Fórmulas de Vieta - Vieta's formulas

En matemáticas , las fórmulas de Vieta son fórmulas que relacionan los coeficientes de un polinomio con las sumas y productos de sus raíces . El nombre de François Viète (más comúnmente conocido por la forma latinizada de su nombre, "Franciscus Vieta"), las fórmulas se utilizan específicamente en álgebra .

Fórmulas básicas

Cualquier polinomio general de grado n

${\ Displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

(con los coeficientes que son números reales o complejos y un _n ≠ 0 ) es conocido por el teorema fundamental del álgebra que tiene n raíces complejas (no necesariamente distintas) r ₁ , r ₂ , ..., r _n . Las fórmulas de Vieta relacionan los coeficientes del polinomio con las sumas con signo de los productos de las raíces r ₁ , r ₂ , ..., r _{n de la} siguiente manera:

${\ Displaystyle {\ begin {cases} r_ {1} + r_ {2} + \ dots + r_ {n-1} + r_ {n} = - {\ dfrac {a_ {n-1}} {a_ {n }}} \\ (r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + \ cdots + r_ {1} r_ {n}) + (r_ {2} r_ {3} + r_ {2 } r_ {4} + \ cdots + r_ {2} r_ {n}) + \ cdots + r_ {n-1} r_ {n} = {\ dfrac {a_ {n-2}} {a_ {n}} } \\ {} \ quad \ vdots \\ r_ {1} r_ {2} \ dots r_ {n} = (- 1) ^ {n} {\ dfrac {a_ {0}} {a_ {n}}} . \ end {casos}}}$

Las fórmulas de Vieta se pueden escribir de manera equivalente como

${\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {k} \ leq n} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {k} r_ {i_ { j}} \ right) = (- 1) ^ {k} {\ frac {a_ {nk}} {a_ {n}}},}$

para k = 1, 2, ..., n (los índices i _k se ordenan en orden creciente para garantizar que cada producto de k raíces se use exactamente una vez).

Los lados izquierdos de las fórmulas de Vieta son los polinomios simétricos elementales de las raíces.

Generalización a anillos

Fórmulas de Vieta se utilizan con frecuencia con polinomios con coeficientes en cualquier dominio integral R . Entonces, los cocientes pertenecen al anillo de fracciones de R (y posiblemente estén en el mismo R si resulta ser invertible en R ) y las raíces se toman en una extensión algebraicamente cerrada . Normalmente, R es el anillo de los números enteros , el campo de las fracciones es el campo de los números racionales y el campo algebraicamente cerrado es el campo de los números complejos . ${\ Displaystyle a_ {i} / a_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle r_ {i}}$

Las fórmulas de Vieta son útiles porque proporcionan relaciones entre las raíces sin tener que calcularlas.

Para polinomios sobre un anillo conmutativo que no es un dominio integral, las fórmulas de Vieta solo son válidas cuando es un divisor distinto de cero y factoriza como . Por ejemplo, en el anillo de los números enteros módulo 8, el polinomio tiene cuatro raíces: 1, 3, 5 y 7. Las fórmulas de Vieta no son verdaderas si, digamos, y , porque . Sin embargo, factoriza como y como , y las fórmulas de Vieta se mantienen si establecemos yo y o y . ${\ Displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle a_ {n} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ dots (x-r_ {n})}$${\ Displaystyle P (x) = x ^ {2} -1}$${\ Displaystyle r_ {1} = 1}$${\ Displaystyle r_ {2} = 3}$${\ Displaystyle P (x) \ neq (x-1) (x-3)}$${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle (x-1) (x-7)}$${\ Displaystyle (x-3) (x-5)}$${\ Displaystyle r_ {1} = 1}$${\ Displaystyle r_ {2} = 7}$${\ Displaystyle r_ {1} = 3}$${\ Displaystyle r_ {2} = 5}$

Ejemplo

Fórmulas de Vieta aplicadas a polinomios cuadráticos y cúbicos:

Las raíces del polinomio cuadrático satisfacen ${\ Displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ ${\ Displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$

${\ Displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}$

La primera de estas ecuaciones se puede utilizar para encontrar el mínimo (o máximo) de P ; ver ecuación cuadrática § fórmulas de Vieta .

