Característica (álgebra) - Characteristic (algebra)

En matemáticas , la característica de un anillo R , a menudo denotado char ( R ), se define como el menor número de veces que se debe usar la identidad multiplicativa del anillo (1) en una suma para obtener la identidad aditiva (0). Si esta suma nunca alcanza la identidad aditiva, se dice que el anillo tiene la característica cero.

Es decir, char ( R ) es el número positivo más pequeño n tal que:

si existe tal número n , y 0 en caso contrario.

La definición especial del cero característico está motivada por las definiciones equivalentes dadas en § Otras caracterizaciones equivalentes , donde no es necesario considerar el cero característico por separado.

La característica también puede tomarse como el exponente del grupo aditivo del anillo, es decir, el n positivo más pequeño tal que:

para cada elemento a del anillo (de nuevo, si n existe; de ​​lo contrario, cero). Algunos autores no incluyen el elemento de identidad multiplicativo en sus requisitos para un anillo (ver Identidad multiplicativa: obligatorio vs. opcional ), y esta definición es adecuada para esa convención; de lo contrario, las dos definiciones son equivalentes debido a la ley distributiva en anillos.

Otras caracterizaciones equivalentes

  • La característica es el número natural n tal que n Z es el núcleo del homomorfismo de anillo único de Z a R ;
  • La característica es el número natural n tal que R contiene un subanillo isomorfo al factor anillo Z / n Z , que es la imagen del homomorfismo anterior.
  • Cuando los números enteros no negativos {0, 1, 2, 3, ...} están parcialmente ordenados por divisibilidad, entonces 1 es el más pequeño y 0 es el más grande. Entonces, la característica de un anillo es el valor más pequeño de n para el cual n ⋅ 1 = 0 . Si nada "menor" (en este orden) que 0 es suficiente, entonces la característica es 0. Este es el orden parcial apropiado debido a hechos tales como que char ( A × B ) es el mínimo común múltiplo de char A y char B , y que ningún anillo homomorfismo f  : AB existe a menos Char B divide charlas A .
  • La característica de un anillo R es n precisamente si el enunciado ka = 0 para todo aR implica que k es un múltiplo de n .

Caja de anillos

Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillos RS , entonces la característica de S divide la característica de R . A veces, esto puede usarse para excluir la posibilidad de ciertos homomorfismos de anillo. El único anillo con la característica 1 es el anillo cero , que tiene un solo elemento 0 = 1 . Si un anillo no trivial R no tiene divisores de cero no triviales , entonces su característica es 0 o primo . En particular, esto se aplica a todos los campos , a todos los dominios integrales y a todos los anillos de división . Cualquier anillo de característica 0 es infinito.

El anillo Z / n Z de números enteros módulo n tiene la característica n . Si R es un subanillo de S , entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si p es primo y q ( X ) es un polinomio irreducible con coeficientes en el campo F p , entonces el anillo del cociente F p [ X ] / ( q ( X )) es un campo de característica p . Otro ejemplo: el campo C de números complejos contiene Z , por lo que la característica de C es 0.

Un álgebra Z / n Z es equivalentemente un anillo cuya característica divide n . Esto se debe a que para cada anillo R hay un homomorfismo de anillo ZR , y este mapa se factoriza a través de Z / n Z si y solo si la característica de R divide a n . En este caso, para cualquier r en el anillo, entonces sumando r a sí mismo n veces da nr = 0 .

Si un anillo conmutativo R tiene primordial característica p , entonces tenemos ( x + y ) p = x P + y P para todos los elementos x e y en R - el " sueño de primer año " es válido para poder p . El mapa f ( x ) = x p define entonces un homomorfismo de anillos RR . Se llama homomorfismo de Frobenius . Si R es un dominio integral , es inyectivo .

Caso de campos

Como se mencionó anteriormente, la característica de cualquier campo es 0 o un número primo. Un campo de característica distinta de cero se denomina campo de característica finita o característica positiva o característica principal .

Cualquier campo F tiene un subcampo mínimo único , también llamado su campo principal . Este subcampo es isomorfo alcamponumérico racionalQo al campo finitoF p de orden primo. Dos campos primos de la misma característica son isomorfos, y este isomorfo es único. En otras palabras, existe esencialmente un campo primo único en cada característica. Los campos más comunes decaracterística ceroque son los subcampos de losnúmeros complejos. Loscampos p-ádicossoncamposcero característicos que se utilizan ampliamente en la teoría de números. Tienen valores absolutos que son muy diferentes a los de los números complejos.

Para cualquier campo ordenado , como el campo de números racionales Q o el campo de números reales R , la característica es 0. Así, los campos numéricos y el campo de números complejos C son de característica cero. En realidad, todo campo de característica cero es el campo cociente de un anillo Q [X] / P donde X es un conjunto de variables y P un conjunto de polinomios en Q [X]. El campo finito GF ( p n ) tiene la característica p . Existen infinitos campos de característica principal. Por ejemplo, el campo de todas las funciones racionales sobre Z / p Z , el cierre algebraico de Z / p Z o el campo de la serie formal de Laurent Z / p Z ((T)). El exponente característico se define de manera similar, excepto que es igual a 1 si la característica es cero; de lo contrario, tiene el mismo valor que la característica.

El tamaño de cualquier anillo finito de característica prima p es una potencia de p . Dado que en ese caso debe contener Z / p Z , también debe ser un espacio vectorial sobre ese campo y, a partir del álgebra lineal , sabemos que los tamaños de los espacios vectoriales finitos sobre los campos finitos son una potencia del tamaño del campo. Esto también muestra que el tamaño de cualquier espacio vectorial finito es una potencia primaria. (Es un espacio vectorial sobre un campo finito, que hemos demostrado que es de tamaño p n , por lo que su tamaño es ( p n ) m = p nm .)

Notas

Citas


Referencias