Polinomio simétrico elemental - Elementary symmetric polynomial

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , los polinomios simétricos elementales son un tipo de bloque de construcción básico para polinomios simétricos , en el sentido de que cualquier polinomio simétrico puede expresarse como un polinomio en polinomios simétricos elementales. Es decir, cualquier polinomio simétrico $P$ viene dado por una expresión que involucra solo sumas y multiplicaciones de constantes y polinomios simétricos elementales. Hay un polinomio simétrico elemental de grado $d$ en $n$ variables para cada entero no negativo $d \leq n$ , y se forma sumando todos los productos distintos de $d$ variables distintas.

Definición

Los polinomios simétricos elementales en $n$ variables $X 1,\dots, X n$ , escritos $e k (X 1,\dots, X n)$ para $k = 0, 1,\dots, n$ , están definidos por

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} e_ {0} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) & = 1, \\ [10pt] e_ {1} (X_ {1} , X_ {2}, \ puntos, X_ {n}) & = \ sum _ {1 \ leq j \ leq n} X_ {j}, \\ e_ {2} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) & = \ sum _ {1 \ leq j <k \ leq n} X_ {j} X_ {k}, \\ e_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) & = \ sum _ {1 \ leq j <k <l \ leq n} X_ {j} X_ {k} X_ {l}, \\\ end {alineado}}}

y así sucesivamente, terminando con

{\ Displaystyle e_ {n} (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n}) = X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}.}

En general, para $k \geq 0$ definimos

{\ Displaystyle e_ {k} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ sum _ {1 \ leq j_ {1} <j_ {2} <\ cdots <j_ {k} \ leq n} X_ {j_ {1}} \ dotsm X_ {j_ {k}},}

de modo que $e k (X 1,\dots, X n) = 0$ si $k > n$ .

Así, para cada entero no negativo $k$ menor o igual $an$ existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grado $k$ en $n$ variables. Para formar el que tiene grado $k$ , tomamos la suma de todos los productos de $k$ -subconjuntos de las $n$ variables. (Por el contrario, si se realiza la misma operación utilizando conjuntos múltiples de variables, es decir, tomando variables con repetición, se llega a los polinomios simétricos homogéneos completos ).

Dada una partición entera (es decir, una secuencia finita no creciente de enteros positivos) $λ = (λ 1,\dots, λ m)$ , se define el polinomio simétrico $e λ (X 1,\dots, X n)$ , también llamado polinomio simétrico elemental, por

{\ Displaystyle e _ {\ lambda} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) = e _ {\ lambda _ {1}} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ cdot e_ { \ lambda _ {2}} (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ cdots e _ {\ lambda _ {m}} (X_ {1}, \ dots, X_ {n})}

.

A veces se usa la notación $σ k en$ lugar de $e k$ .

Ejemplos de

A continuación se enumeran los $n$ polinomios simétricos elementales para los primeros cuatro valores positivos de $n$ . (En todos los casos, $e 0 = 1$ es también uno de los polinomios).

Para $n = 1$ :

{\ Displaystyle e_ {1} (X_ {1}) = X_ {1}.}

Para $n = 2$ :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} e_ {1} (X_ {1}, X_ {2}) & = X_ {1} + X_ {2}, \\ e_ {2} (X_ {1}, X_ { 2}) & = X_ {1} X_ {2}. \, \\\ end {alineado}}}

Para $n = 3$ :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} e_ {1} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} + X_ {2} + X_ {3}, \\ e_ { 2} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} X_ {2} + X_ {1} X_ {3} + X_ {2} X_ {3}, \\ e_ {3} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) & = X_ {1} X_ {2} X_ {3}. \, \\\ end {alineado}}}

Para $n = 4$ :

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} e_ {1} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}) & = X_ {1} + X_ {2} + X_ {3} + X_ {4}, \\ e_ {2} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}) & = X_ {1} X_ {2} + X_ {1} X_ { 3} + X_ {1} X_ {4} + X_ {2} X_ {3} + X_ {2} X_ {4} + X_ {3} X_ {4}, \\ e_ {3} (X_ {1} , X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}) & = X_ {1} X_ {2} X_ {3} + X_ {1} X_ {2} X_ {4} + X_ {1} X_ { 3} X_ {4} + X_ {2} X_ {3} X_ {4}, \\ e_ {4} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, X_ {4}) & = X_ {1} X_ {2} X_ {3} X_ {4}. \, \\\ end {alineado}}}