Las raíces del polinomio cúbico satisfacen ${\ Displaystyle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}}$ ${\ Displaystyle P (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

${\ Displaystyle r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + r_ {2} r_ {3} = {\ frac {c} {a}}, \ quad r_ {1} r_ {2} r_ {3} = - {\ frac {d} {a}}.}$

Prueba

Las fórmulas de Vieta se pueden probar ampliando la igualdad

${\ Displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {n} (x-r_ { 1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n})}$

(lo cual es cierto ya que son todas las raíces de este polinomio), multiplicando los factores del lado derecho e identificando los coeficientes de cada potencia de${\ Displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ dots, r_ {n}}$${\ Displaystyle x.}$

Formalmente, si uno expande los términos son precisamente donde está 0 o 1, de acuerdo con si está incluido en el producto o no, yk es el número de los que están excluidos, por lo que el número total de factores en el producto es n (contando con multiplicidad k ) - ya que hay n opciones binarias (incluyen o x ), hay términos - geométricamente, estos pueden ser entendidas como los vértices de un hipercubo. Al agrupar estos términos por grado se obtienen los polinomios simétricos elementales en - para x ^k , todos los productos k- veces distintos de${\ Displaystyle (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) \ cdots (x-r_ {n}),}$${\ Displaystyle (-1) ^ {nk} r_ {1} ^ {b_ {1}} \ cdots r_ {n} ^ {b_ {n}} x ^ {k},}$${\ Displaystyle b_ {i}}$${\ Displaystyle r_ {i}}$${\ Displaystyle r_ {i}}$${\ Displaystyle x ^ {k}}$${\ Displaystyle r_ {i}}$${\ Displaystyle 2 ^ {n}}$${\ Displaystyle r_ {i}}$${\ Displaystyle r_ {i}.}$

Como ejemplo, considere la cuadrática . Comparando potencias idénticas de , encontramos , y , con las que podemos, por ejemplo, identificar y , que son las fórmulas de Vieta para . ${\ Displaystyle f (x) = a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {2} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) = a_ {2} (x ^ {2} -x (r_ {1} + r_ {2}) + r_ {1} r_ {2})}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle a_ {2} = a_ {2}}$${\ Displaystyle a_ {1} = - a_ {2} (r_ {1} + r_ {2})}$${\ Displaystyle a_ {0} = a_ {2} (r_ {1} r_ {2})}$${\ Displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - a_ {1} / a_ {2}}$${\ Displaystyle r_ {1} r_ {2} = a_ {0} / a_ {2}}$${\ Displaystyle n = 2}$

Historia

Como se refleja en el nombre, las fórmulas fueron descubiertas por el matemático francés del siglo XVI François Viète , para el caso de las raíces positivas.

En opinión del matemático británico del siglo XVIII Charles Hutton , citado por Funkhouser, el principio general (no solo para las raíces reales positivas) fue entendido por primera vez por el matemático francés del siglo XVII Albert Girard :

... [Girard fue] la primera persona que entendió la doctrina general de la formación de los coeficientes de las potencias a partir de la suma de las raíces y sus productos. Fue el primero en descubrir las reglas para sumar las potencias de las raíces de cualquier ecuación.

Ver también

• Identidades de Newton
• Polinomio simétrico elemental
• Polinomio simétrico
• Contenido (álgebra)
• Propiedades de las raíces polinomiales
• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema de la raíz racional

Referencias

• "Teorema de Viète" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funkhouser, H. Gray (1930), "Una breve descripción de la historia de las funciones simétricas de las raíces de las ecuaciones", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi : 10.2307 / 2299273 , JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), Un curso de álgebra , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3413-4

• Djukić, Dušan; et al. (2006), El compendio de la OMI: una colección de problemas sugeridos para las Olimpíadas Matemáticas Internacionales, 1959-2004 , Springer, Nueva York, NY, ISBN 0-387-24299-6