Polinomio de Vandermonde - Vandermonde polynomial

En álgebra , el polinomio de Vandermonde de un conjunto ordenado de n variables , llamado así por Alexandre-Théophile Vandermonde , es el polinomio : ${\ Displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$

${\ Displaystyle V_ {n} = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (X_ {j} -X_ {i}).}$

(Algunas fuentes usan el orden opuesto , que cambia los tiempos de los signos : así, en algunas dimensiones las dos fórmulas concuerdan en el signo, mientras que en otras tienen signos opuestos). ${\ Displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$${\ Displaystyle {\ binom {n} {2}}}$

También se le llama determinante de Vandermonde, ya que es el determinante de la matriz de Vandermonde .

El valor depende del orden de los términos: es un polinomio alterno , no un polinomio simétrico .

Alterno

La propiedad definitoria del polinomio de Vandermonde es que se alterna en las entradas, lo que significa que permutar el por una permutación impar cambia el signo, mientras que permutarlo por una permutación par no cambia el valor del polinomio; de hecho, es el polinomio alterno básico, como se detallará más adelante. ${\ Displaystyle X_ {i}}$

Por lo tanto, depende del orden, y es cero si dos entradas son iguales; esto también se deduce de la fórmula, pero también es consecuencia de ser alternas: si dos variables son iguales, cambiar ambas no cambia el valor e invierte el valor. , ceder y por lo tanto (asumiendo que la característica no es 2, de lo contrario, ser alterno equivale a ser simétrico). ${\ Displaystyle V_ {n} = - V_ {n},}$${\ Displaystyle V_ {n} = 0}$

Por el contrario, el polinomio de Vandermonde es un factor de cada polinomio alterno: como se muestra arriba, un polinomio alterno desaparece si dos variables son iguales y, por lo tanto, debe tener como factor para todos . ${\ Displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$${\ Displaystyle i \ neq j}$

Polinomios alternos

Así, el polinomio de Vandermonde (junto con los polinomios simétricos ) genera los polinomios alternos .

Discriminante

Su cuadrado es ampliamente llamado discriminante , aunque algunas fuentes llaman discriminante al polinomio de Vandermonde.

El discriminante (el cuadrado del polinomio de Vandermonde :) no depende del orden de los términos, como , y por lo tanto es un invariante del conjunto desordenado de puntos. ${\ Displaystyle \ Delta = V_ {n} ^ {2}}$${\ displaystyle (-1) ^ {2} = 1}$

Si se une el polinomio de Vandermonde al anillo de polinomios simétricos en n variables , se obtiene la extensión cuadrática , que es el anillo de polinomios alternos . ${\ Displaystyle \ Lambda _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} [V_ {n}] / \ langle V_ {n} ^ {2} - \ Delta \ rangle}$

Polinomio de Vandermonde de un polinomio

Dado un polinomio, el polinomio de Vandermonde de sus raíces se define sobre el campo de división ; para un polinomio no monico , con coeficiente principal a , se puede definir el polinomio de Vandermonde como

${\ Displaystyle V_ {n} = a ^ {n-1} \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (X_ {j} -X_ {i}),}$

(multiplicar con un término principal) para estar de acuerdo con el discriminante.

Generalizaciones

En anillos arbitrarios , en cambio, se usa un polinomio diferente para generar los polinomios alternos - ver (Romagny, 2005).

Fórmula del carácter de Weyl

(una vasta generalización)

El polinomio de Vandermonde puede considerarse un caso especial de la fórmula del carácter de Weyl , específicamente la fórmula del denominador de Weyl (el caso de la representación trivial ) del grupo unitario especial . ${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$

Ver también

• Polinomio de Capelli ( ref )

Referencias

• El teorema fundamental de las funciones alternas , por Matthieu Romagny, 15 de septiembre de 2005