Propiedades

Los polinomios simétricos elementales aparecen cuando expandimos una factorización lineal de un polinomio monico: tenemos la identidad

{\ Displaystyle \ prod _ {j = 1} ^ {n} (\ lambda -X_ {j}) = \ lambda ^ {n} -e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ lambda ^ {n-1} + e_ {2} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) \ lambda ^ {n-2} + \ cdots + (- 1) ^ {n} e_ {n } (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}).}

Es decir, cuando sustituimos valores numéricos por las variables $X 1, X 2,\dots, X n$ , obtenemos el polinomio monico univariado (con variable $λ$ ) cuyas raíces son los valores sustituidos por $X 1, X 2,\dots, X n$ y cuyos coeficientes están hasta su signo los polinomios simétricos elementales. Estas relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio se denominan fórmulas de Vieta .

El polinomio característico de una matriz cuadrada es un ejemplo de aplicación de las fórmulas de Vieta. Las raíces de este polinomio son los valores propios de la matriz. Cuando sustituimos estos autovalores en los polinomios simétricos elementales, obtenemos, hasta su signo, los coeficientes del polinomio característico, que son invariantes de la matriz. En particular, la traza (la suma de los elementos de la diagonal) es el valor de $e 1$ y, por lo tanto, la suma de los valores propios. Asimismo, el determinante es, hasta el signo, el término constante del polinomio característico; más precisamente, el determinante es el valor de $e n$ . Por tanto, el determinante de una matriz cuadrada es el producto de los valores propios.

El conjunto de polinomios simétricos elementales en $n$ variables genera el anillo de polinomios simétricos en $n$ variables. Más específicamente, el anillo de polinomios simétricos con coeficientes enteros es igual al anillo polinomial integral $ℤ [e 1 (X 1,\dots, X n),\dots, e n (X 1,\dots, X n)]$ . (Vea a continuación una declaración y una prueba más general). Este hecho es uno de los fundamentos de la teoría invariante . Para otro sistema de polinomios simétricos con la misma propiedad, ver polinomios simétricos homogéneos completos , y para un sistema con una propiedad similar, pero un poco más débil, ver polinomio simétrico de suma de potencias .

Teorema fundamental de polinomios simétricos

Para cualquier anillo conmutativo $A$ , denote el anillo de polinomios simétricos en las variables $X 1,\dots, X n$ con coeficientes en $A$ por $A [X 1,\dots, X n] S n$ . Este es un anillo polinomial en los n polinomios simétricos elementales $e k (X 1,\dots, X n)$ para $k = 1,\dots, n$ . (Tenga en cuenta que $e 0$ no se encuentra entre estos polinomios; dado que $e 0 = 1$ , no puede ser miembro de ningún conjunto de elementos algebraicamente independientes).

Esto significa que todo polinomio simétrico $P (X 1,\dots, X n) \in A [X 1,\dots, X n] S n$ tiene una representación única

{\ Displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = Q {\ big (} e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}), \ ldots, e_ {n } (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) {\ big)}}

para algún polinomio $Q \in A [Y 1,\dots, Y n]$ . Otra forma de decir lo mismo es que el homomorfismo de anillo que envía $Y k$ a $e k (X 1,\dots, X n)$ para $k = 1,\dots, n$ define un isomorfismo entre $A [Y 1,\dots, Y n]$ y $A [X 1,\dots, X n] S n$ .

Boceto de prueba

El teorema puede demostrarse para polinomios homogéneos simétricos mediante una doble inducción matemática con respecto al número de variables $n$ y, para $n$ fijo , con respecto al grado del polinomio homogéneo. El caso general sigue luego al dividir un polinomio simétrico arbitrario en sus componentes homogéneos (que nuevamente son simétricos).

En el caso de $n = 1,$ el resultado es obvio porque cada polinomio en una variable es automáticamente simétrico.

