Categoría (matemáticas) - Category (mathematics)

Esta es una categoría con una colección de objetos A, B, C y una colección de morfismos denotados como f, g, g ∘ f , y los bucles son las flechas de identidad. Esta categoría se indica típicamente con una negrita 3 .

En matemáticas , una categoría (a veces llamada categoría abstracta para distinguirla de una categoría concreta ) es una colección de "objetos" que están vinculados por "flechas". Una categoría tiene dos propiedades básicas: la capacidad de componer las flechas de forma asociativa y la existencia de una flecha de identidad para cada objeto. Un ejemplo sencillo es la categoría de conjuntos , cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son funciones .

La teoría de categorías es una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las matemáticas en términos de categorías, independientemente de lo que representen sus objetos y flechas. Prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas pueden describirse en términos de categorías, y hacerlo a menudo revela profundas percepciones y similitudes entre áreas aparentemente diferentes de las matemáticas. Como tal, la teoría de categorías proporciona una base alternativa para que las matemáticas establezcan la teoría y otras bases axiomáticas propuestas. En general, los objetos y las flechas pueden ser entidades abstractas de cualquier tipo, y la noción de categoría proporciona una forma fundamental y abstracta de describir las entidades matemáticas y sus relaciones.

Además de formalizar las matemáticas, la teoría de categorías también se utiliza para formalizar muchos otros sistemas en informática, como la semántica de los lenguajes de programación .

Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas y el mismo método asociativo para componer cualquier par de flechas. Dos categorías diferentes también pueden considerarse " equivalentes " a los efectos de la teoría de categorías, incluso si no tienen exactamente la misma estructura.

Las categorías conocidas se indican con una palabra corta en mayúscula o una abreviatura en negrita o cursiva: los ejemplos incluyen Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones de conjunto ; Anillo , la categoría de anillos y homomorfismos de anillo ; y Top , la categoría de espacios topológicos y mapas continuos . Todas las categorías anteriores tienen el mapa de identidad como flechas de identidad y la composición como operación asociativa en flechas.

El texto clásico y todavía muy utilizado sobre la teoría de categorías es Categorías para el matemático que trabaja de Saunders Mac Lane . Otras referencias se dan en las Referencias a continuación. Las definiciones básicas de este artículo se encuentran en los primeros capítulos de cualquiera de estos libros.

Estructuras de tipo grupal
Totalidad Asociatividad Identidad Invertibilidad Conmutatividad
Semigropoide Innecesario Requerido Innecesario Innecesario Innecesario
Categoría pequeña Innecesario Requerido Requerido Innecesario Innecesario
Groupoid Innecesario Requerido Requerido Requerido Innecesario
Magma Requerido Innecesario Innecesario Innecesario Innecesario
Cuasigrupo Requerido Innecesario Innecesario Requerido Innecesario
Magma unital Requerido Innecesario Requerido Innecesario Innecesario
Lazo Requerido Innecesario Requerido Requerido Innecesario
Semigroup Requerido Requerido Innecesario Innecesario Innecesario
Semigrupo inverso Requerido Requerido Innecesario Requerido Innecesario
Monoide Requerido Requerido Requerido Innecesario Innecesario
Monoide conmutativo Requerido Requerido Requerido Innecesario Requerido
Grupo Requerido Requerido Requerido Requerido Innecesario
Grupo abeliano Requerido Requerido Requerido Requerido Requerido
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente.

Cualquier monoide puede entenderse como un tipo especial de categoría (con un solo objeto cuyos automorfismos están representados por los elementos del monoide), al igual que cualquier preorden .

Definición

Hay muchas definiciones equivalentes de una categoría. Una definición de uso común es la siguiente. Una categoría C consta de

  • una clase ob ( C ) de objetos ,
  • una clase hom ( C ) de morfismos , o flechas , o mapas entre los objetos,
  • un dominio o una función de clase de objeto de origen ,
  • un codominio , o función de clase de objeto de destino ,
  • por cada tres objetos un , b y c , un hom operación binaria ( un , b ) × hom ( b , c ) → hom ( una , c ) llamada composición de morfismos ; la composición de f  : unb y g  : bc se escribe como gf o gf . (Algunos autores utilizan "orden esquemática", escribiendo f; g o fg ).

Nota: Aquí hom ( a , b ) denota la subclase de morfismos f en hom ( C ) tal que y . Estos morfismos se escriben a menudo como f  : ab .

de modo que se cumplan los siguientes axiomas:

  • ( Asociatividad ) si f  : unb , g  : bc y h  : cd entonces h ∘ ( gf ) = ( hg ) ∘ f , y
  • ( identidad ) para cada objeto x , existe un morfismo 1 x  : xx (algunos autores escriben id x ) llamado morfismo de identidad para x , tal que todo morfismo f  : ax satisface 1 xf = f , y todo morfismo g  : xb satisface g ∘ 1 x = g .

