Polinomio cuyas raíces son los valores propios de una matriz
Este artículo trata sobre el polinomio característico de una matriz o de un endomorfismo de espacios vectoriales. Para conocer el polinomio característico de una matroide, consulte
Matroide . Para el de un poset graduado, consulte
Poset graduado .
En álgebra lineal , el polinomio característico de una matriz cuadrada es un polinomio que es invariante bajo semejanza de matriz y tiene los valores propios como raíces . Tiene el determinante y la traza de la matriz entre sus coeficientes. El polinomio característico de un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita es el polinomio característico de la matriz de ese endomorfismo sobre cualquier base (es decir, el polinomio característico no depende de la elección de una base ). La ecuación característica , también conocida como ecuación determinante , es la ecuación que se obtiene al igualar el polinomio característico a cero.
En la teoría de grafos espectrales , el polinomio característico de un grafo es el polinomio característico de su matriz de adyacencia .
Motivación
Dada una matriz cuadrada , queremos encontrar un polinomio cuyos ceros sean los valores propios de Para una matriz diagonal, el polinomio característico se puede definir por: si las entradas diagonales son etc., entonces el polinomio característico será:
Esto funciona porque las entradas diagonales también son los valores propios de esta matriz.
Para una matriz general, se puede proceder de la siguiente manera. Un escalar es un valor propio de si y solo si hay un vector distinto de cero llamado vector propio , tal que
o equivalente,
donde está la
matriz de identidad . Dado que debe ser distinto de cero, esto significa que la matriz tiene un núcleo distinto de cero . Por tanto, esta matriz no es invertible y, por tanto , su determinante debe ser cero. Así, los valores propios de son las raíces de los cuales es un polinomio en
Definicion formal
Considere una matriz El polinomio característico de denotado por es el polinomio definido por
donde denota la matriz de identidad .
Algunos autores definen el polinomio característico como Ese polinomio se diferencia del definido aquí por un signo, por lo que no hay diferencia para propiedades como tener como raíces los valores propios de ; sin embargo, la definición anterior siempre da un
polinomio monico , mientras que la definición alternativa es monica solo cuando es par.
Ejemplos de
Calcular el polinomio característico de la matriz
se calcula
el determinante de lo siguiente:
y resultó ser el polinomio característico de
Otro ejemplo usa funciones hiperbólicas de un ángulo hiperbólico φ. Para la matriz, toma
Su polinomio característico es
Propiedades
El polinomio característico de una matriz es monico (su coeficiente principal es ) y su grado es El hecho más importante sobre el polinomio característico ya se mencionó en el párrafo motivacional: los valores propios de son precisamente las
raíces de (esto también es válido para el polinomio mínimo de pero su grado puede ser menor que ). Todos los coeficientes del polinomio característico son expresiones polinomiales en las entradas de la matriz. En particular, su coeficiente constante es el coeficiente de es uno, y el coeficiente de es tr (- A ) = −tr ( A ) , donde tr ( A ) es la traza de (Los signos dados aquí corresponden a la definición formal dada en la sección anterior; para la definición alternativa, estos serían y (−1) n - 1 tr ( A ) respectivamente.)
Para una matriz, el polinomio característico viene dado por
Usando el lenguaje del álgebra exterior , el polinomio característico de una matriz puede expresarse como
donde es la traza de la º potencia exterior de la cual tiene dimensión Esta traza se puede calcular como la suma de todos los menores principales de de tamaño El recursiva Faddeev-LeVerrier algoritmo calcula estos coeficientes más eficiente.
Cuando la característica del campo de los coeficientes es, cada uno de estos trazos puede calcularse alternativamente como un único determinante, el de la matriz,
El teorema de Cayley-Hamilton establece que reemplazar por en el polinomio característico (interpretando las potencias resultantes como potencias de la matriz y el término constante como multiplicado por la matriz identidad) produce la matriz cero. Hablando informalmente, cada matriz satisface su propia ecuación característica. Esta afirmación equivale a decir que el
polinomio mínimo de divide el polinomio característico de
Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Sin embargo, lo contrario no es cierto en general: dos matrices con el mismo polinomio característico no necesitan ser similares.
La matriz y su
transposición tienen el mismo polinomio característico. es similar a una matriz triangular si y solo si su polinomio característico se puede factorizar completamente en factores lineales (lo mismo ocurre con el polinomio mínimo en lugar del polinomio característico). En este caso es similar a una matriz en forma normal de Jordan .