Suponga ahora que se ha demostrado el teorema para todos los polinomios para $m < n$ variables y todos los polinomios simétricos en $n$ variables con grado $< d$ . Todo polinomio simétrico homogéneo $P$ en $A [X 1,\dots, X n] S n$ se puede descomponer como una suma de polinomios simétricos homogéneos

{\ Displaystyle P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = P _ {\ text {lacunary}} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) + X_ {1} \ cdots X_ { n} \ cdot Q (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}).}

Aquí la "parte lacunar" $P lacunary$ se define como la suma de todos los monomios en $P$ que contienen sólo un subconjunto propio de las $n$ variables $X 1,\dots, X n$ , es decir, donde falta al menos una variable $X j$ .

Debido a que $P$ es simétrica, la parte lacunar está determinada por sus términos que contienen solo las variables $X 1,\dots, X n - 1$ , es decir, que no contienen $X n$ . Más precisamente: si $A$ y $B$ son dos polinomios simétricos homogéneos en $X 1,\dots, X n$ tienen el mismo grado, y si el coeficiente de $A$ antes de cada monomio que contiene solo las variables $X 1,\dots, X n - 1$ es igual a coeficiente correspondiente de $B$ , entonces $A$ y $B$ tienen partes lacunares iguales. (Esto se debe a que todo monomio que pueda aparecer en una parte lacunar debe carecer de al menos una variable y, por lo tanto, puede transformarse mediante una permutación de las variables en un monomio que contenga solo las variables $X 1,\dots, X n - 1$ ).

Pero los términos de $P$ que contienen solo las variables $X 1,\dots, X n - 1$ son precisamente los términos que sobreviven a la operación de establecer $X n$ en 0, por lo que su suma es igual a $P (X 1,\dots, X n - 1, 0)$ , que es un polinomio simétrico en las variables $X 1,\dots, X n - 1$ que denotaremos por $P̃ (X 1,\dots, X n - 1)$ . Por el supuesto inductivo, este polinomio se puede escribir como

{\ Displaystyle {\ tilde {P}} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n-1}) = {\ tilde {Q}} (\ sigma _ {1, n-1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1, n-1})}

para algunos $Q̃$ . Aquí el $σ j, n - 1$ doblemente indexado denota los polinomios simétricos elementales en $n - 1$ variables.

Considere ahora el polinomio

{\ Displaystyle R (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}): = {\ tilde {Q}} (\ sigma _ {1, n}, \ ldots, \ sigma _ {n-1, n} ) \.}

Entonces $R (X 1,\dots, X n)$ es un polinomio simétrico en $X 1,\dots, X n$ , del mismo grado que $P lacunary$ , que satisface

{\ Displaystyle R (X_ {1}, \ ldots, X_ {n-1}, 0) = {\ tilde {Q}} (\ sigma _ {1, n-1}, \ ldots, \ sigma _ {n -1, n-1}) = P (X_ {1}, \ ldots, X_ {n-1}, 0)}

(la primera igualdad se cumple porque establecer $X n$ en 0 en $σ j, n$ da $σ j, n - 1$ , para todo $j < n$ ). En otras palabras, el coeficiente de $R$ antes de cada monomio que contiene sólo las variables $X 1, ..., X n - 1$ es igual al coeficiente correspondiente de $P$ . Como sabemos, esto demuestra que la parte lacunar de $R$ coincide con la del polinomio original, $P$ . Por tanto, la diferencia $P - R$ no tiene parte lacunar y, por tanto, es divisible por el producto $X 1 \cdot\cdot\cdot X n$ de todas las variables, que es igual al polinomio simétrico elemental $σ n, n$ . Entonces escribiendo $P - R = σ n, n Q$ , el cociente $Q$ es un polinomio simétrico homogéneo de grado menor que $d$ (de hecho grado como máximo $d - n$ ) que por el supuesto inductivo puede expresarse como un polinomio en el simétrico elemental funciones. La combinación de las representaciones para $P - R$ y $R$ se encuentra una representación polinómica para $P$ .

La unicidad de la representación se puede probar inductivamente de manera similar. (Es equivalente al hecho de que los $n$ polinomios $e 1,\dots, e n$ son algebraicamente independientes sobre el anillo $A$ ). El hecho de que la representación polinomial sea única implica que $A [X 1,\dots, X n] S n$ es isomorfo a $A [Y 1,\dots, Y n]$ .