Escribimos f : ab , y decimos " f es un morfismo de a a b ". Escribimos hom ( a , b ) (u hom C ( a , b ) cuando puede haber confusión sobre a qué categoría se refiere hom ( a , b )) para denotar la clase hom de todos los morfismos de a a b . A partir de estos axiomas, se puede probar que existe exactamente un morfismo de identidad para cada objeto. Algunos autores utilizan una ligera variación de la definición en la que cada objeto se identifica con el correspondiente morfismo de identidad.

Categorías pequeñas y grandes

Una categoría C se llama pequeña si tanto ob ( C ) como hom ( C ) son realmente conjuntos y no clases adecuadas , y grandes en caso contrario. A localmente pequeña categoría es una categoría de tal manera que para todos los objetos de un y b , el hom-clase hom ( un , b ) es un conjunto, llamado un homset . Muchas categorías importantes en matemáticas (como la categoría de conjuntos), aunque no son pequeñas, son al menos localmente pequeñas. Dado que, en categorías pequeñas, los objetos forman un conjunto, una categoría pequeña puede verse como una estructura algebraica similar a un monoide pero sin requerir propiedades de cierre . Por otro lado, las categorías grandes pueden usarse para crear "estructuras" de estructuras algebraicas.

Ejemplos de

La clase de todos los conjuntos (como objetos) junto con todas las funciones entre ellos (como morfismos), donde la composición de los morfismos es la composición de funciones habitual , forma una gran categoría, Conjunto . Es la categoría más básica y más utilizada en matemáticas. La categoría Rel consta de todos los conjuntos (como objetos) con relaciones binarias entre ellos (como morfismos). La abstracción de relaciones en lugar de funciones produce alegorías , una clase especial de categorías.

Cualquier clase puede verse como una categoría cuyos únicos morfismos son los morfismos de identidad. Estas categorías se denominan discretas . Para cualquier conjunto I dado , la categoría discreta en I es la categoría pequeña que tiene los elementos de I como objetos y solo los morfismos de identidad como morfismos. Las categorías discretas son el tipo de categoría más simple.

Cualquier conjunto preordenado ( P , ≤) forma una pequeña categoría, donde los objetos son los miembros de P , los morfismos son flechas que apuntan desde x a y cuando xy . Además, si es antisimétrico , puede haber como máximo un morfismo entre dos objetos cualesquiera. La existencia de morfismos identitarios y la componibilidad de los morfismos están garantizadas por la reflexividad y la transitividad del preorden. Con el mismo argumento, cualquier conjunto parcialmente ordenado y cualquier relación de equivalencia pueden verse como una categoría pequeña. Cualquier número ordinal puede verse como una categoría cuando se ve como un conjunto ordenado .

Cualquier monoide (cualquier estructura algebraica con una sola operación binaria asociativa y un elemento de identidad ) forma una pequeña categoría con un solo objeto x . (Aquí, x es cualquier conjunto fijo.) Los morfismos de x a x son, precisamente, los elementos de la monoid, el morfismo identidad de x es la identidad de la monoid, y la composición categórica de morfismos está dada por la operación monoid. Se pueden generalizar varias definiciones y teoremas sobre los monoides para categorías.

Del mismo modo cualquier grupo puede ser visto como una categoría con un solo objeto en el que cada morfismo es invertible , es decir, para cada morfismo f hay un morfismo g que es tanto izquierda y inversa por la derecha a f bajo composición. Un morfismo que es invertible en este sentido se llama isomorfismo .

Un grupoide es una categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo. Los grupoides son generalizaciones de grupos, acciones grupales y relaciones de equivalencia . En realidad, desde el punto de vista de la categoría, la única diferencia entre el grupoide y el grupo es que un grupoide puede tener más de un objeto, pero el grupo debe tener solo uno. Considere un espacio topológico X y fije un punto base de X , entonces es el grupo fundamental del espacio topológico X y el punto base , y como conjunto tiene la estructura de grupo; si luego dejamos que el punto base recorra todos los puntos de X , y tomemos la unión de todos , entonces el conjunto que obtenemos tiene solo la estructura de groupoid (que se llama como el groupoid fundamental de X ): dos bucles (bajo la relación de equivalencia de homotopía) pueden no tener el mismo punto base, por lo que no pueden multiplicarse entre sí. En el lenguaje de la categoría, esto significa que aquí dos morfismos pueden no tener el mismo objeto de origen (u objeto de destino, porque en este caso, para cualquier morfismo, el objeto de origen y el objeto de destino son los mismos: el punto base) por lo que no pueden componerse con mutuamente.

Un gráfico dirigido.

Cualquier gráfico dirigido genera una categoría pequeña: los objetos son los vértices del gráfico y los morfismos son los caminos en el gráfico (aumentados con bucles según sea necesario) donde la composición de los morfismos es la concatenación de caminos. Esta categoría se denomina categoría gratuita generada por el gráfico.

