Unión disjunta - Disjoint union

En matemáticas , una unión disjunta (o unión discriminada ) de una familia de conjuntos es un conjunto con una función inyectiva de cada uno en A , de modo que las imágenes de estas inyecciones forman una partición de A (es decir, cada elemento de A pertenece a exactamente una de estas imágenes). La unión disjunta de una familia de conjuntos disjuntos por pares es su unión . En términos de teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto de la categoría de conjuntos . La unión disjunta se define así hasta una biyección. ${\ Displaystyle (A_ {i} \ colon i \ in I)}$${\ Displaystyle A = \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i},}$${\ Displaystyle A_ {i}}$

Una forma estándar de construir la unión disjunta es definir A como el conjunto de pares ordenados ( x , i ) tales que y las funciones inyectivas por${\ Displaystyle x \ in A_ {i},}$${\ Displaystyle A_ {i} \ to A}$${\ Displaystyle x \ mapsto (x, i).}$

Ejemplo

Considere los conjuntos y . Podemos indexar los elementos del conjunto de acuerdo con el origen del conjunto formando los conjuntos asociados ${\ Displaystyle A_ {0} = \ {5,6,7 \}}$${\ Displaystyle A_ {1} = \ {5,6 \}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} A_ {0} ^ {*} & = \ {(5,0), (6,0), (7,0) \} \\ A_ {1} ^ {*} & = \ {(5,1), (6,1) \}, \ end {alineado}}}$

donde el segundo elemento de cada par coincide con el subíndice del conjunto de origen (por ejemplo, el in coincide con el subíndice in , etc.). La unión disjunta se puede calcular de la siguiente manera: ${\ Displaystyle 0}$${\ displaystyle (5,0)}$${\ Displaystyle A_ {0}}$${\ Displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1}}$

${\ Displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1} = A_ {0} ^ {*} \ cup A_ {1} ^ {*} = \ {(5,0), (6,0), (7, 0), (5,1), (6,1) \}.}$

Definición de teoría de conjuntos

Formalmente, sea ​​una familia de conjuntos indexados por La unión disjunta de esta familia es el conjunto ${\ Displaystyle \ left \ {A_ {i}: i \ in I \ right \}}$${\ Displaystyle I.}$

${\ Displaystyle \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i} = \ bigcup _ {i \ in I} \ left \ {(x, i): x \ in A_ {i} \ right \}.}$

Los elementos de la unión disjunta son pares ordenados. Aquí sirve como índice auxiliar que indica de dónde procede el elemento . ${\ Displaystyle (x, i).}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle x}$

Cada uno de los conjuntos es canónicamente isomorfo al conjunto ${\ Displaystyle A_ {i}}$

${\ Displaystyle A_ {i} ^ {*} = \ left \ {(x, i): x \ in A_ {i} \ right \}.}$

A través de este isomorfismo, se puede considerar que está incrustado canónicamente en la unión disjunta. Para los conjuntos y son disjuntos incluso si los conjuntos y no lo son. ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle i \ neq j,}$${\ Displaystyle A_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle A_ {j} ^ {*}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {j}}$

En el caso extremo en el que cada uno de los es igual a algún conjunto fijo para cada uno, la unión disjunta es el producto cartesiano de y : ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle i \ in I,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle \ bigsqcup _ {i \ in I} A_ {i} = A \ times I.}$

De vez en cuando se puede ver la notación

${\ Displaystyle \ sum _ {i \ in I} A_ {i}}$

para la unión disjunta de una familia de conjuntos, o la notación para la unión disjunta de dos conjuntos. Esta notación pretende sugerir el hecho de que la cardinalidad de la unión disjunta es la suma de las cardinalidades de los términos de la familia. Compare esto con la notación del producto cartesiano de una familia de conjuntos. ${\ Displaystyle A + B}$

Las uniones disjuntas a veces también se escriben o${\ Displaystyle \ biguplus _ {i \ in I} A_ {i}}$${\ Displaystyle \ \ cdot \! \! \! \! \! \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}.}$

En el lenguaje de la teoría de categorías , la unión disjunta es el coproducto en la categoría de conjuntos . Por tanto, satisface la propiedad universal asociada . Esto también significa que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del producto cartesiano . Consulte el coproducto para obtener más detalles.

Para muchos propósitos, la elección particular del índice auxiliar no es importante, y en un abuso simplificador de la notación , la familia indexada puede tratarse simplemente como una colección de conjuntos. En este caso, se denomina copia de ya veces se utiliza la notación . ${\ Displaystyle A_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle {\ underset {A \ in C} {\, \, \ bigcup \ nolimits ^ {*} \!}} A}$

Punto de vista de la teoría de categorías

En la teoría de categorías, la unión disjunta se define como un coproducto en la categoría de conjuntos.

Como tal, la unión disjunta se define hasta un isomorfismo, y la definición anterior es solo una realización del coproducto, entre otras. Cuando los conjuntos están separados por pares, la unión habitual es otra realización del coproducto. Esto justifica la segunda definición a la cabeza.

Este aspecto categórico de la unión disjunta explica por qué se usa con frecuencia, en lugar de , para denotar coproducto . ${\ Displaystyle \ coprod}$${\ Displaystyle \ bigsqcup}$

Ver también

• Coproducto  - Construcción teórica de categorías
• Límite directo
• Unión disjunta (topología)
• Unión disjunta de gráficos
• Partición de un conjunto  : formas matemáticas de agrupar elementos de un conjunto
• Tipo de suma
• Unión etiquetada  : estructura de datos utilizada para contener un valor que podría adoptar varios tipos diferentes, pero fijos
• Unión (informática)

Referencias

• Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, p. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Unión disjunta" . MathWorld .