Prueba alternativa

La siguiente demostración también es inductiva, pero no involucra otros polinomios que los simétricos en $X 1,\dots, X n$ , y también conduce a un procedimiento bastante directo para escribir efectivamente un polinomio simétrico como un polinomio en los simétricos elementales. Suponga que el polinomio simétrico es homogéneo de grado $d$ ; diferentes componentes homogéneos se pueden descomponer por separado. Ordene los monomios en las variables $X i$ lexicográficamente , donde las variables individuales se ordenan $X 1 >\dots> X n$ , en otras palabras, el término dominante de un polinomio es uno con la mayor potencia de ocurrencia de $X 1$ , y entre aquellos con la potencia más alta de $X 2$ , etc. Además, parametrice todos los productos de polinomios simétricos elementales que tienen grado $d$ (de hecho, son homogéneos) de la siguiente manera mediante particiones de $d$ . Ordene los polinomios simétricos elementales individuales $e i (X 1,\dots, X n)$ en el producto para que aquellos con índices más grandes $i$ vengan primero, luego construya para cada uno de esos factores una columna de $i$ cajas, y organice esas columnas de izquierda a derecha para formar un diagrama de Young que contenga $d$ cuadros en total. La forma de este diagrama es una partición de $d$ , y cada partición $λ$ de $d$ surge exactamente para un producto de polinomios simétricos elementales, que denotaremos por $e λ t (X 1,\dots, X n$ ) (la $t$ sólo está presente porque tradicionalmente este producto está asociado a la partición transpuesta de $λ$ ). El ingrediente esencial de la demostración es la siguiente propiedad simple, que usa notación de índices múltiples para monomios en las variables $X i$ .

Lema . El término principal de $e λ t (X 1,\dots, X n)$ es $X λ$ .

Prueba . El término principal del producto es el producto de los términos principales de cada factor (esto es cierto siempre que se usa un orden monomial , como el orden lexicográfico utilizado aquí), y el término principal del factor

e i (X 1,\dots, X n)

es claramente

X 1 X 2 \cdot\cdot\cdot X i

. Para contar las ocurrencias de las variables individuales en el monomio resultante, llene la columna del diagrama de Young correspondiente al factor relacionado con los números

1, ..., i

de las variables, luego todos los cuadros en la primera fila contienen 1, los de la segunda fila 2, y así sucesivamente, lo que significa que el término principal es

X λ

.

Ahora se demuestra por inducción sobre el monomio principal en orden lexicográfico, que cualquier polinomio simétrico homogéneo $P$ distinto de cero de grado $d$ puede escribirse como polinomio en los polinomios simétricos elementales. Dado que $P$ es simétrico, su monomio principal tiene exponentes ligeramente decrecientes, por lo que es algo de $X λ$ con $λ$ una partición de $d$ . Sea $c$ el coeficiente de este término , entonces $P - ce λ t (X 1,\dots, X n)$ es cero o un polinomio simétrico con un monomio inicial estrictamente más pequeño. Escribir esta diferencia inductivamente como un polinomio en los polinomios simétricos elementales, y la adición de nuevo $ce λ t (X 1, ..., X n)$ a ella, se obtiene la buscaron para la expresión polinómica para $P$ .

El hecho de que esta expresión sea única, o equivalentemente que todos los productos (monomios) $e λ t (X 1,\dots, X n)$ de polinomios simétricos elementales son linealmente independientes, también se demuestra fácilmente. El lema muestra que todos estos productos tienen diferentes monomios iniciales, y esto es suficiente: si una combinación lineal no trivial de $e λ t (X 1,\dots, X n)$ fuera cero, uno se enfoca en la contribución en la combinación lineal con coeficiente distinto de cero y con (como polinomio en las variables $X i$ ) el monomio principal más grande; el término principal de esta contribución no puede ser cancelado por ninguna otra contribución de la combinación lineal, lo que da una contradicción.

Ver también

Referencias

Macdonald, IG (1995). Funciones simétricas y polinomios de pasillo (2ª ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.
Stanley, Richard P. (1999). Combinatoria enumerativa, vol. 2 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.

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