La clase de todos los conjuntos preordenados con funciones monótonas como morfismos forma una categoría, Ord . Es una categoría concreta , es decir, una categoría que se obtiene al agregar algún tipo de estructura al Conjunto y que requiere que los morfismos sean funciones que respeten esta estructura agregada.

La clase de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos y composición de funciones como operación de composición forma una categoría grande, Grp . Como Ord , Grp es una categoría concreta. La categoría Ab , que consta de todos los grupos abelianos y sus homomorfismos de grupo, es una subcategoría completa de Grp y el prototipo de una categoría abeliana . En la siguiente tabla se dan otros ejemplos de categorías concretas.

Categoría Objetos Morfismos
Grp grupos homomorfismos de grupo
Revista magmas homomorfismos de magma
Hombre p colectores lisos p- veces mapas continuamente diferenciables
Reunió espacios métricos mapas cortos
R -Mod R -módulos , donde R es un anillo Homomorfismos del módulo R
Lun monoides homomorfismos monoides
Anillo anillos homomorfismos de anillo
Colocar conjuntos funciones
Cima espacios topológicos funciones continuas
Uni espacios uniformes funciones uniformemente continuas
Vect K espacios vectoriales sobre el campo K K - mapas lineales

Los haces de fibras con mapas de haces entre ellos forman una categoría concreta.

La categoría Gato consta de todas las categorías pequeñas, con functores entre ellas como morfismos.

Construcción de nuevas categorías

Categoría dual

Cualquier categoría C puede considerarse en sí misma como una nueva categoría de una manera diferente: los objetos son los mismos que los de la categoría original, pero las flechas son las de la categoría original invertidas. Esto se llama categoría dual u opuesta y se denota C op .

Categorías de Producto

Si C y D son categorías, uno puede formar la categoría de producto C × D : los objetos son pares consisten en un objeto de C y uno de D , y los morfismos son también pares, que consta de un morfismo en C y una en D . Estos pares se pueden componer por componentes .

Tipos de morfismos

Un morfismo f  : ab se llama

  • un monomorfismo (o mónico ) si es cancelable por la izquierda, es decir, fg 1 = fg 2 implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2  : xa .
  • un epimorfismo (o épico ) si es cancelable por la derecha, es decir, g 1 f = g 2 f implica g 1 = g 2 para todos los morfismos g 1 , g 2  : bx .
  • un bimorfismo si es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo.
  • una retracción si tiene un inverso recto, es decir, si existe un morfismo g  : ba con fg = 1 b .
  • una sección si tiene inversa a la izquierda, es decir, si existe un morfismo g  : ba con gf = 1 a .
  • un isomorfismo si tiene una inversa, es decir, si existe un morfismo g  : buna con fg = 1 b y gf = 1 una .
  • un endomorfismo si a = b . La clase de endomorfismos de a se denota como final ( a ).
  • un automorfismo si f es tanto un endomorfismo como un isomorfismo. La clase de automorfismos de a se denomina aut ( a ).

Toda retractación es un epimorfismo. Cada sección es un monomorfismo. Las siguientes tres declaraciones son equivalentes:

  • f es un monomorfismo y una retracción;
  • f es un epimorfismo y una sección;
  • f es un isomorfismo.

Las relaciones entre morfismos (como fg = h ) se pueden representar más convenientemente con diagramas conmutativos , donde los objetos se representan como puntos y los morfismos como flechas.

Tipos de categorías

  • En muchas categorías, por ejemplo, Ab o Vect K , los hom-sets hom ( a , b ) no son sólo conjuntos, sino en realidad grupos abelianos , y la composición de los morfismos es compatible con estas estructuras de grupo; es decir, es bilineal . Esta categoría se llama preaditiva . Si, además, la categoría tiene todos los productos y coproductos finitos , se denomina categoría aditiva . Si todos los morfismos tienen un núcleo y un cokernel , y todos los epimorfismos son cokernels y todos los monomorfismos son núcleos, entonces hablamos de una categoría abeliana . Un ejemplo típico de una categoría abeliana es la categoría de grupos abelianos.
  • Una categoría se llama completa si existen todos los límites pequeños en ella. Las categorías de conjuntos, grupos abelianos y espacios topológicos están completas.
  • Una categoría se llama cerrada cartesiana si tiene productos directos finitos y un morfismo definido en un producto finito siempre puede representarse mediante un morfismo definido en solo uno de los factores. Los ejemplos incluyen Set y CPO , la categoría de órdenes parciales completas con funciones continuas de Scott .
  • Un topos es un cierto tipo de categoría cerrada cartesiana en la que se pueden formular todas las matemáticas (al igual que clásicamente todas las matemáticas se formulan en la categoría de conjuntos). Un topos también se puede utilizar para representar una teoría lógica.

Ver también

Notas

Referencias

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  • categoría en nLab