Matriz complementaria - Companion matrix

En álgebra lineal , la matriz compañera de Frobenius del polinomio mónico

${\ Displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} ~,}$

es la matriz cuadrada definida como

${\ displaystyle C (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {0} \\ 1 & 0 & \ dots & 0 & -c_ {1} \\ 0 & 1 & \ dots & 0 & -c_ {2} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}.}$

Algunos autores usan la transposición de esta matriz, que (doblemente) cicla las coordenadas, y es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineal .

Caracterización

El polinomio característico así como el polinomio mínimo de C ( p ) son igual a p .

En este sentido, la matriz C ( p ) es la "compañera" del polinomio p .

Si A es una matriz n- por- n con entradas de algún campo K , entonces las siguientes declaraciones son equivalentes:

• A es similar a la matriz compañera sobre K de su polinomio característico
• el polinomio característico de A coincide con el polinomio mínimo de A , de manera equivalente el polinomio mínimo tiene grado n
• existe un vector cíclico v en para A , lo que significa que { v , A v , A ² v , ..., A ^{n -1} v } es una base de V . De manera equivalente, tal que V es cíclico como un módulo-(y ); se dice que A no es despectivo . ${\ Displaystyle V = K ^ {n}}$${\ Displaystyle K [A]}$${\ Displaystyle V = K [A] ​​/ (p (A))}$

No todas las matrices cuadradas son similares a las matrices complementarias. Pero cada matriz es similar a una matriz formada por bloques de matrices complementarias. Además, estas matrices complementarias se pueden elegir de modo que sus polinomios se dividan entre sí; a continuación, se determinan de forma única por A . Esta es la forma canónica racional de A .

Diagonalizabilidad

Si p ( t ) tiene raíces distintas λ ₁ , ...,  λ _n (los valores propios de C ( p )), entonces C ( p ) es diagonalizable de la siguiente manera:

${\ Displaystyle VC (p) V ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n})}$

donde V es la matriz de Vandermonde correspondiente a las λ .

En ese caso, las trazas de las potencias m de C producen fácilmente sumas de las mismas potencias m de todas las raíces de p ( t ),

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} C ^ {m} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} ^ {m} ~.}$

Si p ( t ) tiene una raíz no simple, entonces C ( p ) no es diagonalizable (su forma canónica de Jordan contiene un bloque para cada raíz distinta).

Secuencias recursivas lineales

Dada una secuencia lineal recursiva con polinomio característico

${\ Displaystyle p (t) = c_ {0} + c_ {1} t + \ cdots + c_ {n-1} t ^ {n-1} + t ^ {n} \,}$

la matriz acompañante (transpuesta)

${\ displaystyle C ^ {T} (p) = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & 1 \\ - c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & \ cdots & -c_ {n-1} \ end {bmatrix}}}$

genera la secuencia, en el sentido de que

${\ Displaystyle C ^ {T} {\ begin {bmatrix} a_ {k} \\ a_ {k + 1} \\\ vdots \\ a_ {k + n-1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {k + 1} \\ a_ {k + 2} \\\ vdots \\ a_ {k + n} \ end {bmatrix}}.}$

incrementa la serie en 1.

El vector (1, t , t ² , ..., t ^{n -1} ) es un vector propio de esta matriz para el valor propio t , cuando t es una raíz del polinomio característico p ( t ) .

Para c ₀ = -1 , y todos los demás c _i = 0 , es decir, p ( t ) = t ⁿ -1 , esta matriz se reduce a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester , o matriz circulante .

Ver también

• Endomorfismo de Frobenius
• Teorema de Cayley-Hamilton
• Subespacio de Krylov

Notas