Cokernel - Cokernel

El cokernel de un mapeo lineal de espacios vectoriales $f : X \to Y$ es el espacio cociente $Y / im (f)$ del codominio de $f$ por la imagen de $f$ . La dimensión del cokernel se llama corank de $f$ .

Los cokernels son duales a los kernels de la teoría de categorías , de ahí el nombre: el kernel es un subobjeto del dominio (se asigna al dominio), mientras que el cokernel es un objeto cociente del codominio (se asigna desde el codominio).

Intuitivamente, dada una ecuación $f (x) = y$ que uno está tratando de resolver, las medidas conúcleo las limitaciones que $y$ deben satisfacer para que esta ecuación tiene una solución - las obstrucciones a una solución - mientras que las medidas del núcleo de los grados de libertad en una solución, si existe. Esto se elabora en la intuición , a continuación.

Más generalmente, el cokernel de un morfismo $f : X \to Y$ en alguna categoría (por ejemplo, un homomorfismo entre grupos o un operador lineal acotado entre espacios de Hilbert ) es un objeto $Q$ y un morfismo $q : Y \to Q$ tal que la composición $qf$ es la morfismo nulo de la categoria, y ademas $q$ es universal con respecto a esta propiedad. A menudo se entiende el mapa $q$ , y $Q en$ sí mismo se llama el cokernel de $f$ .

En muchas situaciones en álgebra abstracta , como para grupos abelianos , espacios vectoriales o módulos , el cokernel del homomorfismo $f : X \to Y$ es el cociente de $Y$ por la imagen de $f$ . En entornos topológicos , como con operadores lineales acotados entre espacios de Hilbert, normalmente se debe tomar el cierre de la imagen antes de pasar al cociente.

Definicion formal

Se puede definir el cokernel en el marco general de la teoría de categorías . Para que la definición tenga sentido, la categoría en cuestión debe tener cero morfismos . El conúcleo de un morfismo $f : X \to Y$ se define como la coequalizer de $f$ y el cero morfismo $0 XY : X \to Y$ .

Explícitamente, esto significa lo siguiente. El cokernel de $f : X \to Y$ es un objeto $Q$ junto con un morfismo $q : Y \to Q$ tal que el diagrama

conmuta . Además, el morfismo $q$ debe ser universal para este diagrama, es decir, cualquier otro $q': Y \to Q'$ se puede obtener componiendo $q$ con un morfismo único $u : Q \to Q'$ :

Como ocurre con todas las construcciones universales, el cokernel, si existe, es único hasta un isomorfismo único , o más precisamente: si $q : Y \to Q$ y $q': Y \to Q'$ son dos cokernels de $f : X \to Y$ , entonces hay existe un isomorfismo único $u : Q \to Q'$ con $q ' = u q$ .

Como todos los coequalizadores, el cokernel $q : Y \to Q$ es necesariamente un epimorfismo . A la inversa, un epimorfismo se llama normal (o conormal ) si es el cokernel de algún morfismo. Una categoría se llama conormal si todo epimorfismo es normal (por ejemplo, la categoría de grupos es conormal).

Ejemplos de

En la categoría de grupos , el cokernel de un homomorfismo de grupo $f : G \to H$ es el cociente de $H$ por el cierre normal de la imagen de $f$ . En el caso de los grupos abelianos , dado que cada subgrupo es normal, el cokernel es solo $H$ módulo la imagen de $f$ :

{\ Displaystyle \ operatorname {coker} (f) = H / \ operatorname {im} (f).}

Casos especiales

En una categoría preaditiva , tiene sentido sumar y restar morfismos. En tal categoría, el coecualizador de dos morfismos $f$ y $g$ (si existe) es solo el cokernel de su diferencia:

{\ Displaystyle \ operatorname {coeq} (f, g) = \ operatorname {coker} (gf).}

En una categoría abeliana (un tipo especial de categoría preaditiva) la imagen y la coimagen de un morfismo $f$ están dadas por

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {im} (f) & = \ ker (\ operatorname {coker} f), \\\ operatorname {coim} (f) & = \ operatorname {coker} (\ ker f). \ end {alineado}}}

En particular, cada categoría abeliana es normal (y también conormal). Es decir, todo monomorfismo $m$ puede escribirse como el núcleo de algún morfismo. Específicamente, $m$ es el núcleo de su propio cokernel:

{\ Displaystyle m = \ ker (\ operatorname {coker} (m))}

Intuición

El cokernel puede pensarse como el espacio de restricciones que debe satisfacer una ecuación, como el espacio de obstrucciones , así como el kernel es el espacio de soluciones.

Formalmente, uno puede conectar el kernel y el cokernel de un mapa $T : V \to W$ por la secuencia exacta

{\ Displaystyle 0 \ to \ ker T \ to V {\ overset {T} {\ longrightarrow}} W \ to \ operatorname {coker} T \ to 0.}

Estos se pueden interpretar así: dada una ecuación lineal $T (v) = w$ para resolver,

el núcleo es el espacio de soluciones de la ecuación homogénea $T (v) = 0$ , y su dimensión es el número de grados de libertad en las soluciones de $T (v) = w$ , si existen;
el cokernel es el espacio de restricciones en w que debe satisfacerse para que la ecuación tenga una solución, y su dimensión es el número de restricciones independientes que deben satisfacerse para que la ecuación tenga una solución.

La dimensión del cokernel más la dimensión de la imagen (el rango) se suman a la dimensión del espacio objetivo, ya que la dimensión del espacio del cociente $W / T (V)$ es simplemente la dimensión del espacio menos la dimensión del espacio. imagen.

Como ejemplo simple, considere el mapa $T : R 2 \to R 2$ , dado por $T (x, y) = (0, y)$ . Entonces, para que una ecuación $T (x, y) = (a, b)$ tenga una solución, debemos tener $a = 0$ (una restricción), y en ese caso el espacio de la solución es $(x, b)$ , o equivalentemente, $( 0, b) + (x, 0)$ , (un grado de libertad). El núcleo se puede expresar como el subespacio $(x, 0) \subseteq V$ : el valor de $x$ es la libertad en una solución. El cokernel puede expresarse mediante el mapa de valor real $W : (a, b) \to (a)$ : dado un vector $(a, b)$ , el valor de $a$ es la obstrucción para que exista una solución.

Además, se puede pensar en el cokernel como algo que "detecta" las sobreyecciones de la misma manera que el núcleo "detecta" las inyecciones . Un mapa es inyectivo si y solo si su núcleo es trivial, y un mapa es sobreyectivo si y solo si su cokernel es trivial, o en otras palabras, si $W = im (T)$ .

Referencias

Saunders Mac Lane : Categorías para el matemático que trabaja , segunda edición, 1978, p. 64
Emily Riehl : Teoría de categorías en contexto , Aurora Modern Math Originals , 2014, p. 82, pág. 139 nota al pie 8.

Languages

In other projects