El primer polinomio en la lista de ejemplos anterior se puede escribir como

${\ Displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} -7 = -2h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) ^ {3} + 3h_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) h_ {2} (X_ {1}, X_ {2}) - 7.}$

Como en el caso de las sumas de potencia, el enunciado dado se aplica en particular a los polinomios simétricos homogéneos completos más allá de h _n ( X ₁ ,…, X _n ), lo que les permite expresarse en términos de los hasta ese punto; de nuevo, las identidades resultantes se vuelven inválidas cuando se incrementa el número de variables.

Un aspecto importante de los polinomios simétricos homogéneos completos es su relación con los polinomios simétricos elementales, que se pueden expresar como las identidades

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} e_ {i} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) h_ {ki} (X_ {1} , \ ldots, X_ {n}) = 0}$, para todo k  > 0, y cualquier número de variables  n .

Dado que e ₀ ( X ₁ ,…, X _n ) y h ₀ ( X ₁ ,…, X _n ) son ambos iguales a 1, se puede aislar el primer o el último término de estas sumas; el primero da un conjunto de ecuaciones que permite expresar recursivamente los sucesivos polinomios simétricos homogéneos completos en términos de los polinomios simétricos elementales, y el segundo da un conjunto de ecuaciones que permite hacer lo inverso. Esto muestra implícitamente que cualquier polinomio simétrico puede expresarse en términos de h _k ( X ₁ ,…, X _n ) con 1 ≤  k  ≤  n : primero se expresa el polinomio simétrico en términos de los polinomios simétricos elementales, y luego se expresan esos en términos de los homogéneos completos mencionados.

Polinomios de Schur

Otra clase de polinomios simétricos es la de los polinomios de Schur, que son de fundamental importancia en las aplicaciones de polinomios simétricos a la teoría de la representación . Sin embargo, no son tan fáciles de describir como los otros tipos de polinomios simétricos especiales; consulte el artículo principal para obtener más detalles.

Polinomios simétricos en álgebra

Los polinomios simétricos son importantes para el álgebra lineal , la teoría de la representación y la teoría de Galois . También son importantes en la combinatoria , donde se estudian principalmente a través del anillo de funciones simétricas , lo que evita tener que llevar un número fijo de variables todo el tiempo.

Polinomios alternos

Son análogos a los polinomios simétricos los polinomios alternos : polinomios que, en lugar de ser invariantes bajo la permutación de las entradas, cambian según el signo de la permutación .

Todos estos son productos del polinomio de Vandermonde y un polinomio simétrico, y forman una extensión cuadrática del anillo de polinomios simétricos: el polinomio de Vandermonde es una raíz cuadrada del discriminante.

Ver también

• Función simétrica
• Identidades de Newton
• Función simétrica de Stanley
• La desigualdad de Muirhead

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0.984,00001
• Macdonald, IG (1979), Funciones simétricas y polinomios de pasillo . Monografías matemáticas de Oxford. Oxford: Clarendon Press.
• IG Macdonald (1995), Funciones simétricas y polinomios de pasillo , segunda ed. Oxford: Clarendon Press. ISBN  0-19-850450-0 (rústica, 1998).
• Richard P. Stanley (1999), Combinatoria enumerativa , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-56069-1