Polinomio característico de un producto de dos matrices
Si y son dos matrices cuadradas, entonces los polinomios característicos de y coinciden:
Cuando
no es singular, este resultado se deriva del hecho de que y son similares :
Para el caso donde ambos y son singulares, la identidad deseada es una igualdad entre los polinomios en y los coeficientes de las matrices. Así, para demostrar esta igualdad, basta con demostrar que se verifica en un
subconjunto abierto no vacío (para la topología habitual , o, más generalmente, para la topología de Zariski ) del espacio de todos los coeficientes. Como las matrices no singulares forman un subconjunto abierto del espacio de todas las matrices, esto prueba el resultado.
De manera más general, si es una matriz de orden y es una matriz de orden, entonces es y es matriz, y uno tiene
Para probar esto, se puede suponer intercambiando, si es necesario, y luego, al bordear la parte inferior con filas de ceros, y a la derecha, con columnas de ceros, se obtienen dos matrices y tal que y es igual a bordeado por filas y columnas de ceros. El resultado se deriva del caso de matrices cuadradas, al comparar los polinomios característicos de y
Polinomio característico de A k
Si es un autovalor de una matriz cuadrada con autovector, entonces claramente es un autovalor de
También se puede demostrar que las multiplicidades concuerdan, y esto se generaliza a cualquier polinomio en lugar de :
Es decir, la multiplicidad algebraica de in es igual a la suma de multiplicidades algebraicas de in sobre tal que
En particular, y
aquí un polinomio, por ejemplo, se evalúa en una matriz simplemente como
El teorema se aplica a matrices y polinomios sobre cualquier campo o anillo conmutativo . Sin embargo, la suposición de que tiene una factorización en factores lineales no siempre es cierta, a menos que la matriz esté sobre un
campo algebraicamente cerrado como los números complejos.
Prueba
|
Esta prueba solo se aplica a matrices y polinomios sobre números complejos (o cualquier campo algebraicamente cerrado). En ese caso, el polinomio característico de cualquier matriz cuadrada siempre se puede factorizar como
donde están los valores propios de posiblemente repetidos. Además, el teorema de descomposición de Jordan garantiza que cualquier matriz cuadrada se puede descomponer como donde es una matriz invertible y es triangular superior
con en la diagonal (con cada valor propio repetido de acuerdo con su multiplicidad algebraica). (La forma normal de Jordan tiene propiedades más fuertes, pero estas son suficientes; alternativamente, se puede usar la descomposición de Schur , que es menos popular pero algo más fácil de probar).
Deja
entonces
Para una matriz triangular superior con diagonal, la matriz es triangular superior con diagonal hacia adentro
y, por lo tanto, es triangular superior con diagonal.
Por lo tanto, los valores propios de son
Dado que es similar a tiene los mismos valores propios, con las mismas multiplicidades algebraicas.
|
Función secular y ecuación secular
Función secular
El término función secular se ha utilizado para lo que ahora se llama polinomio característico (en alguna literatura todavía se utiliza el término función secular). El término proviene del hecho de que el polinomio característico se utilizó para calcular las perturbaciones seculares (en una escala de tiempo de un siglo, es decir, lentas en comparación con el movimiento anual) de las órbitas planetarias, según la teoría de las oscilaciones de Lagrange .
Ecuación secular
La ecuación secular puede tener varios significados.
- En álgebra lineal a veces se usa en lugar de ecuación característica.
- En astronomía es la expresión algebraica o numérica de la magnitud de las desigualdades en el movimiento de un planeta que quedan después de que se han permitido las desigualdades de un período corto.
orbitales moleculares relacionados con la energía del electrón y su función de onda, también se utiliza en lugar de la ecuación característica.
Para álgebras asociativas generales
La definición anterior del polinomio característico de una matriz con entradas en un campo se generaliza sin ningún cambio en el caso cuando es solo un
anillo conmutativo . Garibaldi (2004) define el polinomio característico para elementos de un álgebra arbitraria de dimensión finita ( asociativa , pero no necesariamente conmutativa) sobre un campo y prueba las propiedades estándar del polinomio característico en esta generalidad.
Ver también
Referencias
- TS Blyth y EF Robertson (1998) Álgebra lineal básica , p 149, Springer ISBN 3-540-76122-5 .
- John B. Fraleigh y Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, p 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8 .
-
Garibaldi, Skip (2004), "El polinomio característico y el determinante no son construcciones ad hoc", American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math / 0203276 , doi : 10.2307 / 4145188 , JSTOR 4145188 , MR 2104048
- Werner Greub (1974) Cuarta edición de Álgebra lineal , págs. 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8 .
- Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1 .
-
Gilbert Strang (1988) Álgebra lineal y sus aplicaciones 3a edición, p 246, Brooks / Cole ISBN 0-15-551005-3 .