Monomio - Monomial

En matemáticas , un monomio es, en términos generales, un polinomio que tiene un solo término . Se pueden encontrar dos definiciones de monomio:

Un monomio, también llamado producto de potencia , es un producto de potencias de variables con exponentes enteros no negativos o, en otras palabras, un producto de variables, posiblemente con repeticiones. Por ejemplo, es un monomio. La constante es un monomio, siendo igual al producto vacío y a para cualquier variable . Si solo se considera una variable , esto significa que un monomio es una o una potencia de , con un número entero positivo. Si se consideran varias variables, digamos, entonces a cada una se le puede dar un exponente, de modo que cualquier monomio sea de la forma con números enteros no negativos (teniendo en cuenta que cualquier exponente hace que el factor correspondiente sea igual a ). ${\ displaystyle x ^ {2} yz ^ {3} = xxyzzz}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {0}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle x ^ {n}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle x, y, z,}$ ${\ Displaystyle x ^ {a} y ^ {b} z ^ {c}}$ ${\ Displaystyle a, b, c}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle 1}$
Un monomio es un monomio en el primer sentido multiplicado por una constante distinta de cero, llamada coeficiente del monomio. Un monomio en el primer sentido es un caso especial de un monomio en el segundo sentido, donde el coeficiente es . Por ejemplo, en esta interpretación y son monomios (en el segundo ejemplo, las variables son y el coeficiente es un número complejo ). ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle -7x ^ {5}}$ ${\ displaystyle (3-4i) x ^ {4} yz ^ {13}}$ ${\ Displaystyle x, y, z,}$

En el contexto de los polinomios de Laurent y las series de Laurent , los exponentes de un monomio pueden ser negativos, y en el contexto de las series de Puiseux , los exponentes pueden ser números racionales .

Dado que la palabra "monomio", así como la palabra "polinomio", proviene de la palabra latina tardía "binomium" (binomio), al cambiar el prefijo "bi-" (dos en latín), un monomio debería teóricamente llamarse un "mononomial". "Monomial" es un síncope por haplología de "mononomial".

Comparación de las dos definiciones

Con cualquiera de las definiciones, el conjunto de monomios es un subconjunto de todos los polinomios que se cierra con la multiplicación.

Se pueden encontrar ambos usos de esta noción y, en muchos casos, la distinción simplemente se ignora; véanse, por ejemplo, los ejemplos para el primer y segundo significado. En las discusiones informales, la distinción rara vez es importante y se tiende hacia el segundo significado más amplio. Sin embargo, cuando se estudia la estructura de los polinomios, a menudo se necesita definitivamente una noción con el primer significado. Este es, por ejemplo, el caso cuando se considera una base monomial de un anillo polinomial , o una ordenación monomial de esa base. Un argumento a favor del primer significado es también que no hay otra noción obvia disponible para designar estos valores (el término producto de poder está en uso, en particular cuando se usa monomio con el primer significado, pero no hace que la ausencia de constantes claro tampoco), mientras que el término de la noción de polinomio coincide inequívocamente con el segundo significado de monomio.

El resto de este artículo asume el primer significado de "monomio".

Base monomial

El hecho más obvio sobre los monomios (primer significado) es que cualquier polinomio es una combinación lineal de ellos, por lo que forman una base del espacio vectorial de todos los polinomios, llamado base monomial , un hecho de uso implícito constante en matemáticas.

Número

El número de monomios de grado en variables es el número de multicombinaciones de elementos elegidos entre las variables (una variable se puede elegir más de una vez, pero el orden no importa), que viene dado por el coeficiente de multiset . Esta expresión también se puede dar en forma de un coeficiente binomial , como una expresión polinomial en , o usando una potencia factorial ascendente de : ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ textstyle \ left (\! \! {\ binom {n} {d}} \! \! \ right)}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle d + 1}$

{\ Displaystyle \ left (\! \! {\ binom {n} {d}} \! \! \ right) = {\ binom {n + d-1} {d}} = {\ binom {d + (n -1)} {n-1}} = {\ frac {(d + 1) \ times (d + 2) \ times \ cdots \ times (d + n-1)} {1 \ times 2 \ times \ cdots \ times (n-1)}} = {\ frac {1} {(n-1)!}} (d + 1) ^ {\ overline {n-1}}.}

Las últimas formas son particularmente útiles cuando se fija el número de variables y se deja variar el grado. De estas expresiones se ve que para n fijo , el número de monomios de grado d es una expresión polinomial en de grado con coeficiente principal . ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle n-1}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {(n-1)!}}}$

Por ejemplo, el número de monomios en tres variables ( ) de grado d es ; estos números forman la secuencia 1, 3, 6, 10, 15, ... de números triangulares . ${\ Displaystyle n = 3}$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} (d + 1) ^ {\ overline {2}} = {\ frac {1} {2}} (d + 1) (d + 2)}$

La serie de Hilbert es una forma compacta de expresar el número de monomios de un grado dado: el número de monomios de grado en variables es el coeficiente de grado de la expansión formal de la serie de potencias de ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle d}$

{\ Displaystyle {\ frac {1} {(1-t) ^ {n}}}.}

El número de monomios de grado como máximo $d$ en $n$ variables es . Esto se deriva de la correspondencia biunívoca entre los monomios de grado en variables y los monomios de grado como máximo en variables, que consiste en sustituir por 1 la variable extra. ${\ textstyle {\ binom {n + d} {n}} = {\ binom {n + d} {d}}}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle n + 1}$ ${\ Displaystyle d}$ ${\ Displaystyle n}$

Notación

La notación de los monomios se requiere constantemente en campos como las ecuaciones diferenciales parciales . Si las variables están utilizando un formulario de familia de conjuntos como , , , ..., entonces la notación multi-índice es útil: si escribimos ${\ Displaystyle x_ {1}}$ ${\ Displaystyle x_ {2}}$ ${\ Displaystyle x_ {3}}$

{\ Displaystyle \ alpha = (a, b, c)}

podemos definir

{\ Displaystyle x ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {a} \, x_ {2} ^ {b} \, x_ {3} ^ {c}}

para compacidad.

La licenciatura

El grado de un monomio se define como la suma de todos los exponentes de las variables, incluidos los exponentes implícitos de 1 para las variables que aparecen sin exponente; por ejemplo, en el ejemplo de la sección anterior, el título es . El grado de es 1 + 1 + 2 = 4. El grado de una constante distinta de cero es 0. Por ejemplo, el grado de −7 es 0. ${\ Displaystyle a + b + c}$ ${\ displaystyle xyz ^ {2}}$

El grado de un monomio a veces se denomina orden, principalmente en el contexto de una serie. También se denomina grado total cuando es necesario distinguirlo del grado en una de las variables.

El grado monomial es fundamental para la teoría de polinomios univariados y multivariados. Explícitamente, se utiliza para definir el grado de un polinomio y la noción de polinomio homogéneo , así como para los ordenamientos monomiales graduados que se utilizan para formular y calcular las bases de Gröbner . Implícitamente, se utiliza para agrupar los términos de una serie de Taylor en varias variables .

Geometría

En geometría algebraica, las variedades definidas por ecuaciones monomiales para algún conjunto de α tienen propiedades especiales de homogeneidad. Esto se puede expresar en el lenguaje de los grupos algebraicos , en términos de la existencia de una acción grupal de un toro algebraico (equivalentemente por un grupo multiplicativo de matrices diagonales ). Esta zona se estudia con el nombre de incrustaciones toroidales . ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} = 0}$

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